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Standardabweichung des Stichprobenmittels Rechner

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Wie hoch ist die Standardabweichung der Verteilung des Stichprobenmittelwerts?Was ist der Unterschied zwischen Probenverteilung und Stichprobenverteilung?Wie berechnet man die Standardabweichung des Stichprobenmittelwerts?Beispiel für die Ermittlung der Standardabweichung des Stichprobenmittelwerts (mit diesem Rechner)FAQs

Die Berechnung der Standardabweichung des Mittelwerts der Stichproben ist eine hervorragende Methode, um zu erkennen, wie der Stichprobenumfang den Fehler unserer Schätzungen beeinflusst.

Wenn die Standardabweichung des Mittelwerts mit einem kritischen Wert wie dem z-Wert oder der t-Statistik multipliziert wird, erhalten wir eine Fehlerspanne, die es uns ermöglicht, ein Konfidenzintervall unserer Vorhersage anzugeben. Die Berechnung der Standardabweichung des Stichprobenmittels zeigt also, wo der Mittelwert der Grundgesamtheit liegen könnte.

🔎 Nachdem du die Standardabweichung der Stichprobenmittelwerte berechnet hast, kannst du einen Schritt weiter gehen und unseren Normalverteilung für Stichprobenverteilung Rechner verwenden.

Wie hoch ist die Standardabweichung der Verteilung des Stichprobenmittelwerts?

Zunächst einmal ist es wichtig, einige Definitionen und Konzepte zu kennen:

  • Statistik: eine Punktschätzung oder ein numerisches Merkmal einer Stichprobe (z. B. der Stichprobenmittelwert). Sie unterscheidet sich von einem Parameter, wie dem Mittelwert der Grundgesamtheit.
  • Stichprobenverteilung: die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Statistik, die nach dem Zufallsprinzip ermittelt wurde. Mit anderen Worten: Sie ist die Verteilung aller möglichen Werte, die eine Statistik bei gleichem Stichprobenumfang annehmen kann.
  • Stichprobenverteilung des Mittelwerts: Dies ist eine Erweiterung des vorherigen Konzepts. Wenn du eine Grundgesamtheit hast, unendlich viele Stichproben der Größe n ziehst und deren Mittelwerte in einem Histogramm aufträgst, erhältst du eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung nennen wir die Stichprobenverteilung des Mittelwerts, und wie jede andere Verteilung hat sie ihren eigenen Mittelwert und ihre eigene Standardabweichung.

Das folgende Diagramm zeigt, wie man eine Stichprobenverteilung des Mittelwerts erstellt. In Wirklichkeit verwenden wir nicht nur sechs Stichproben, sondern eine fast unendliche Anzahl (z. B. 100 000).

Wie die Stichprobenverteilung des Mittelwerts erzeugt wird
Erstellung der Stichprobenverteilung des Stichprobenmittelwerts.

Das heißt, wir können die Standardabweichung des Mittelwerts als Standardabweichung einer Verteilung von Mittelwerten definieren (wie die im letzten Diagramm gezeigte). Außerdem ist der Mittelwert dieser Stichprobenverteilung gleich dem Mittelwert der Grundgesamtheit.

Jetzt, wo du das Konzept kennst, lass uns ansehen, wie du die Standardabweichung des Stichprobenmittelwerts berechnen kannst.

Was ist der Unterschied zwischen Probenverteilung und Stichprobenverteilung?

Der Unterschied zwischen einer Stichprobe und einer Stichprobenverteilung ist:

  • Stichprobenverteilung: Das ist der Begriff, den wir normalerweise hören. Er bezieht sich auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer zufällig gezogenen Statistik. Die Stichprobenverteilung des Mittelwerts ist ein Beispiel dafür.
  • Probenverteilung: bezeichnet die Verteilung der Beobachtungen innerhalb einer einzigen Stichprobe. Jede Probenverteilung besitzt einen Mittelwert, der zur Bildung der Stichprobenverteilung beiträgt.

Wie berechnet man die Standardabweichung des Stichprobenmittelwerts?

Die Formel zur Ermittlung der Standardabweichung des Stichprobenmittelwerts lautet:

σ = σ/√n,

wobei:

  • σ – Standardabweichung des Stichprobenmittelwerts;
  • σ – Standardabweichung der Grundgesamtheit; und
  • n – Stichprobenumfang.

