Kalkulator równania kierunkowego prostej przechodzącej przez punkt

Omni kalkulator równania kierunkowego prostej przechodzącej przez punkt pomoże ci znaleźć równanie prostej na podstawie współrzędnych punktu na tej prostej i nachylenia prostej. Wkrótce dowiesz się, co to jest równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez punkt i czym różni się od równania kierunkowego prostej. Wymyśliliśmy również dwa ćwiczenia, a w ostatnim akapicie wyjaśnimy, jak je rozwiązać.

Zacznijmy od podstaw i omówmy, czym jest nachylenie prostej.

Nachylenie, znane również jako gradient, jest wyznacznikiem tego, jak „stroma” jest linia. Jeśli współczynnik kierunkowy jest dodatni, oznacza to, że linia rośnie. Jeśli jest ujemny — linia maleje. Jeśli jest równy zero, linia jest pozioma.

Nachylenie między dwoma punktami można znaleźć, szacując stosunek zmiany y / zmiany x (z ang. rise over run) — różnicę wysokości w stosunku do odległości między dwoma punktami.

Zatem wzór na nachylenie jest następujący:

a = zmiana y / zmiana x = (y - y₁) / (x - x₁)

Równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez punkt jest przekształconym równaniem nachylenia.

Do znalezienia gradientu funkcji nieliniowych, możesz użyć naszego kalkulatora średniego tempa zmian 🇺🇸.

Istnieje więcej niż jeden sposób zapisu równania prostej. Równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez punkt jest formą równania liniowego, w którym występują trzy charakterystyczne liczby — dwie współrzędne punktu na prostej i nachylenie prostej. Równanie w postaci punkt-nachylenie ma postać:

gdzie:

• $\small x_1, y_1$ są współrzędnymi punktu,
• $\small a$ jest nachyleniem.

Czy widzisz podobieństwo do wzoru na nachylenie prostej? Być może nie wiesz, że istnieją inne sposoby zapisania równania prostej. Bardziej popularne jest równanie prostej w postaci kierunkowej:

gdzie:

• $\small a$ to nachylenie,
• $\small b$ jest punktem przecięcia z osią y.

W rzeczywistości jest to nic innego jak bardziej zwięzła forma równania prostej w postaci punkt-nachylenie. Prosta przecina oś y w punkcie (0, b). Jeśli wybierzesz ten punkt – (0, b), jako punkt, którego chcesz użyć w postaci punkt-nachylenie równania, otrzymasz:

$\small y - b = a \cdot (x - 0)$, które jest tym samym, co $\small y = a \cdot x + b$.

Na dwóch poniższych wykresach widać tę samą funkcję, tylko opisaną równaniami liniowymi w dwóch różnych postaciach:

Aby dowiedzieć się, jak znaleźć współrzędne punktów przecinających osie, odwiedź nasz kalkulator punktów przecięcia z osiami x i y 🇺🇸.

Przyjrzyjmy się dwóm ćwiczeniom, aby lepiej zrozumieć temat.

Nachylenie prostej wynosi 2. Prosta przechodzi przez punkt A(2, -3). Jakie jest ogólne równanie tej prostej?

1. Określ współrzędne punktu:
   • x₁ = 2
   • y₁ = -3
2. Określ nachylenie:
   • a = 2
3. Wprowadź wartości do wzoru na nachylenie punktu:
   • $\small y - y_1 = a (x - x_1)$
   • $\small y - (-3) = 2(x - 2)$
4. Uprość, aby otrzymać równanie w postaci ogólnej:
   • $\small y = 2x - 4 - 3$
   • $\small 0 = 2x - y - 7$
   I mamy odpowiedź. Teraz możesz sprawdzić wynik za pomocą naszego kalkulatora równania kierunkowego prostej przechodzącej przez punkt.

Rozwiążmy kolejne ćwiczenie bardziej powiązane z życiem codziennym.

Załóżmy, że masz szczeniaka. Kiedy go dostałeś, ważył 14 kilogramów. Każdego dnia rósł o 0,2 kilograma, a po 30 dniach ważył 20 kilogramów. Znajdź ogólne równanie opisujące wzrost szczeniaka.

1. Nachylenie to zmiana wagi na dzień: a = 0,2.

2. Punktem charakterystycznym jest 20 kilogramów w 30 dniu: (x₁, y₁) = (30, 20).

3. Teraz wprowadź wartości do wzoru na nachylenie punktu:

   $\small y - 20 = 0,\!2 \cdot (x - 30)$.

4. Uprość równanie, aby otrzymać równanie w postaci ogólnej:

   $\small 0 = 0,\!2x - y + 14$.

I gotowe! Mamy nadzieję, że spodobał ci się nasz kalkulator równania kierunkowego prostej przechodzącej przez punkt!

Jeśli masz postać równania kierunkowego prostej przechodzącej przez dany punkt o współrzędnych (x₁, y₁), możesz uzyskać postać kierunkową prostą, wykonując następujące kroki:

1. Zapisz swoje równanie kierunkowe ze współrzędnymi punktu:

   y - y₁ = a(x - x₁)

2. Rozwiń prawą stronę:

   y - y₁ = ax - ax₁

3. Dodaj b do obu stron:

   y = ax - ax₁ + y₁

4. I gotowe, otrzymałeś/aś równanie prostej w postaci kierunkowej! Nachylenie to a, a punkt przecięcia to - ax₁ + y₁.

Punkt przecięcia prostej opisanej równaniem kierunkowym y - y₁ = a(x - x₁) z osią y jest określony wzorem punkt przecięcia = y₁ - ax₁. Na przykład dla prostej y - 1 = 2(x - 3) otrzymamy 1 - 6 = -5, co oznacza punkt przecięcia o współrzędnych (0, -5).

Jeśli nachylenie prostej wynosi zero, wzór na równanie kierunkowe prostej sprowadza się do y - b = 0. Równanie to opisuje linię poziomą, która przecina oś pionową w punkcie y = b.

Tak! Weźmy prostą o równaniu kierunkowym w postaci y = ax + b. Zapiszmy jej równanie kierunkowe prostej dla punktu (0, y₁). Otrzymamy formułę y - y₁ = a(x - 0), która jest taka sama (aż do trywialnego przekształcenia polegającego na przeniesieniu y₁ na prawą stronę) jak równanie prostej w postaci kierunkowej.