Stichprobenmittelwert Rechner

Dieser Stichprobenmittelwert-Rechner ermittelt die Wahrscheinlichkeit, dass dein Stichprobenmittelwert innerhalb eines bestimmten Bereichs liegt.

Er berechnet die Wahrscheinlichkeit der Normalverteilung mit dem Stichprobenumfang (n), einem Mittelwertbereich (definiert durch X₁ und X₂), dem Mittelwert der Grundgesamtheit (μ) und der Standardabweichung (σ).

Lies weiter, um folgende Fragen beantwortet zu bekommen:

• Was ist die Stichprobenverteilung des Mittelwerts?
• Wie berechne ich die Standardabweichung der Stichprobenverteilung?
• Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeiten für Stichprobenverteilungen?
• Wie benutze ich den Normalverteilung-für-Stichprobenverteilung-Rechner?

Viele Phänomene im realen Leben folgen einer Normalverteilung. Zum Beispiel folgt die Körpergröße amerikanischer Männer dieser Verteilung mit einem Mittelwert von etwa 176,3 cm und einer Standardabweichung von etwa 7,6 cm. In der folgenden Grafik siehst du das Verteilungsdiagramm dieser Körpergrößen.

Normalerweise benutzen wir Stichproben, um Parameter der Grundgesamtheit zu schätzen, wie z. B. die durchschnittliche Körpergröße der Grundgesamtheit. Das häufigste Beispiel ist die Verwendung des Stichprobenmittelwerts zur Schätzung des Populationsmittelwerts.

Wenn du verschiedene Stichproben aus einer Grundgesamtheit ziehst, erhältst du wahrscheinlich jedes Mal andere Mittelwerte. Deshalb ist der Stichprobenmittelwert auch eine zufällige Variable, die wir mit einer bestimmten Verteilung beschreiben können. Diese Verteilung wird als Stichprobenverteilung des Stichprobenmittelwerts bezeichnet, die wir der Einfachheit halber Stichprobenverteilung nennen werden.

Wenn die ursprüngliche Grundgesamtheit einer Normalverteilung folgt, tut dies auch die Stichprobenverteilung, und wenn nicht, ist die Stichprobenverteilung eine Annäherung an eine Normalverteilung. Der zentrale Grenzwertsatz 🇺🇸 beschreibt, inwieweit dies der Fall ist.

Eine häufige Aufgabe ist es, die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass der Mittelwert einer Stichprobe in einen bestimmten Bereich fällt. Dazu können wir die gleichen Werkzeuge zur Berechnung von Normalverteilungen verwenden (mit dem z-Wert). Der einzige Unterschied ist, dass die Standardabweichung der Stichprobenverteilung ($σ_{\bar X}$) gleich der Standardabweichung der Grundgesamtheit geteilt durch die Quadratwurzel des Stichprobenumfangs ist:

Dann lautet die Formel zur Berechnung des z-Wertes:

Mit dem z-Wert kannst du die Wahrscheinlichkeit mithilfe von Tabellen berechnen oder, noch besser und schneller, mit unserem p-Wert Rechner. Lies weiter, um ein Beispiel zu sehen, wie das geht.

Die durchschnittliche Körpergröße amerikanischer Frauen im Alter von 20 Jahren und älter beträgt etwa 161,3 cm, mit einer Standardabweichung von etwa 7,1 cm. Nehmen wir an, du nimmst 7 zufällige amerikanische Frauen als Stichproben. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Durchschnittsgröße unter 160 cm fällt?

Um die Antwort zu erfahren, befolge diese Schritte:

1. Gib die Populationsparameter in den Rechner ein (μ = 161,3, σ = 7,1)
2. Wähle linksseitg, in diesem Fall.
3. Gib die Stichprobendaten ein (n = 7, X = 160).
4. Dein Ergebnis ist fertig. Es sollte 0,314039 betragen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Durchschnittsgröße dieser Frauen unter 160 cm liegt, beträgt also etwa 31,4%

Alternativ können wir diese Wahrscheinlichkeit auch mit der Formel für den z-Wert berechnen:

Wenn du den Mittelwert der Grundgesamtheit kennst, kennst du auch den Mittelwert der Stichprobenverteilung, da beide gleich groß sind. Wenn du das nicht weißt, kannst du deinen Stichprobenmittelwert als Mittelwert der Stichprobenverteilung annehmen.

Die Stichprobenverteilung des Mittelwerts beschreibt die Verteilung der möglichen Mittelwerte, die du bei unendlich vielen Stichproben aus einer bestimmten Grundgesamtheit erhalten könntest.

1. Bestimme den Mittelwert (μ), die Standardabweichung (σ), den Stichprobenumfang und den Bereich der möglichen Stichprobenmittelwerte.
2. Setze diese Werte in die z-Wert-Formel z_Wert = (X̄ - μ)/(σ/√n) ein.
3. Je nachdem, ob deine Wahrscheinlichkeit links-, rechts- oder zweiseitig ist, kannst du den z-Wert verwenden, um deine Wahrscheinlichkeit zu ermitteln.
4. Alternativ kannst du auch unseren Stichprobenmittelwert-Rechner verwenden.

Je nach den Informationen, die du hast, gibt es zwei Möglichkeiten:

• Wenn du die Standardabweichung der Grundgesamtheit (σ) kennst, dividiere sie durch die Quadratwurzel des Stichprobenumfangs: σ_X̄ = σ/√n.
• Wenn du σ nicht kennst, bestimme sie mit der Stichproben-Standardabweichung (s): σ_X̄ = s/√n.

Die Wahrscheinlichkeit, einen Stichprobenmittelwert zu erhalten, der größer ist als μ (Populationsmittelwert), beträgt 50%, sofern deine Stichprobenverteilung einer Normalverteilung folgt (dies ist der Fall, wenn die Populationsverteilung normal ist oder der Stichprobenumfang groß ist).