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Drei-Sigma-Regel Rechner

Inhalt

Was ist die Drei-Sigma-Regel?Die Drei-Sigma-Regel – FormelEin Beispiel für die Anwendung der Drei-Sigma-RegelWo wird die Drei-Sigma-Regel angewendet?FAQs

Mit dem Drei-Sigma-Regel-Rechner findest du die Bereiche, die eine Standardabweichung, zwei Standardabweichungen und drei Standardabweichungen vom Erwartungswert deiner Verteilung entfernt sind und in denen du 68, 95 bzw. 99,7 % der normalverteilten Daten findest. Im folgenden Text findest du die Definition der Drei-Sigma-Regel, die Formel für die Drei-Sigma-Regel und ein Beispiel, wie du die Drei-Sigma-Regel anwenden kannst.

Wenn du dich für Statistik interessierst, dann können wir dir einige weitere Rechner aus diesem Gebiet empfehlen, z. B. den z-Score Rechner oder den Punktschätzung Rechner.

Was ist die Drei-Sigma-Regel?

Die Drei-Sigma-Regel Regel (auf Englisch auch als „empirical rule“ oder „68-95-99,7 rule“ bekannt) ist eine statistische Regel, die besagt, dass bei normalverteilten Daten fast alle Datenpunkte innerhalb der drei Standardabweichungen auf beiden Seiten des Erwartungswertes liegen.

Genauer gesagt, befindet sich:

  • 68% der Daten max. 1 Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt;
  • 95% der Daten max. 2 Standardabweichungen vom Erwartungswert entfernt;
  • 99,7% der Daten max. 1 Standardabweichungen vom Erwartungswert entfernt.

Erläutern wir zunächst die Begriffe, die in dieser Definition verwendet werden:

Der Erwartungswert ist der „wahre“ Mittelwert einer Zufallsvariablen, der Mittelpunkt der „wahren“ Verteilung. Der Mittelwert ist das arithmetische Mittel, das sich aus den verfügbaren Observationen ergibt. Je größer die Stichprobe, aus welchen der Mittelwert berechnet wurde, desto mehr nähert sich der Mittelwert dem Erwartungswert. In diesem Text sprechen wir vom Erwartungswert, auch wenn der aus deinen Daten berechnete Mittelwert sich dem echten Erwartungswert nur annähert.

Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung; sie gibt an, wie stark die Daten vom Erwartungswert abweichen, d. h. wie vielfältig der Datensatz ist. Je kleiner der Wert, desto kleiner ist die Datenvielfalt. Unser Standardabweichung Rechner 🇺🇸 geht bei diesem Thema mehr ins Detail.

Die Normalverteilung ist eine Verteilung, die auf beiden Seiten des Erwartungswertes symmetrisch aufgeteilt ist, wobei Daten in der Nähe der Mitte häufiger vorkommen als Daten, die weit vom Erwartungswert entfernt sind. Im Graphen der Normalverteilung kannst du sehen, dass sie einer glockenförmigen Kurve ähnelt:

Graph der Normalverteilung

Wenn du mehr erfahren möchtest, kannst bei unserem Rechner für die Normalverteilung vorbeischauen.

Die Drei-Sigma-Regel – Formel

Der folgende Algorithmus erklärt, wie du die empirische Regel anwenden kannst:

1. Berechne den Mittelwert deiner Werte:

μ=xin\mu = \frac{\sum x_i}{n}

wobei:

  • xi\sum x_i – die Summe aller Werte der Stichprobe ist und
  • nn – der Stichprobenumfang ist.

Du kannst dir das Leben auch einfacher machen, indem du den Mittelwert Rechner benutzt.

2. Berechne die Standardabweichung:

σ=(xiμ)2n1\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{n-1}}

3. Wende die Formel der Drei-Sigma-Regel an:

  • 68% der Daten befindet sich innerhalb einer Standardabweichung vom Erwartungswert – das heißt zwischen μσ\mu - \sigma und μ+σ\mu + \sigma.

