Calculateur de logarithme

Ce calculateur de logarithme vous permet de calculer le logarithme d'un nombre (réel positif) avec une base choisie (positive, différente de 1). Que vous cherchiez un logarithme népérien, un logarithme en base 2 ou un logarithme en base 10, cet outil résoudra votre problème.

Si vous souhaitez mieux comprendre les logarithmes, poursuivez votre lecture. Vous y trouverez la formule du logarithme, les règles à suivre, et des informations fascinantes sur leur importance et leur application dans la vie de tous les jours.

Si vous recherchez d'autres calculateurs utiles pour faire des maths, n'hésitez pas à jeter un coup d'œil à notre calculateur de racine cubique 🇺🇸, qui vous permet de calculer non seulement la racine cubique, mais aussi les racines de n'importe quel degré.

Vous êtes plutôt du genre à regarder une vidéo que de lire un pavé ? Si vous avez 90 secondes devant vous, nous avons réalisé une petite animation qui vous expliquera tout sur le sujet :

Une fonction logarithmique est l'inverse de la puissance d'un nombre, aussi appelée fonction d'exponentiation. En résumé, si a élevé à la puissance y donne x, alors le logarithme de x en base a est égal à y. Sous forme d'équations, aʸ = x est équivalent à logₐ(x) = y.

En d'autres termes, le logarithme de x, ou logₐ(x), indique la puissance à laquelle nous devons élever a (ou, si x est supérieur à 1, combien de fois a doit être multiplié par lui-même) pour obtenir la valeur x. De ce point de vue, nous pouvons également représenter le logarithme de la manière suivante :

$\mathrm{a^{{log}_a(x)}} =\mathrm x$

Nous espérons maintenant que la définition du logarithme est plus claire ; dans la section suivante, vous trouverez des informations sur les deux formes les plus fréquemment utilisées.

Vous pouvez choisir différentes bases pour les logarithmes ; cependant, deux bases particulières sont si souvent utilisées que les mathématiciens leur ont donné des noms uniques, le logarithme népérien ou naturel et le logarithme décimal ou commun.

Le logarithme népérien

Si vous voulez calculer le logarithme népérien d'un nombre, vous devez choisir une base approximativement égale à 2,718 281. Par convention, ce nombre est symbolisé par e, du nom de Léonard Euler, qui a défini sa valeur en 1731. En conséquence, le logarithme peut être représenté par logₑx, mais il est traditionnellement désigné par le symbole ln(x). Vous pouvez également voir log(x), qui fait aussi référence à la même fonction, en particulier dans les domaines de la finance et de l'économie. Par conséquent, y = logₑx = ln(x) qui est équivalent à x = eʸ = exp(y).

Une manière pratique de comprendre la fonction du logarithme népérien est la notion d'intérêts composés. Il s'agit des intérêts calculés à la fois sur le capital initial et sur les intérêts accumulés.

La formule des intérêts composés annuels est la suivante :

A = P(1 + r/m)ᵐᵗ

Où :

• A – valeur de l'investissement après t années
• P – valeur initiale
• r – taux d'intérêt annuel (en décimales)
• m – nombre de fois que les intérêts sont composés par an ou la fréquence de composition
• t – nombre d'années

Supposons que vous déposiez de l'argent pendant un an dans une banque où la fréquence de composition est élevée, ce qui fait que m est égal à un grand nombre. Il est facile de voir à quelle vitesse la valeur de m augmente si vous comparez les fréquences annuelles (m = 1), mensuelles (m = 12), quotidiennes (m = 365) ou horaires (m = 8 760). Imaginons maintenant que votre argent soit recalculé toutes les minutes ou toutes les secondes : m devient alors un nombre considérablement élevé.

