Kalkulator średniego procenta

Witamy w Omni kalkulatorze średniego procenta, w którym dowiesz się, jak uśredniać wartości procentowe i co to właściwie oznacza. Prawdę mówiąc, w połowie przypadków koncepcja ta sprowadza się do dobrze znanego wzoru na średnią zbioru danych. Druga połowa dotyczy problemów, gdy wartości procentowe odpowiadają próbkom o różnych rozmiarach, więc nie możemy tam zastosować tego samego rozumowania. W takich wypadkach możemy jednak zastosować inny, dobrze znany wzór, a mianowicie wzór na średnią ważoną wartości procentowych.

Bez obaw: nauczymy cię, jak rozróżnić te dwa scenariusze i jak znaleźć średnią wartość procentową w każdym z nich!

Żeby dowiedzieć się więcej o tym, jak znaleźć średnią zbioru liczb, przejdź do naszego kalkulatora średnich 🇺🇸.

Przypomnijmy sobie oficjalną definicję wartości procentowej:

Aby uzyskać bardziej szczegółowe informacje, sprawdź nasz kalkulator procentów.

Jesteśmy przyzwyczajeni do tego, że przypisujemy wartości procentowe do innych liczb w sposób, w jaki przypisujemy rabaty do cen. Jednak z matematycznego punktu widzenia mogą one występować samodzielnie.

Co więcej, powyższa definicja mówi, że $a$ może być dowolną liczbą rzeczywistą. Innymi słowy, może to być liczba całkowita, ujemna, dziesiętna, a nawet pierwiastek sześcienny. Oczywiście tak to wygląda z matematycznego punktu widzenia. W prawdziwym życiu, jeśli sklep zaoferowałby zniżkę $\sqrt[3]{75}$ z okazji Black Friday, nikt nie wiedziałby, o co chodzi. Podobnie, jeśli zgłosisz błąd $\sqrt[3]{5}$ w swoich pomiarach, twój nauczyciel poradzi ci, abyś nauczył/a się obliczać błąd procentowy.

Ale jest sens patrzenia na procenty jak na zwykłe liczby. W końcu, gdy zastanawiamy się, jak obliczyć średni procent, zadajemy sobie pytanie, czy w ogóle możemy uśredniać procenty? W końcu są one czymś innym, więc może się to wydawać nienaturalne. Z drugiej strony, wiemy wszystko o uśrednianiu liczb, prawda? Na wszelki wypadek przypomnijmy sobie wzór na średnią arytmetyczną:

Możesz zajrzeć do kalkulatora średniej, jeśli nadal potrzebujesz więcej szczegółów na ten temat 😉

Jednak musimy być tutaj ostrożni. Zastanawianie się, jak znaleźć średnią wartość procentową, jest często związane z próbkami reprezentowanymi wartościami procentowymi. Aby zrozumieć różnicę, omówmy to na przykładzie.

Załóżmy, że Ania, Bartek, Kuba, Dorota i Ewelina mieli test z polskiego. Niektórzy z nich uzyskali $80\%$, a niektórzy $40\%$. Jeśli ślepo zastosujemy powyższe rozumowanie, powiemy, że średni wynik w procentach wyniósł:

W końcu były przecież tylko dwa wyniki, więc szukamy średniej z dwóch wartości. Dzięki naszemu kalkulatorowi średniej, mediany i dominanty 🇺🇸 możesz dowiedzieć się, jak znaleźć średnią zestawu wartości.

Jednak, ten wynik jest niepoprawny. W teście wzięło udział pięć osób, więc powinniśmy dodać pięć liczb zamiast dwóch. Jeśli, powiedzmy, Ania, Bartek, Kuba i Dorota uzyskali $80\%$, a Ewelina $40\%$, to rzeczywista średnia wynosi:

Całkiem inny wynik, prawda?

Lekcja, której się tutaj uczymy, jest taka, że musimy zawsze śledzić różnice w rozmiarach grup i procentach, którym odpowiadają. W rzeczywistości możemy myśleć o tych rozmiarach jako o wagach, gdy szukamy średniej ważonej zbioru danych. Czyli, na przykład, średniej ważonej sekwencji wartości procentowych.

