Calculateur de racines

Bienvenue sur le calculateur de racines, où nous allons voir ensemble comment calculer la racine n-ième d'un nombre.

Nous commencerons par une explication rapide de ce qu'est une racine en mathématiques et nous donnerons quelques exemples faciles que vous avez peut-être déjà vus, comme la racine carrée de 2, la racine carrée de 3 ou la racine cubique de 4. Mais que faire si c'est la racine quatrième que vous voulez trouver ? Les exemples précédents étaient assez simples, mais, disons, quelle est la racine quatrième de 81 ? Pas de soucis, nous allons répondre à toutes ces questions !

Installez-vous confortablement, détendez-vous et apprenez en plus sur le monde merveilleux des racines n-ièmes.

Nous connaissons tous la multiplication, n'est-ce pas ? Telle que $12 \times 4 = 48$ ? Si nous voulons multiplier le même nombre plusieurs fois, nous pouvons l'écrire sous une forme simplifiée :

Le petit $5$ s'appelle l'exposant et représente le nombre de copies d'un nombre (dans ce cas, $12$). On dit aussi qu'on élève $12$ à la puissance de $5$. Vous pouvez explorer cette opération mathématique avec le calculateur de puissance d'un nombre d'Omni.

La racine est l'opération inverse de la puissance. Pour faire le lien avec le côté nature, lorsque nous observons un arbre adulte, nous voyons ses feuilles et son tronc, mais tout est créé à partir de ses racines. Et c'est la même chose pour les nombres : lorsque nous voyons le nombre $125$, prendre sa racine nous montrera la minuscule graine dont il est issu. Dans cet exemple, cela nous montrera que la graine est $5$ parce que $5^3 = 125$.

Formellement, la racine $n^{\mathrm{ième}}$ d'un nombre $a$ est le nombre $b$, tel que :

Par exemple, jetons un coup d'œil sur ce qu'est la racine carrée d'un nombre. Supposons que vous creusiez une piscine dans votre jardin. Vous aimeriez qu'elle soit aussi longue que large et qu'elle recouvre une superficie de $25$ mètres carrés. Comment calculer la longueur des côtés ? En calculant la racine, bien sûr ! Dans ce cas, il s'agit de la racine carrée de l'aire, c'est-à-dire la racine carrée de $25$.

Et quelle est la racine carrée de ce nombre ? Voyons comment la trouver et calculer la racine carrée en général.

Parfois, le calcul de la racine en mathématiques peut ressembler à un jeu de devinettes. Mais ce n'est pas la même chose que de lancer les dés les yeux fermés et de deviner ce que vous obtiendrez. Il s'agit plutôt d'une supposition calculée. Après tout, une fois que nous savons que $3^4 = 81$, nous pouvons dire en toute sécurité que la racine $4^{\mathrm{ième}}$ de $81$ est $3$. Mais nous devons d'abord le savoir.

Que pouvons-nous faire si nous oublions notre tableau des cent premiers nombres et de leurs premières puissances à la maison ? Est-ce une cause perdue ? Heureusement que non ! Nous verrons cela dans une seconde.

À titre d'exemple, nous allons vous montrer comment calculer la racine carrée de $72$. Notre principal outil sera la factorisation des nombres premiers, c'est-à-dire la division de $72$ en ses plus petits éléments possibles.

Dans la factorisation des nombres premiers, nous prenons un nombre (dans notre cas, $72$) et nous trouvons le plus petit nombre premier qui le divise. Rappelons qu'un nombre premier est un nombre entier qui n'a que deux diviseurs : $1$ et lui-même. Il est assez facile de voir que pour nous, ce sera $2$ puisque :

L'étape suivante consiste à trouver le plus petit nombre premier du résultat de la division par le nombre premier, c'est-à-dire le nombre $36$. Si nous continuons ainsi jusqu'à $1$, nous obtiendrons les nombres premiers suivants : $2$, $2$, $2$, $3$, $3$. Il s'agit de la factorisation des nombres premiers de $72$, ce qui signifie que :

La factorisation des nombres premiers n'est pas claire ? Pas de soucis, il s'agit d'un problème mathématique assez intéressant, parfois difficile à résoudre, même pour les ordinateurs ! Vous pouvez en apprendre davantage (presque tout) à ce sujet en consultant le calculateur de factorisation des nombres premiers 🇺🇸 d'Omni.

Maintenant, voyons si nous avons des paires parmi les nombres : ici, nous voyons que nous avons une paire de $2$, une paire de $3$ et un autre $2$ tout seul. Cela nous permet d'écrire le raciné carrée de $72$ comme suit :

Un œil attentif observera que les seuls nombres qui restent sous la racine sont les solitaires qui n'ont pas trouvé de paire.

Mais qu'en est-il de $2$ ? Quelle est la racine carrée de $2$ ? La racine carrée de $2$, la racine carrée de $3$, ou tout autre nombre premier nous ramène au jeu de devinettes. Heureusement, nous pouvons utiliser notre calculateur de racines pour calculer que $\sqrt{2} \approx 1,\! 414\,2$, ce qui nous donne :

En fait, lorsque l'on nous demande quelle est la racine carrée d'un certain nombre, nous devons d'abord procéder à la factorisation des nombres premiers pour décomposer le problème. Puis, si (comme ci-dessus) il nous reste un petit chiffre à la fin, il nous suffit d'utiliser un outil tel que le calculateur de racines pour trouver le résultat.