Wir haben bereits gesagt, dass wir, wenn wir den Mittelwert der Stichprobenverteilung (μ) kennen, auch den Mittelwert der Grundgesamtheit (μ) kennen, da beide gleich sind (μ = μ). In der Praxis kennen wir μ nie, aber wir können ihn anhand des Stichprobenmittelwerts () schätzen.

σ gibt an, wie sich μ annähert. Je kleiner σ ist, desto näher kann μ an unserer Schätzung liegen. Da σ konstant ist, ist eine Erhöhung des Stichprobenumfangs die einzige Möglichkeit, σ zu verkleinern. Daher ist die Erhöhung von n eine Möglichkeit, den Stichprobenfehler 🇺🇸 unserer Schätzungen zu verringern.

Beispiel für die Ermittlung der Standardabweichung des Stichprobenmittelwerts (mit diesem Rechner)

Wir wissen, dass der Mittelwert und die Standardabweichung der Körpergröße der erwachsenen amerikanischen weiblichen Bevölkerung etwa μ = 161,3 cm und σ = 7,1 cm betragen. Nehmen wir nun an, du nimmst Zufallsstichproben von 100 Frauen und ermittelst jedes Mal ihre durchschnittliche Körpergröße. Wie groß ist die Standardabweichung des Stichprobenmittelwerts?

Um die Antwort zu erfahren, befolge diese Schritte:

  1. Gib 7,1 in das Feld für die Standardabweichung der Grundgesamtheit ein.
  2. Gib 100 in das Feld für den Stichprobenumfang ein.
  3. Das war's. Die Antwort ist 0,71. Die Standardabweichung der Stichprobenverteilungen der Mittelwerte n = 100 ist also 0,71.

Du kannst die Ergebnisse mithilfe der Formel überprüfen: σXˉ=σn=7, ⁣1100=0, ⁣71σ_{\bar X} = \frac{σ}{\sqrt{n}} = \frac{7,\!1}{\sqrt{100}} = 0,\!71.

FAQs

Wie berechne ich den Mittelwert und die Standardabweichung der Stichprobenverteilung?

  • Um die Standardabweichung des Stichprobenmittelwerts (σ) zu ermitteln, teilst du die Standardabweichung der Grundgesamtheit (σ) durch die Quadratwurzel des Stichprobenumfangs (n): σ = σ/√n.
  • Im Gegensatz zur Standardabweichung brauchst du zur Berechnung des Mittelwerts der Stichprobenverteilung des Mittelwerts (μ) nur den Populationsmittelwert (μ), da beide gleich sind (μ = μ).

Wie nennt man die Standardabweichung der Stichprobenmittelwerte?

Die Standardabweichung der Stichprobenmittelwerte wird mit verschiedenen Namen bezeichnet:

  • Die Standardabweichung des Mittelwerts.
  • Die Standardabweichung der Verteilung der Stichprobenmittelwerte.
  • Die Standardabweichung der Stichprobenverteilung des Stichprobenmittelwerts.

Mathematisch berechnest du die Standardabweichung des Stichprobenmittels mit der Formel σ = σ/√n.

Der Standardfehler des Mittelwerts (SE(X̄)) ist eine andere Statistik, die anstelle von σ die Standardabweichung der Stichprobe (s) verwendet. Die Formel lautet SE(X̄) = s/√n.

Wie kann man eine Stichprobenverteilung des Mittelwerts erstellen?

Befolge diese Schritte, um eine Stichprobenverteilung des Mittelwerts zu erstellen:

  1. Lege einen Stichprobenumfang fest.
  2. Nimm eine Zufallsstichprobe dieses Umfangs und berechne ihren Mittelwert.
  3. Stelle diesen Mittelwert in einem Histogramm dar.
  4. Wiederhole diesen Vorgang fast unendlich oft (d. h. 100 000 Mal), bis die Verteilung konvergiert.

Was bedeutet eine Standardabweichung von 1?

Wenn wir vor einer Normalverteilung stehen, bedeutet eine Standardabweichung von 1 (σ = 1), dass 68,27% der Verteilungswerte innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert liegen. In mathematischer Schreibweise: Pr( μ-1σXμ+1σ) ≈ 68,27%.

Wenn du den Wert der Standardabweichung (σ) nicht kennst, verwende unseren Standardabweichung Rechner.

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