Voyons maintenant comment la fréquence de croissance affecte votre argent initial :

Vous pouvez remarquer que même si la fréquence de composition atteint un nombre inhabituellement élevé, la valeur de (1 + r/m)ᵐ (qui est le multiplicateur de votre dépôt initial) n'augmente pas beaucoup. Au contraire, elle se stabilise quelque peu : elle se rapproche d'une valeur unique déjà mentionnée plus haut, e ≈ 2,718 281.

Étant donné que les taux de croissance suivent souvent un schéma similaire à celui de l'exemple ci-dessus, l'économie fait également fortement appel aux logarithmes népériens. Deux variables régulièrement rencontrées utilisent le logarithme népérien : le taux de croissance du PIB 🇺🇸 et l'élasticité-prix de la demande.

Le logarithme décimal

L'autre forme populaire de logarithme est le logarithme décimal. Comme son nom l'indique, c'est un logarithme avec une base de 10, log₁₀x. Il est conventionnellement désigné par log(x) ou lg(x). Il est également connu sous le nom de logarithme commun, logarithme vulgaire, logarithme en base 10 ou logarithme de Briggs, du nom de Henry Briggs, un mathématicien anglais qui en a développé l'utilisation.

Il s'agit de la forme de logarithme la plus fréquemment utilisée. Il est utilisé, par exemple, dans notre calculateur de décibels 🇺🇸. Les tables de logarithmes qui visaient à faciliter les calculs autrefois contenaient aussi des logarithmes decimaux.

Le tableau ci-dessous présente quelques valeurs usuelles du logarithme décimal et du logarithme népérien.

Si vous souhaitez calculer un logarithme avec une base arbitraire, mais que vous n'avez accès qu'à un calculateur de logarithme népérien ou à un calculateur de logarithme en base 10, vous devez appliquer les règles suivantes :

• logₐ(x) = ln(x) / ln(a)
• logₐ(x) = lg(x) / lg(a)

Supposons que vous souhaitiez utiliser cet outil comme calculateur de logarithme en base 2. Pour calculer le logarithme de n'importe quel nombre, il vous suffit de suivre ces étapes :

1. Déterminez le nombre dont vous voulez trouver le logarithme. Disons que c'est 100.
2. Choisissez votre base – dans notre cas, 2.
3. Trouvez le logarithme en base 10 du nombre 100 : lg(100) = 2
4. Trouvez le logarithme en base 10 du nombre 2 : lg(2) = 0,301 03
5. Divisez ces valeurs l'une par l'autre : lg(100) / lg(2) = 2 / 0,301 03 = 6,644
6. Vous pouvez également ignorer les étapes 3 à 5 et saisir le nombre et la base directement dans le calculateur de logarithme.

Des preuves suggèrent que la notion de logarithme était déjà présente dans l'Inde du VIIIᵉ siècle. Cependant, le concept développé de logarithme est apparu pour la première fois dans le livre intitulé Mirifici logarithmorum canonis descriptio (la construction du merveilleux canon des logarithmes) imprimé en 1614. C'est le résultat de 20 ans de recherche menée par le mathématicien écossais John Napier, visant à faciliter les calculs pour ses travaux d'astronomie et de physique.

La première partie du livre explique précisément la théorie du logarithme avec ses propriétés et ses domaines d'application. La seconde partie illustre des exemples de calculs logarithmiques à travers quatre-vingt-dix pages de tableaux. Napier énonce également les limites de son travail et fournit des analogies, des exemples, des avertissements, des rappels et des conclusions. Le livre peut donc fonctionner comme un manuel d'instruction. Il ne s'étend toutefois pas sur la manière dont l'outil a été créé.

Pour notre génération, il n'est peut-être pas facile à première vue d'apprécier l'invention du logarithme, car nous utilisons déjà des calculateurs et des ordinateurs modernes pour les calculs mathématiques. Pourtant, au XVIIᵉ siècle, cette découverte a eu un impact considérable sur la vie des gens. Avant l'apparition des logarithmes, la résolution des problèmes mathématiques pouvait prendre des heures, des jours, voire des années.