Mais qu'en est-il des racines n-ièmes ? Que faire si on a besoin, par exemple, de la racine quatrième d'un nombre ? C'est précisément le problème que nous allons traiter dans la section suivante.

Rappelez-vous de la manière dont vous vouliez calculer les dimensions d'une piscine dans la première section. Supposons maintenant que vous aimeriez que l'ensemble soit un cube qui contienne $64$ mètres cubes d'eau.

Comment trouver le côté d'une telle piscine ? Eh bien, en calculant la racine cubique du nombre (c'est de là que vient le terme « cubique » de la racine). On a donc :

Mais comment en sommes-nous arrivés là ? Eh bien, on a procédé de la même manière : la factorisation des nombres premiers. Si nous appliquons la méthode à $64$, nous obtiendrons ce résultat :

$64\!=\!4\!\times\!4\!\times\!4$

Parce que 64 est assez petit, il est difficile de voir le processus de factorisation. Alors pour que vous compreniez bien, prenons un plus grand nombre :

Ce qui est différent, c'est qu'au lieu de paires, nous regroupons les nombres en triples. C'est ce que suggère le petit $3$ dans le symbole de la racine : nous avons besoin des puissances de trois. Notez que les racines carrées sont, en fait, des racines d'ordre $2$, mais nous n'écrivons pas $2$ parce que… Eh bien, si nous n'avons pas à le faire pour un type de racine, autant que ce soit la plus simple. Il s'agit simplement d'une convention et d'une tradition. Considérez cela comme l'équivalent mathématique de la bûche de Noël.

Quoi qu'il en soit, pour en revenir à notre problème, le regroupement nous permet d'écrire :

$\sqrt[3]{64}= 4$

Et pour notre plus grand nombre :

Si nous prenons des racines d'ordres supérieurs, la même règle s'applique. Lors du calcul de la racine quatrième, nous regroupons les nombres premiers en quadruples. Par exemple, si vous avez besoin de la racine $4^{\mathrm{ième}}$ de $81$, vous observez d'abord que :

Nous avons donc quatre $3$. Cela signifie que la racine $4^{\mathrm{ième}}$ de $81$ est égale à $3$. Et si nous avons besoin de la racine n-ième, nous regroupons par $n$ éléments. Et, s'il reste quelque chose après la factorisation, nous trouvons le résultat simplement avec un outil comme notre calculateur de racines.

Bon, après tout ce temps passé sur la théorie, il est grand temps d'examiner un exemple concret et de voir le calculateur de racines en action, n'est-ce-pas ?

Félicitations, c'est un garçon ! Maintenant que vous êtes devenu·e parent, vous décidez de commencer tôt et d'économiser un peu d'argent pour l'université. Vous choisissez de prendre une bonne partie de votre épargne et de la laisser à la banque pendant les dix-huit prochaines années afin que le montant augmente en même temps que votre enfant grandit.

Supposons que vous ayez réussi à mettre de côté $8\,000 €$ (appelez cette quantité $\mathrm{début}$). Malheureusement, vous avez oublié le taux d'intérêt de l'investissement, mais ce qui est fait est fait. Le montant à la fin vous surprendra autant que votre fils.

Le temps passe, les années s'écoulent, et enfin, le moment est venu de faire cadeau à votre enfant de l'argent que vous avez épargné. Vous appelez la banque, et il s'avère qu'il y a $12\,477,\!27 €$ sur le compte (nous appellerons la variable $\mathrm{fin}$). Ce n'est pas si mal, n'est-ce pas ? Il semble que vous allez pouvoir réaliser les rêves de votre fils.

Mais, juste pour nous, par pure curiosité, pouvons-nous calculer le taux d'intérêt à partir des chiffres que nous avons ?

Bien sûr que oui, et le calculateur de racines va nous aider !

Supposons que les intérêts soient ajoutés au compte à la fin de chaque année et que l'argent ne soit pas taxé du tout (oui, nous savons que nous allons un peu loin). Le montant que nous obtenons à la fin est décrit par la formule suivante :

La puissance de $18$ provient des dix-huit années que l'argent a passées à la banque : c'est la formule que vous pouvez rencontrer sur le calculateur d'intérêt simple. Dans notre cas, cela se traduit par :

Si nous divisons les deux côtés par $8\,000 €$, nous obtenons ce chiffre :

Ou après une approximation :

Ainsi, si nous avons la puissance $18$ à droite, nous devons trouver le racine $18^\mathrm{ième}$ du nombre à gauche. C'est un peu plus compliqué que la racine carrée de $3$, n'est-ce pas ?

Nous nous en remettons à notre calculateur de racines. Nous avons deux nombres : $a$ et $n$. Nous savons que $n$ est l'ordre de multiplicité de la racine, donc nous entrons $n = 18$. Ensuite, $a$ est le nombre sous la racine, nous prenons donc $a = 1,\!559\,7$. Le calculateur de racines nous donne donc la réponse suivante :

Si nous traduisons le nombre décimal en pourcentages, nous obtenons :

Cela semble assez faible, vous avez vu comme cela a évolué en dix-huit ans !

Bon, une fois la curiosité assouvie, il est temps de penser au gâteau d'anniversaire. Espérons que votre fils utilisera l'argent à bon escient et qu'il poursuivra ses études.