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Calcolatore del Versore | Direzione del Vettore

Created by Luis Hoyos
Reviewed by Anna Szczepanek, PhD and Rijk de Wet
Translated by Agata Flak and Rangsimatiti Binda Saichompoo
Last updated: Jan 18, 2024


Se vuoi calcolare la direzione di un vettore, sei nel posto giusto. Questo calcolatore del versore trova l'angolo di direzione di un vettore e calcola un vettore unitario in questa direzione. In questo contesto, il vettore unitario è chiamato versore.

I vettori sono uno strumento potente per rappresentare molte quantità fisiche nel nostro mondo fisico. Rappresentano forze, velocità e molte altre quantità derivate.

Oltre alla direzione, è possibile trovare anche il modulo del vettore se clicchi sulla Modalità avanzata del calcolatore. Pertanto, con questo strumento puoi trovare il modulo e l'angolo di direzione di qualsiasi vettore.

Come si calcola la direzione di un vettore?

Puoi esprimere o calcolare la direzione di un vettore v in due modi:

  1. Calcolando l'angolo di direzione del vettore v. L'angolo di direzione è l'angolo che v forma con l'asse x positivo, contando in senso antiorario; e
  2. Ricavando un vettore unitario nella direzione dello stesso vettore. Questo vettore unitario è chiamato versore.

Come si trova l'angolo di direzione del vettore?

Per calcolare l'angolo θ\theta che un vettore bidimensionale v=(x;y)\vec{v} = (x; y) forma con l'asse orizzontale, usa questa equazione:

θ=arctan(yx)\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)

L'unico problema di questa formula è che non ci fornisce l'angolo rispetto all'asse x positivo, ma rispetto all'asse orizzontale più vicino. Se il tuo vettore si trova nel primo quadrante del piano cartesiano, come il vettore che punta verso P(3,5)P(3, 5) nell'immagine, questo non è un problema.

Quattro quadranti del piano cartesiano e un vettore P(3; 5)

Ma cosa succede se un vettore appartiene a un altro quadrante? Supponiamo di voler trovare l'angolo di direzione θ\theta del vettore Q=(2;4)Q = (-2; 4) dell'immagine precedente. Se usassimo la formula precedente per trovare l'angolo di direzione, non otterremmo l'angolo corretto, poiché otterremmo l'angolo γ\gamma invece dell'angolo di direzione θ\theta.

Quattro quadranti del piano cartesiano e un vettore Q(-2; 4)

Come procedere?? Ebbene, in questo caso, avrai notato che θ=180γ\theta = 180^\circ - \gamma. Possiamo estendere questo ragionamento agli altri casi e trovare le seguenti equazioni per calcolare la direzione del vettore in ogni quadrante:

  • Nel primo quadrante, θI=arctan(yx)\theta_\text{I} = \arctan(\frac{y}{x});
  • Nel secondo quadrante, θII=180°arctan(yx)\theta_\text{II} = 180° - \arctan(\frac{y}{x});
  • Nel terzo quadrante, θIII=180°+arctan(yx)\theta_\text{III} = 180° + \arctan(\frac{y}{x}); e
  • Nel quarto quadrante, θIV=360°arctan(yx)\theta_\text{IV} = 360° - \arctan(\frac{y}{x}).

🙋 Il termine arctan(yx)\arctan(\frac{y}{x}) indica un angolo in radianti e devi convertirlo in gradi prima di utilizzarlo nelle equazioni del secondo, terzo o quarto quadrante. Visita il nostro strumento convertitore di angoli 🇺🇸 per scoprire come farlo.

Come ricavare il versore di un vettore?

Per ricavare un versore û nella direzione di un vettore v = (x, y, z), segui questi passaggi:

  1. Trova il modulo di del vettore v:

    |v| = √(x² + y² + z²);

  2. Dividi ogni coefficiente del vettore v per il modulo di v:

    û = v/|v| = (x/|v|; y/|v|; z/|v|); e

  3. Questo è quanto. û è il versore di v, cioè il vettore unitario che va nella direzione di v.

Come si ricava un vettore con un certo modulo nella direzione di un altro vettore?

Per ricavare un vettore con un modulo specifico nella direzione di un altro vettore v = (x, y, z):

  1. Trova il modulo del vettore v:

    |v| = √(x² + y² + z²);

  2. Trova un versore û nella direzione di v. Per farlo, dividi ogni coefficiente del vettore v per il suo modulo:

    û = v/|v| = (x/|v|; y/|v|; z/|v|); e infine

  3. Moltiplica il modulo del vettore desiderato per il versore û. Il risultato sarà il vettore desiderato.

Come trovare il modulo e la direzione di due vettori?

Per trovare il modulo e la direzione di due vettori, devi sommarli (puoi usare il nostro calcolatore per la somma dei vettori per farlo) e applicare a esso i passaggi descritti sopra.

Ora che sai come trovare il modulo e l'angolo di direzione di un vettore, vediamo alcuni esempi concreti e le domande frequenti.

FAQ

Come si trova un vettore con modulo 3 nella direzione di v = 12i - 5k?

Per ricavare un vettore con modulo 3 nella direzione di v = 12i - 5k:

  1. Trova il modulo di v:

    |v| = √(12² + (-5)²) = 13;

  2. Trova un versore û nella direzione di v. Per farlo, dividi v per il suo modulo:

    û = v/|v| = (12/13)i - (5/13)k; e infine

  3. Moltiplica il modulo desiderato, 3, per il versore û. Otteniamo il vettore w:

    w = 3û = (36/13)i - (15/13)k.

    Esso ha la direzione e il modulo desiderati.

Come si calcola il versore nella direzione v = i + j + 2k?

Per calcolare il versore nella direzione v = i + j + 2k:

  1. Trova il modulo di v:

    |v| = √(1² + 1² + 2²) = √6 ≈ 2,4495;

  2. Dividi il vettore v per il suo modulo:

    û = v/|v| = (1/√6)i + (1/√6)j + (2/√6)k; e

  3. Questo è quanto. û è il versore nella direzione di v.

Il prodotto scalare di due vettori nella stessa direzione è positivo o negativo?

Il prodotto scalare di due vettori nella stessa direzione è sempre positivo. Questo perché il prodotto scalare di due vettori nella stessa direzione equivale alla moltiplicazione dei loro moduli, e il modulo di un vettore è sempre positivo.

Come si calcola il modulo e la direzione della somma di due vettori?

Per trovare il modulo e la direzione della somma di due vettori:

  1. Somma i due vettori;
  2. Somma il quadrato di ogni componente del vettore ottenuto al punto 1;
  3. Prendi la radice quadrata del risultato del punto 2: ecco il modulo della somma dei tuoi due vettori! ; e infine
  4. Per calcolare la direzione del vettore v = (x; y), usa la formula θ = arctan(y/x), dove θ è l'angolo più piccolo che il vettore forma con l'asse orizzontale, e x e y sono le componenti del vettore ottenuto sommando i due vettori.
Luis Hoyos
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