Le premier progrès explicite apporté par les logarithmes a été l'amélioration des calculs en convertissant les multiplications et les divisions en additions et soustractions. Le seul effort supplémentaire consistait à rechercher les logarithmes et les antilogarithmes, c'est-à-dire l'inverse du logarithme, dans les tables logarithmiques.

La nouvelle méthode de calcul a joué un rôle déterminant dans le domaine de l'astronomie. Les activités scientifiques de Napier ont coïncidé avec l'époque où l'astrophysique connaissait de nouveaux développements. Avant, les astronomes se heurtaient à d'interminables calculs pour déterminer la position des planètes en utilisant la théorie du système solaire de Copernic. Johannes Kepler, qui travaillait à l'époque sur ses fameuses lois du mouvement des planètes, en faisait partie.

Grâce aux travaux de Napier, la charge de travail, qui nécessitait auparavant près de mille pages de calculs, a été considérablement réduite, ce qui a lui permis de consacrer plus de temps à ses préoccupations philosophiques.

Henry Briggs, un célèbre mathématicien britannique, a été impressionné par les travaux de Napier. Il s'est rendu en Écosse pour rencontrer Napier et discuter de la manière d'améliorer encore ce nouveau concept.

En 1617, après avoir modifié l'idée originale, ils ont formulé la première table des logarithmes basée sur les puissances de 10. En 1624, après la mort de Napier, Briggs a publié son livre, Arithmetica logarithmic, qui présentait des tables logarithmiques pour 30 000 nombres naturels à 14 décimales. Cette forme de logarithme est considérée aujourd'hui comme le logarithme décimal. (Katrici, 2007)

La popularité des logarithmes a conduit à l'invention de nouveaux outils mathématiques. En 1620, Edmund Gunter a inventé la ligne de calcul, un dispositif physique utilisé pour les multiplications et les divisions.

La première version de l'outil, qui nécessitait un compas, a été perfectionnée par William Oughtred en 1622. Il a inventé la règle à glissière, plus communément appelé règle à calcul, qui est un dispositif composé de deux règles glissant l'une à côté de l'autre.

Il a ainsi révolutionné le calcul logarithmique. La règle à calcul a permis de simplifier considérablement les multiplications et les divisions, ce qui l'a rendu indispensable dans de nombreuses professions. Architectes, ingénieurs, scientifiques et même astronautes ont utilisé la règle à calcul jusqu'à l'avènement de la révolution numérique. Albert Einstein en était un utilisateur régulier, et les équipages des missions Apollo en ont emporté dans l'espace.

La règle à calcul était un outil de calcul bien plus pratique que les premiers ordinateurs. Elle :

• était simple à utiliser et suffisamment petite pour tenir dans une poche ;
• ne nécessitait pas de source d'énergie ;
• pouvait résoudre une grande variété de problèmes mathématiques ; et
• était relativement bon marché et mécaniquement fiable.

De nos jours, les ordinateurs modernes et les calculateurs scientifiques ont remplacé les anciennes pratiques. Néanmoins, comprendre les concepts qui sous-tendent les logarithmes pourra toujours vous aider à parfaire vos compétences mathématiques. Les logarithmes ont encore de multiples usages pratiques dans de nombreux domaines.

Les logarithmes relient les progressions arithmétiques et géométriques. Cela suggère que certains phénomènes du monde réel puissent suivre un modèle logarithmique. En effet, de nombreux exemples de modèles logarithmiques existent dans la nature et dans notre vie quotidienne, et ils peuvent être attribués à la puissance des logarithmes.

Par exemple, les phénomènes naturels suivants présentent une spirale logarithmique.

• Coquille d'un nautile

• Galaxies

• Cyclones

Par ailleurs, il existe d'autres phénomènes qui se mesurent sur l'échelle logarithmique…

• la dureté des minéraux (l'échelle de Mohs) ;
• l’intensité des sons (les décibels – dB) ;  
• l'intensité du vent (l'échelle de Beaufort) ;
• les tremblements de terre (l'échelle de Richter) ;
• l’acidité (le pH) ;
• etc.

