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Stichprobenmittelwert Rechner

Created by Luis Hoyos
Reviewed by Steven Wooding
Translated by Luise Schwenke and Julia Kopczyńska, PhD candidate
Last updated: Jan 18, 2024


Dieser Stichprobenmittelwert-Rechner ermittelt die Wahrscheinlichkeit, dass dein Stichprobenmittelwert innerhalb eines bestimmten Bereichs liegt.

Er berechnet die Wahrscheinlichkeit der Normalverteilung mit dem Stichprobenumfang (n), einem Mittelwertbereich (definiert durch X₁ und X₂), dem Mittelwert der Grundgesamtheit (μ) und der Standardabweichung (σ).

Lies weiter, um folgende Fragen beantwortet zu bekommen:

  • Was ist die Stichprobenverteilung des Mittelwerts?
  • Wie berechne ich die Standardabweichung der Stichprobenverteilung?
  • Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeiten für Stichprobenverteilungen?
  • Wie benutze ich den Normalverteilung-für-Stichprobenverteilung-Rechner?

🔎 Wenn du einen Rechner brauchst, der dasselbe macht, aber für Stichprobenanteile, schau dir unseren Stichprobenverteilung des Anteils Rechner 🇺🇸 an. Wenn du dich für das Gegenteil interessierst, also einen Bereich möglicher Grundgesamtheitswerte bei einem bestimmten Wahrscheinlichkeitsniveau, schau dir unseren Stichprobenfehler Rechner 🇺🇸 an.

Berechnung der Normalverteilung für Stichprobenverteilungen

Viele Phänomene im realen Leben folgen einer Normalverteilung. Zum Beispiel folgt die Körpergröße amerikanischer Männer dieser Verteilung mit einem Mittelwert von etwa 176,3 cm und einer Standardabweichung von etwa 7,6 cm. In der folgenden Grafik siehst du das Verteilungsdiagramm dieser Körpergrößen.

Verteilung der Körpergröße von Männern in den USA
Verteilung der Körpergröße von Männern in den USA. Du kannst feststellen, dass Barack Obamas Größe leicht über dem Durchschnitt liegt. Gleichzeitig befinden sich Danny Devito und Shaquille O'neal an den äußersten Enden des Perzentils, da sie extrem klein bzw. groß sind. Quelle: Introductory Statistics Explained Edition 1.10CC, von Jeremy Balka

Normalerweise benutzen wir Stichproben, um Parameter der Grundgesamtheit zu schätzen, wie z. B. die durchschnittliche Körpergröße der Grundgesamtheit. Das häufigste Beispiel ist die Verwendung des Stichprobenmittelwerts zur Schätzung des Populationsmittelwerts.

Wenn du verschiedene Stichproben aus einer Grundgesamtheit ziehst, erhältst du wahrscheinlich jedes Mal andere Mittelwerte. Deshalb ist der Stichprobenmittelwert auch eine zufällige Variable, die wir mit einer bestimmten Verteilung beschreiben können. Diese Verteilung wird als Stichprobenverteilung des Stichprobenmittelwerts bezeichnet, die wir der Einfachheit halber Stichprobenverteilung nennen werden.

Wenn die ursprüngliche Grundgesamtheit einer Normalverteilung folgt, tut dies auch die Stichprobenverteilung, und wenn nicht, ist die Stichprobenverteilung eine Annäherung an eine Normalverteilung. Der zentrale Grenzwertsatz 🇺🇸 beschreibt, inwieweit dies der Fall ist.

Eine häufige Aufgabe ist es, die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass der Mittelwert einer Stichprobe in einen bestimmten Bereich fällt. Dazu können wir die gleichen Werkzeuge zur Berechnung von Normalverteilungen verwenden (mit dem z-Wert). Der einzige Unterschied ist, dass die Standardabweichung der Stichprobenverteilung (σXˉσ_{\bar X}) gleich der Standardabweichung der Grundgesamtheit geteilt durch die Quadratwurzel des Stichprobenumfangs ist:

σXˉ=σn\footnotesize σ_{\bar X}=\frac{σ}{\sqrt{n}}

Dann lautet die Formel zur Berechnung des z-Wertes:

z=Xμσ/n\footnotesize z= \frac{X-μ}{σ/ \sqrt{n}}

Mit dem z-Wert kannst du die Wahrscheinlichkeit mithilfe von Tabellen berechnen oder, noch besser und schneller, mit unserem p-Wert Rechner. Lies weiter, um ein Beispiel zu sehen, wie das geht.

