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Punktschätzung Rechner

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Was ist die Punktschätzung?Formeln für die PunktschätzungWie berechne ich die Punktschätzung?FAQs

Wenn du eine Menge Daten aus deiner Umfrage gesammelt hast und den besten Schätzparameter finden möchtest, ist dieser Punktschätzung-Rechner genau das Richtige für dich. Er verwendet vier verschiedene Formeln für die Punktschätzung, um den genausten möglichen Wert zu ermitteln. Du kannst den Rechner gleich benutzen oder weiter lesen, um mehr über die Prinzipien dahinter zu erfahren.

Schau dir unbedingt das Beispiel im Text an, um besser zu verstehen, wie man die Punktschätzung bei einfachen statistischen Problemen findet.

Was ist die Punktschätzung?

Stell dir vor, du wirfst eine Münze. Jedes Mal, wenn du wirfst, notierst du dir das Ergebnis. Bei einer unvoreingenommenen Münze und einer ausreichend großen Anzahl von Versuchen solltest du ungefähr zu 50% Kopf und 50% Zahl kommen.

Aber was ist, wenn die Münze manipuliert ist – zum Beispiel leicht verbogen? Dann wirst du nach einer großen Anzahl von Würfen feststellen, dass eine der beiden Seiten häufiger fällt. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, Kopf zu bekommen, bei dieser Münze von 50% abweicht.

Die Punktschätzung ist die Wahrscheinlichkeit, in diesem Beispiel „Kopf“ zu erhalten. Wenn du die Münze oft genug geworfen und einige Daten über das „Verhalten“ der Münze gesammelt hast, kannst du diese Wahrscheinlichkeit mit unserem Rechner für die Punktschätzung ermitteln.

Formeln für die Punktschätzung

Du kannst vier verschiedene Formeln für die Punktschätzung verwenden: die Maximum-Likelihood-Schätzung (MLE), die Wilson-Schätzung, die Laplace-Schätzung und die Jeffreys-Regel. Jede dieser Formeln liefert ein etwas anderes Ergebnis und sollte unter verschiedenen Umständen verwendet werden. Unser Rechner für die Punktschätzung wählt automatisch das beste Ergebnis aus; du kannst unten im Rechner auch die Ergebnisse der anderen Methoden sehen.

Um die Punktschätzung zu berechnen, brauchst du die folgenden Werte:

  • Anzahl der Erfolge E: zum Beispiel die Anzahl der Köpfe, die du bei den Münzwürfen erhältst.
  • Anzahl der Versuche V: in unserem Münzbeispiel ist das die Gesamtzahl der Würfe.
  • Konfidenzintervall: die Wahrscheinlichkeit, dass deine beste Punktschätzung richtig ist (innerhalb der Fehlerspanne). Wenn du mit diesem Begriff noch nicht vertraut bist, solltest du den Konfidenzintervall Rechner von Omni besuchen.
  • Z-Wert z: Er wird automatisch aus dem Konfidenzintervall berechnet.

Sobald du diese Werte kennst, kannst du mit der Berechnung der Punktschätzung nach den folgenden Gleichungen beginnen:

  • Maximum-Likelihood-Schätzung:

    MLE = E / V

  • Laplace-Schätzung:

    Laplace = (E + 1) / (V + 2)

  • Jeffreys-Regel:

    Jeffrey = (E + 0,5) / (V + 1)

  • Wilson-Schätzung:

    Wilson = (E + z²/2) / (V + z²)

Wenn du alle vier Werte berechnet hast, musst du den genauesten auswählen. Bei diesem Schritt solltest du nach den folgenden Regeln vorgehen:

  • Wenn MLE ≤ 0,5 ist, dann ist die Wilson-Schätzung die genaueste.
  • Wenn 0,5 < MLE < 0,9 ist, dann ist die Maximum-Likelihood-Schätzung die genaueste.
  • Wenn MLE ≥ 0,9 ist, dann ist die kleinere der beiden Schätzungen aus der Jeffrey- und Laplace-Methode die genaueste.

Wie berechne ich die Punktschätzung?

