Calcolatore per la Circonferenza Goniometrica

Eccoti nel calcolatore per la circonferenza goniometrica ⭕. Il nostro strumento ti aiuterà a determinare le coordinate di qualsiasi punto della circonferenza goniometrica, talvolta chiamata circonferenza trigonometrica, circonferenza unitaria o cerchio unitario. Basta inserire l'angolo ∡, e ti mostreremo il seno e il coseno dell'angolo.

Se non sai ancora che cos'è una circonferenza goniometrica, continua a leggere per trovare la risposta. Troverai anche il grafico della circonferenza goniometrica e una spiegazione su come trovare la tangente, il seno e il coseno della circonferenza goniometrica; quindi non aspettare oltre e continua a leggere questo fondamentale calcolatore di trigonometria!

La circonferenza goniometrica è un cerchio con raggio $1$ (raggio unitario). Nella maggior parte dei casi, è centrato nel punto $(0,0)$, l'origine del sistema di coordinate.

La circonferenza goniometrica è un concetto molto utile per imparare la trigonometria e la conversione degli angoli.

Ora che sai cos'è la circonferenza goniometrica, passiamo alle relazioni nella circonferenza goniometrica.

Ok, allora perché la circonferenza goniometrica è così utile nella trigonometria?

Prima di tutto, se è anche chiamata circonferenza trigonometrica, ci sarà pure una ragione! Ma passiamo al sodo:

In sintesi

Le relazioni di seno e coseno della circonferenza goniometrica sono le seguenti:

• Il seno è la coordinata y; e
• Il coseno è la coordinata x.

Spiegazione dettagliata

Prendiamo un punto A qualsiasi sulla circonferenza goniometrica.

• Le coordinate di questo punto sono $x$ e $y$. Trattandosi di una circonferenza goniometrica, il raggio $r$ è uguale a $1$ (distanza tra un punto $P$ e il centro del cerchio):

• Proiettando il raggio sugli assi $x$ e $y$, otterremo un triangolo rettangolo, dove $|x|$ e $|y|$ sono le lunghezze dei cateti, e l'ipotenusa è uguale a $1$:

• Come in ogni triangolo rettangolo, puoi determinare i valori delle funzioni trigonometriche trovando i rapporti tra i lati:

Quindi, in altre parole, il seno è la coordinata $y$

E il coseno è la coordinata $x$.

L'equazione della circonferenza trigonometrica, derivata direttamente dal teorema di Pitagora, è la seguente:

Oppure, in modo analogico:

L'intima connessione tra trigonometria e triangoli non può essere più sorprendente! Per saperne di più su questi importanti concetti, visita il calcolatore per il triangolo rettangolo di Omni.

Puoi trovare direttamente il valore della tangente della circonferenza goniometrica se ricordi la definizione di tangente:

Il rapporto tra il cateto opposto e quello adiacente rispetto a un angolo in un triangolo rettangolo.

Come abbiamo imparato dal paragrafo precedente, $\sin(\alpha) = y$ e $\cos(\alpha) = x$, quindi:

Possiamo anche definire la tangente dell'angolo come il suo seno diviso per il suo coseno:

Il che, ovviamente, ci porterà allo stesso risultato.

Un altro metodo è quello di utilizzare il nostro calcolatore per la circonferenza goniometrica, ovviamente. 😁

Hai ancora fame di sapere e vuoi vedere il valore della tangente sulla circonferenza goniometrica?

È un po' più complicato che determinare il seno e il coseno, che sono semplicemente delle coordinate. Esistono due modi per visualizzare la tangente della circonferenza goniometrica:

Metodo 1

1. Crea una linea tangente al punto $A$;
2. Questa intersecherà l'asse $x$ nel punto $B$; e
3. La lunghezza del segmento $\bar{AB}$ è il valore della tangente.

Metodo 2

1. Traccia una linea $x = 1$;
2. Prolunga la linea contenente il raggio;
3. Nomina l'intersezione di queste due linee come punto $C$; e
4. La tangente, $\tan(\alpha)$, è la coordinata $y$ del punto $C$.