🙋 Wenn du dich für den Begriff σXˉσ_{\bar X} interessierst, kannst du in unserem Standardabweichung des Stichprobenmittels Rechner mehr darüber erfahren.

Wie dieser Stichprobenmittelwert-Rechner funktioniert: ein Beispiel

Die durchschnittliche Körpergröße amerikanischer Frauen im Alter von 20 Jahren und älter beträgt etwa 161,3 cm, mit einer Standardabweichung von etwa 7,1 cm. Nehmen wir an, du nimmst 7 zufällige amerikanische Frauen als Stichproben. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Durchschnittsgröße unter 160 cm fällt?

Um die Antwort zu erfahren, befolge diese Schritte:

  1. Gib die Populationsparameter in den Rechner ein (μ = 161,3, σ = 7,1)
  2. Wähle linksseitg, in diesem Fall.
  3. Gib die Stichprobendaten ein (n = 7, X = 160).
  4. Dein Ergebnis ist fertig. Es sollte 0,314039 betragen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Durchschnittsgröße dieser Frauen unter 160 cm liegt, beträgt also etwa 31,4%

Alternativ können wir diese Wahrscheinlichkeit auch mit der Formel für den z-Wert berechnen:

zWert=Xμσ/n=160161,37,1/7=0,484433\footnotesize \begin{align*} z_{Wert}&=\frac{X-μ}{σ/\sqrt{n}}\\\\&= \frac{160-161,\!3}{ 7,\!1/ \sqrt{7}}=-0,\!484433 \end{align*}
P(Xˉ<170)=P(zWert<0,484433)=0,314039\footnotesize \begin{align*} P(\bar X<170)&=P(z_{Wert}<−0,\!484433)\\&=0,\!314039 \end{align*}

Wie berechne ich den Mittelwert der Stichprobenverteilung?

Wenn du den Mittelwert der Grundgesamtheit kennst, kennst du auch den Mittelwert der Stichprobenverteilung, da beide gleich groß sind. Wenn du das nicht weißt, kannst du deinen Stichprobenmittelwert als Mittelwert der Stichprobenverteilung annehmen.

FAQ

Wie ist die Stichprobenverteilung des Mittelwerts?

Die Stichprobenverteilung des Mittelwerts beschreibt die Verteilung der möglichen Mittelwerte, die du bei unendlich vielen Stichproben aus einer bestimmten Grundgesamtheit erhalten könntest.

Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeitsverteilung bei Stichproben?

  1. Bestimme den Mittelwert (μ), die Standardabweichung (σ), den Stichprobenumfang und den Bereich der möglichen Stichprobenmittelwerte.
  2. Setze diese Werte in die z-Wert-Formel zWert = (X̄ - μ)/(σ/√n) ein.
  3. Je nachdem, ob deine Wahrscheinlichkeit links-, rechts- oder zweiseitig ist, kannst du den z-Wert verwenden, um deine Wahrscheinlichkeit zu ermitteln.
  4. Alternativ kannst du auch unseren Stichprobenmittelwert-Rechner verwenden.

Wie berechne ich die Standardabweichung der Stichprobenverteilung?

Je nach den Informationen, die du hast, gibt es zwei Möglichkeiten:

  • Wenn du die Standardabweichung der Grundgesamtheit (σ) kennst, dividiere sie durch die Quadratwurzel des Stichprobenumfangs: σ = σ/√n.
  • Wenn du σ nicht kennst, bestimme sie mit der Stichproben-Standardabweichung (s): σ = s/√n.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Mittelwert der Stichprobe größer ist als der Mittelwert der Grundgesamtheit?

Die Wahrscheinlichkeit, einen Stichprobenmittelwert zu erhalten, der größer ist als μ (Populationsmittelwert), beträgt 50%, sofern deine Stichprobenverteilung einer Normalverteilung folgt (dies ist der Fall, wenn die Populationsverteilung normal ist oder der Stichprobenumfang groß ist).

Luis Hoyos
As an example, you can see the distribution of means of a normal distribution (μ = 100, σ = 5). Please fill the calculator with your own values.
Population mean (μ)
Population standard deviation (σ)
Sample size (n)
What probability do you want?
X₁ < X̄ < X₂
X₁
X₂
Normal probability:
P(X₁ < X̄ < X₂)
0.734529
Standard deviation of the mean (σ/√n)
Z-score of X₁
Z-score of X₂
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