  • 95% der Daten befindet sich innerhalb zwei Standardabweichungen vom Erwartungswert – zwischen μ2σ\mu - 2\sigma and μ+2σ\mu + 2\sigma.

  • 99,7% der Daten befindet sich innerhalb drei Standardabweichungen vom Erwartungswert – zwischen μ3σ\mu - 3\sigma and μ+3σ\mu + 3\sigma.

    Gib den Erwartungswert und die Standardabweichung in den Rechner für die Drei-Sigma-Regel ein, und schon erhältst du deine drei Intervalle.

Ein Beispiel für die Anwendung der Drei-Sigma-Regel

Der Intelligenzquotient (IQ) ist normalverteilt, mit einem Erwartungswert von 100 und einer Standardabweichung von 15. Werfen wir einen Blick auf die Berechnungen, die hinter der Drei-Sigma-Regel stehen:

  1. Erwartungswert: μ=100\mu = 100

  2. Standardabweichung: σ=15\sigma = 15

  3. Formel für die Drei-Sigma-Regel:

    μσ=10015=85\mu - \sigma = 100 - 15 = 85
    μ+σ=100+15=115\mu + \sigma = 100 + 15 = 115
    (68% der Menschen haben ein IQ zwischen 85 und 115)

    μ2σ=100215=70\mu - 2\sigma = 100 - 2 \cdot 15 = 70
    μ+2σ=100+215=130\mu + 2\sigma = 100 + 2 \cdot 15 = 130
    (95% der Population haben ein IQ zwischen 70 und 130)

    μ3σ=100315=55\mu - 3\sigma = 100 - 3 \cdot 15 = 55
    μ+3σ=100+315=145\mu + 3\sigma = 100 + 3 \cdot 15 = 145
    ( 99,7% aller Menschen haben ein IQ zwischen 55 und 145)

Wenn du schneller zu diesem Ergebnis kommen willst, dann gib den Erwartungswert und die Standardabweichung in den Rechner für die Drei-Sigma-Regel ein und sieh zu, wie er den Rest für dich erledigt.

Wo wird die Drei-Sigma-Regel angewendet?

Diese Regel wird häufig in der empirischen Forschung verwendet, z. B. um die Wahrscheinlichkeit für das Vorkommen eines bestimmten Datenpunktes zu berechnen oder um bei fehlenden Daten Ergebnisse vorherzusagen. Sie gibt Aufschluss über die Merkmale einer Population, ohne dass alle Personen getestet werden müssen, und ob ein bestimmter Datensatz normalverteilt ist. Sie wird auch verwendet, um Ausreißer (Outliers) zu finden, die bei Messabweichungen vorkommen können.

FAQs

Wie berechne ich die Werte der Drei-Sigma-Regel?

So berechnest du die Werte der Drei-Sigma-Regel:

  1. Bestimme den Erwartungswert E und die Standardabweichung s deiner Daten.
  2. Addiere und subtrahiere die Standardabweichung zum/vom Mittelwert: [E - s, E + s] ist das Intervall, das etwa 68% der Daten enthält.
  3. Multipliziere die Standardabweichung mit 2: Das Intervall [E - 2s, E + 2s] enthält rund 95% der Daten.
  4. Multipliziere die Standardabweichung mit 3. 99,7% der Daten liegen im Bereich [E - 3s, E + 3s].

Wie lautet die Drei-Sigma-Regel für Daten mit einer Varianz von 1?

Eine Varianz von 1 bedeutet, dass auch die Standardabweichung 1 ist. Die Drei-Sigma-Regel besagt also, dass:

  • 68% deiner Daten höchstens eine Einheit vom Erwartungswert abweicht;
  • 95 % höchstens zwei Einheiten vom Erwartungswert abweicht und
  • 99,7% höchstens drei Einheiten vom Erwartungswert abweicht.
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