Wenn du immer noch unsicher bist, wie das Verfahren zur Ermittlung der Punktschätzung funktioniert, schau dir das folgende Beispiel an. Wir werden das Problem der manipulierten Münze genauer untersuchen.

  1. Bestimme die Gesamtzahl der Münzwürfe — das ist die Anzahl der Versuche V. Nehmen wir an, dass V = 100 ist.

  2. Zähle die Anzahl der Versuche, bei denen du Kopf erhalten hast. Das ist die Anzahl der Erfolge E. Legen wir E = 92 fest. (Du kannst dir sicher sein, dass die Münze manipuliert ist, auch wenn du nur diese Zahl ansiehst.)

  3. Entscheide dich für dein Konfidenzintervall. Nehmen wir an, du musst dir nur zu 90% sicher sein, dass dein Ergebnis richtig ist. Also entscheidest du dich für ein Konfidenzintervall von 90%.

  4. Der Rechner für die Punktschätzung ermittelt den z-Wert für dich. Wenn du mehr darüber erfahren möchtest, wie er berechnet wird, wirf einen Blick auf den p-Wert Rechner. In diesem Fall ist z = -1,6447.

  5. Verwende die Formeln für die Punktschätzung:

    • MLE = E / V = 92 / 100 = 0,92
    • Laplace = (E + 1) / (V + 2) = 93 / 102 = 0,9118
    • Jeffrey = (E + 0,5) / (V + 1) = 92,5 / 101 = 0,9158
    • Wilson = (E + z²/2) / (V + z²) = (92 + (-1,6447)²/2) / (100 + (-1.6447)²) = 0.9089
  6. Da die Maximum-Likelihood-Schätzung größer als 0,9 ist, solltest du die kleinere der beiden Schätzungen aus der Jeffreys Regel und der Laplace-Methode als beste Punktschätzung wählen. In diesem Fall ist es Laplace und sie ist gleich 0,9118. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, mit dieser Münze Kopf zu werfen, 91,18% beträgt.

FAQs

Wie berechne ich die Punktschätzung mit der Maximum-Likelihood-Methode?

Um die Punktschätzung mit der Maximum-Likelihood-Methode zu ermitteln:

  1. Notiere die Anzahl der Versuche, V.
  2. Notiere die Anzahl der Erfolge, E.
  3. Wende die Formel MLE = E / V an. Das Ergebnis ist deine Punktschätzung.

Wie berechne ich die Laplace-Punktschätzung?

Um die Laplace-Punktschätzung für E Erfolge in V Versuchen zu finden, musst du die Formel (E + 1) / (V + 2) anwenden.

Wie berechne ich die Jeffreys-Regel?

Die Jeffrey's-Punktschätzung für E Erfolge in V Versuchen ergibt sich aus der Formel (E + 0,5) / (V + 1).

Wie berechne ich die Punktschätzung nach Wilson?

Um die Wilson-Punktschätzung zu ermitteln:

  1. Notiere die Anzahl der Versuche, V.
  2. Notiere die Anzahl der Erfolge, E.
  3. Entscheide dich für ein Konfidenzintervall.
  4. Berechne den Z-Wert, z, der diesem Vertrauensniveau entspricht.
  5. Wende die Formel (E + z²/2) / (V + z²) an.

Welches ist die genaueste Formel für die Punktschätzung?

Die Formel für die genauste Punktschätzung wird auf Grundlage des Wertes der Maximum-Likelihood-Schätzung gewählt:

  • Wenn 0,5 < MLE < 0,9 ist, dann bleibe bei der Maximum-Likeliehood-Methode;
  • Wenn MLE ≤ 0,5 ist, verwirf MLE und wähle die Wilson-Schätzung; und
  • Wenn MLE ≥ 0,9 ist, wähle die kleinere der beiden Schätzungen aus der Jeffreys-Regel und der Laplace-Methode.

Was ist der Unterschied zwischen Punktschätzung und Intervallschätzung?

Die Punktschätzung eines unbekannten Parameters liefert einen Einzelwert, während die Intervallschätzung ein Intervall (Bereich) von Werten liefert.

Versuchsdaten

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