In entrambi i metodi, abbiamo creato dei triangoli rettangoli con il lato adiacente pari a 1. 😎

Seno, coseno e tangente non sono le uniche funzioni che puoi costruire sulla circonferenza goniometrica. Oltre alla cotangente, puoi presentare anche altre funzioni meno conosciute, come la secante, la cosecante e il senoverso, la quale non è più utilizzata:

Il concetto di circonferenza goniometrica, conosciuta anche come circonferenza unitaria, è molto importante perché puoi usarlo per trovare il seno e il coseno di qualsiasi angolo. Di seguito ti presentiamo alcuni angoli comunemente incontrati nel grafico della circonferenza goniometrica:

Ad esempio, come determinare $\sin(150\degree)$?

1. Cerca l'angolo $150\degree$; e
2. Come abbiamo imparato in precedenza, il seno è la coordinata $y$, quindi prendiamo la seconda coordinata dal punto corrispondente della circonferenza goniometrica:

In alternativa, inserisci l'angolo di 150° nel nostro calcolatore per la circonferenza goniometrica. Ti mostreremo il valore di $\sin(150\degree)$, ovvero la coordinata $y$, il coseno, la tangente, e il grafico della circonferenza trigonometrica.

Beh, dipende da cosa vuoi memorizzare. 🙃 Ci sono due cose da ricordare quando si parla di circonferenza goniometrica, o circonferenza triconometrica:

1. Conversione degli angoli, ovvero come passare da un angolo in gradi a uno in termini di $\pi$ (radianti); e

2. Le funzioni trigonometriche degli angoli più diffusi.

Iniziamo con la prima parte, più semplice. Gli angoli più importanti sono quelli che userai sempre:

• $30\degree = \pi/6$;
• $45\degree = \pi/4$;
• $60\degree = \pi/3$;
• $90\degree = \pi/2$; e
• $360\degree = 2\pi$ — l'angolo giro.

Poiché questi angoli sono molto comuni, cerca di impararli a memoria. ❤️ Per qualsiasi altro angolo, puoi utilizzare la formula di conversione degli angoli:

La conversione dei radianti della circonferenza goniometrica in gradi non dovrebbe più essere un problema! 💪

L'altra parte — ricordare l'intero grafico della circonferenza goniometrica, con i valori di seno e coseno — è un processo un po' più lungo. Non lo descriveremo qui, ma ti invitiamo a dare un'occhiata a quest'articolo sulla circonferenza goniometrica, o a questa pagina WikiHow. Se preferisci guardare un video 🖥️ piuttosto che leggere 📘, guarda uno di questi due video che spiegano come memorizzare la circonferenza goniometrica:

• Circonferenza goniometrica;
• Un trucco per ricordare i valori sulla circonferenza goniometrica [EN]; e
• Come memorizzare la circonferenza goniometrica in pochi minuti!!! [EN].

Ricorda che puoi sempre attivare la funzione di auto-traduzione su YouTube per comprendere i video.

Inoltre, questa tabella con gli angoli più comuni potrebbe esserti utile:

E se qualche metodo fallisce, puoi tranquillamente usare il nostro calcolatore per la circonferenza goniometrica — è qui per te, per sempre. ❤️ Speriamo che giocare con questo strumento ti aiuti a capire e a memorizzare i valori della circonferenza trigonometrica!

tan 30° = 1/√3. Per trovare questa risposta sulla circonferenza goniometrica, o circonferenza trigonometrica, iniziamo trovando i valori di sin e cos come coordinate y e x, rispettivamente: sin 30° = 1/2 e cos 30° = √3/2. Ora usa la formula. Ricorda che tan 30° = sin 30° / cos 30° = (1/2) / (√3/2) = 1/√3, come indicato. Vedi come è facile?

Per determinare la cosecante di θ sulla circonferenza goniometrica, o circonferenza trigonometrica:

1. Dal centro del cerchio disegna il raggio corrispondente all'angolo θ;
2. Disegna le linee tangenti al cerchio nei punti (0,1) e (0,-1);
3. Prolunga il raggio del punto 1 in modo che intersechi una di queste tangenti;
4. La distanza dal centro al punto di intersezione del passo 3 è la cosecante dell'angolo θ; e
5. Se non c'è un punto di intersezione, la cosecante di θ è indefinita (questo accade quando sin θ = 0).

Poiché l'arcoseno è la funzione inversa della funzione seno, trovare arcsin(1/2) equivale a trovare un angolo il cui seno è uguale a 1/2. Sulla circonferenza goniometrica, chiamata anche circonferenza trigonometrica, i valori del seno sono le coordinate y dei punti sul cerchio. Osservando la circonferenza goniometrica, vediamo che la coordinata y è uguale a 1/2 per l'angolo π/6, cioè 30°.