Calculateur de logarithme en base 2

Bienvenue sur le calculateur de logarithme en base 2 d'Omni, votre outil préféré pour calculer la valeur de log₂(x) pour x positif. Cette opération est un cas particulier de logarithme, c'est-à-dire lorsque la base d'un logarithme est égale à 2. C'est pourquoi nous l'appelons parfois le logarithme binaire. Si vous souhaitez découvrir le cas plus général, consultez notre calculateur de logarithme.

Dès que l'humanité a appris à additionner des nombres, elle a trouvé un moyen de simplifier la notation pour additionner plusieurs fois le même nombre : la multiplication.

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 8 × 5

Une question évidente s'est alors posée : comment écrire multiplier plusieurs fois le même nombre ? Là encore, des mathématiciens ingénieux ont introduit l’exponentiation.

5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5⁸

Cependant, il y a toujours une personne curieuse qui pose les questions les plus farfelues. Dans ce cas, on s'est demandé s'il existait un moyen d'inverser toutes ces opérations. Heureusement pour nous, pour les mathématiques et pour l'ensemble du monde scientifique, d'autres curieux ont trouvé la réponse.

Pour l'addition, c'est facile : l'opération inverse est la soustraction. Pour la multiplication, c'est encore assez simple : c'est la division. Toutefois, pour les exposants, ça devient plus compliqué. Au fond, on sait que 5 + 8 = 8 + 5 et 5 × 8 = 8 × 5, mais 5⁸ est très différent de 8⁵. Que devrait donc donner l'opération inverse ? Si nous prenons en considération 5⁸, doit-elle donner 5 ou 8 ?

Le logarithme (en base 5) serait l'opération appropriée si nous choisissions l'option 8. Autrement dit, il s'agit d'une fonction qui vous indique l'exposant nécessaire pour obtenir la valeur. Symboliquement, on peut écrire la définition comme suit :

À titre de comparaison, l'opération inverse qui retournerait le 5 de 5⁸ serait simplement la (8-ième) racine. Si on voulait parler en termes un peu plus techniques, on pourrait dire qu'en général, si on a une expression xʸ, alors la racine serait l'opération inverse pour x, tandis que le logarithme le serait pour y. Et si on veut devenir encore plus technique, on dirait que la première opération inverse une fonction polynomiale, tandis que la seconde inverse une fonction exponentielle.

Avant d'aller plus loin, dressons une jolie liste d'informations essentielles sur notre nouvelle amie, la fonction logarithmique.

• Il existe deux cas très particuliers des logarithmes qui ont une notation unique le logarithme naturel 🇺🇸 et le logarithme en base 10. On les appelle ln(x) et log(x) (le second simplement sans le petit 10), et leurs bases sont respectivement le nombre d'Euler e et (surprise, surprise !) le nombre 10.

  Alors que le dernier est évident, le premier peut poser quelques problèmes — si vous n'êtes pas sûr de ce qu'est le nombre e, consultez notre calculateur d'exponentielle.

• La fonction logarithmique n'est définie que pour les nombres positifs. En d'autres termes, chaque fois qu’on écrit logₐ(b), on exige que b soit positif.

• Quelle que soit la base, le logarithme de 1 est égal à 0. En effet, tout ce qu’on élève à la puissance 0 donne 1 comme résultat.

• Les logarithmes sont d’une importance extrême, et on veut bien dire EXTRÊME. En dehors des mathématiques, ils sont utilisés dans la statistique (par exemple, la loi log-normale), l’économie (par exemple, l'indice du PIB), la médecine (par exemple, l'indice QUICKI) et la chimie (par exemple, la décroissance de demi-vie). De même, plusieurs unités physiques sont basées sur les logarithmes, comme l'échelle de Richter, l'échelle de pH et l'échelle des décibels.

Aujourd'hui, nous allons nous intéresser à un cas très particulier des logarithmes, c'est-à-dire le logarithme en base 2, qui est parfois appelé le logarithme binaire. En bref, nous allons prendre en considération les puissances de 2 et… En y réfléchissant bien, pourquoi ne pas lui consacrer une section entière ?

Comme mentionné à la fin de la section ci-dessus, le logarithme binaire est un cas particulier de la fonction logarithme en base 2. Cela signifie que nous considérerons des expressions sous la forme log₂(x), et nous nous demanderons à quelle puissance on doit élever 2 pour obtenir x. Par exemple, on peut facilement observer que log₂ 4 = 2.

Dans un premier temps, 2 semblerait être un nombre comme les autres. Cependant, il possède quelques propriétés intéressantes. Par exemple, c'est le plus petit nombre premier, dont il est le seul nombre pair. De plus, c'est la base de toutes les opérations informatiques par représentation binaire.

Puisqu'il est si important, rappelons-nous quelques puissances essentielles de 2. N'oubliez pas que l'exposant peut également être égal à 0 ou même négatif.

On voit maintenant plus d'exemples que juste log₂ 4 = 2 ci-dessus. Par exemple, nous pouvons dire que le logarithme en base 2 de 8 est 3. De la même manière, log₂ 16 = 4 et log₂ 32 = 5.

Mais qu'est-ce que, par exemple, log₂ 5? Certainement, 5 n'est pas une puissance de 2.

Pour être précis, ce n'est pas une puissance entière de 2. Nous devons nous rappeler qu'il existe également des exposants fractionnaires, et en effet, dans ce cas, on a besoin de l'un d'eux. Malheureusement, il n’est pas si facile de les deviner. Dans certains cas, nous pouvons essayer d'utiliser des astuces comme la règle du changement de base, mais, en règle générale, il est préférable d'utiliser un outil externe, comme notre calculateur de logarithme en base 2 ou le calculateur de la formule de changement de base 🇺🇸.

Dans ce calculateur, vous pouvez voir deux champs dans lesquels vous entrez vos variables : x et log₂(x). Nous espérons que la notation est intuitive. Par exemple, si vous souhaitez trouver log₂ 16, vous devez saisir 16 comme variable x, et le calculateur vous donnera la réponse dans l'autre champ. Si vous souhaitez calculer log₂ 32, vous devez saisir 32. Notez également que le calculateur de logarithme en base 2 d'Omni fonctionne dans les deux sens : vous pouvez saisir la valeur de x et obtenir log₂(x) ou l'inverse.

Cela suffit pour cette première leçon. Le moment est arrivé, mon jeune padawan ! Continue à jouer avec le calculateur ou tout autre outil d'algèbre que nous te proposons.