💡 Saviez-vous que le logarithme permet de calculer la valeur du facteur de bruit 🇺🇸, qui est importante dans les domaines d'étude de la réduction et du contrôle du bruit.

Avant la fin des années 1970, lorsque les calculatrices de poche sont devenues accessibles au grand public, effectuer des calculs, en particulier avec des fractions, nécessitait un effort important. Pour pallier ce travail fastidieux, l'application des logarithmes avait une fonction pratique.

Pour exploiter l'avantage technique du logarithme, il faut se familiariser avec ses propriétés de base. Vous connaissez probablement déjà ces règles, mais pour vous les rappeler, nous avons créé le tableau suivant :

Pour illustrer l'utilité de cette méthode à l'époque où les calculatrices n'existaient pas encore, supposons que vous deviez calculer le produit de 5,89 × 4,73 sans aucun appareil électronique. Vous pourriez effectuer cette multiplication sur papier, mais cela prendrait un peu de temps. Au lieu de cela, vous pouvez utiliser la règle des logarithmes avec les tableaux logarithmiques et obtenir une approximation relativement bonne du résultat.

Si vous disposiez d'une table de logarithmes, vous pourriez rapidement vérifier le logarithme de ces nombres (ou vous pourriez utiliser Internet pour trouver des tables de logarithme à télécharger), mais trichons un peu et utilisons notre calculateur.

$\text{lg}(5,\! 89) ≈ 0,\! 770\,115\,3$ et $\text{lg}(4,\! 73) ≈ 0,\!674\,861$

En appliquant la première règle, nous pouvons réécrire l'équation suivante :

$\text{lg}(5,\! 89 \times 4,\! 73) =\text{lg}(5,\!89) + \text{lg}(4,\!73) ≈ 0,\!770\,115 + 0,\!674\,861\,1$

$\text{lg}(5,\! 89 \times 4,\! 73) ≈ 1,\! 444\,976\,1$

Nous ne savons toujours pas quel est le résultat exact. Nous prenons donc la puissance de 10 des deux côtés de l'équation ci-dessus en modifiant quelque peu le côté droit.

$5,\! 89 \times 4,\! 73 ≈ 10^{1,444\,976\,1} = 10^{0, 444\,976\,1} \times 10^1$

Il vous faut maintenant vérifier 10^{0,444 976 1} dans une table antilogarithmique ou dans notre calculateur d'inverse du logarithme. Quel est l'inverse logarithmique de 0,444 976 1 en base 10 ? 2,785 968.

En réécrivant l'équation :

$5,\! 89 \times 4,\! 73 ≈ 2,\! 785\,968 \times 10^1 = 27,\! 859\,68$

Il est probable que le calcul précédent soit plus difficile que d'entrer un nombre dans une calculatrice de poche ou d'utiliser une application puissante comme notre calculateur. Pour montrer comment les logarithmes peuvent être utiles, même à notre époque, considérons la factorielle de 100, qui est le produit de tous les nombres entiers de 1 à 100.

$100! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times ⋯ \times 99 \times 100$

Si vous essayiez de résoudre ce problème à l'aide d'une calculatrice ordinaire, vous échoueriez probablement, car le résultat est un nombre composé d'énormément de chiffres.

Mais avec l'aide des logarithmes, vous pouvez réécrire (avec quelques arrondis) l'opération comme suit :

$\text{lg100!} = \text{lg1} + \text{lg2} + \text{lg3} + ⋯ + \text{lg100} = 0 + 0,\! 301\,03 + 0,\!477\,12 + ⋯ + 2 ≈ 157,\! 97$

$100! ≈ 10^{0,97} \times 10^{157} = 9,\! 332\,5\times 10^{157}$

Astucieux, n'est-ce pas ?