Przypomnij sobie przykład z końca powyższej sekcji, w którym omówiliśmy wyniki pięciu osób w teście. Po nauczeniu się, jak znaleźć średnią procentową, otrzymaliśmy:

Ale moglibyśmy zapisać to też tak:

Wyraźnie widać, że nowy zapis jest krótszy. Co więcej, od razu widać, ile osób uzyskało ten sam wynik: $4$ otrzymało $80\%$, a $1$ otrzymała $40\%$. Innymi słowy, zamiast traktować osoby indywidualnie, grupujemy je razem zgodnie z wynikami testu.

Otrzymujemy średnią ważoną wartości procentowych z wagami odpowiadającymi temu, ile osób uzyskało dany wynik. Na szczęście obliczenia są takie same jak dla zwykłej średniej ważonej: jeśli mamy wpisy $a_1$, $a_2$, $a_3$, $...$, $a_n$ z odpowiednimi wagami $w_1$, $w_2$, $w_3$, $...$, $w_n$, to:

Jeśli przetłumaczymy ten zapis na nasze potrzeby (tj. aby wyjaśnić, jak uśredniać wartości procentowe), $a_1$, $a_2$, $a_3$, $...$, $a_n$ będą odpowiadać kolejnym wartościom procentowym, podczas gdy $w_1$, $w_2$, $w_3$, $...$, $w_n$ będą odpowiednimi rozmiarami próbek wspomnianych wartości procentowych.

Co się stanie, jeśli wszystkie wagi są takie same (tj. jeśli wszystkie próbki mają ten sam rozmiar)? Cóż, jeśli oznaczymy wzajemną wagę przez $w$, to zgodnie z zasadami upraszczania ułamków:

Innymi słowy, waga nie ma znaczenia, a średnia ważona procentów okazuje się być zwykłą (nieważoną) średnią.

Podsumowując, widzimy, że nauczenie się obliczania średniej procentowej sprowadza się do nauki o zwykłej średniej ważonej. Przejdźmy jednak przez jeszcze jeden przykład, aby pokazać ci, jak ma się to do rzeczywistych statystyk. I skorzystamy z okazji, aby zrobić to używając Omni kalkulatora średniego procenta.

Załóżmy, że zapytaliśmy tysiąc osób, czy jedzą naleśniki przynajmniej raz w tygodniu. Wśród nich było $300$ nastolatków, $450$ osób w wieku 20-49 lat i $250$ osób w wieku 50 lat i starszych. W pierwszej grupie $64\%$ stwierdziło, że je naleśniki co tydzień. W drugiej było to $42\%$, a w trzeciej $36\%$. Zobaczmy jak obliczyć średnią prędkość procentową zjadaczy naleśników w naszej tysiącosobowej grupie.

Zanim jednak wykonamy obliczenia samodzielnie, zobaczmy jak łatwe jest to zadanie mając pod ręką kalkulator średniej prędkości procentowej. W narzędziu, na górze, widzimy opcję wielkości próby. W naszym przypadku grupy różnią się wielkością, więc zaznaczamy odpowiednie pole wyboru.

Zaznaczenie opcji spowoduje dodanie do kalkulatora dodatkowych pól odpowiadających procentom zbioru danych i wielkości próby. Pojawiają się one parami, każda dedykowana jednej grupie. Wybierz trzy w liczbie wpisów (możesz wybrać nawet do dziesięciu wpisów w kalkulatorze średniej prędkości procentowej Omni). Patrząc wstecz na nasz przykład, wprowadziliśmy do tej pory:

• Wpis #1: $64\%$, $300$

• Wpis #2: $42\%$, $450$

• Wpis #3: $36\%$, $250$

Po podaniu ostatniej wartości kalkulator średniej procentowej poda odpowiedź pod spodem wraz z krokami pośrednimi.

Zobaczmy teraz jak znaleźć średni procent bez naszego kalkulatora. Po pierwsze, identyfikujemy nasz zbiór danych zgodnie z tym, czego nauczyliśmy się w powyższej sekcji: nasze kolejne wartości procentowe to $64\%$, $42\%$ i $36\%$, podczas gdy odpowiednie wielkości próbek to $300$, $450$ i $250$ osób. Następnie używamy formuły średniej ważonej wartości procentowych:

Okazuje się, że średnio $47,\!1\%$ ludzi je naleśniki przynajmniej raz w tygodniu. Ale czy jedzą je tylko raz w tygodniu, czy codziennie? Może moglibyśmy wprowadzić kilka nowych pytań do ankiety i przeprowadzić bardziej szczegółowe badanie?