Flächeninhalt Rechner

Wenn du dich fragst, wie du die Fläche einer beliebigen Grundform berechnen kannst, bist du hier genau richtig — dieser Rechner des Flächeninhaltes beantwortet alle deine Fragen. Nutze ihn, um aus sechzehn verschiedenen Formen auszuwählen und ihre Flächen im Handumdrehen zu berechnen. Egal, ob du nach einer Flächendefinition oder zum Beispiel nach der Formel für die Fläche einer Raute suchst, dieser Rechner hat alles, was du brauchst. Scrolle nach unten, um mehr zu erfahren oder experimentiere mit unserem Rechner herum — du wirst nicht enttäuscht sein!

Einfach ausgedrückt, ist der Flächeninhalt ein Maß für die Größe einer Fläche. Mit anderen Worten, sie kann als der Raum definiert werden, den eine flache Form einnimmt. Um das Konzept zu verstehen, ist es meist hilfreich, sich die Fläche als die Menge an Malfarbe vorzustellen, die nötig ist, um die Fläche zu streichen. Schau dir das Bild unten an — alle Figuren haben die gleiche Fläche, nämlich 12 Quadrateinheiten:

Es gibt viele nützliche Formeln, um den Flächeninhalt von einfachen Formen zu berechnen. In den folgenden Abschnitten findest du nicht nur die bekannten Formeln für Dreiecke, Rechtecke und Kreise, sondern auch für andere Formen, wie Parallelogramme, Drachenvierecke oder Kreisringe.

Wir hoffen, dass du nach der Lektüre unseres Artikels problemlos definieren kannst, was der Flächeninhalt in der Mathematik ist!

Nun, das hängt natürlich von der Form der Fläche ab! Im Folgenden findest du die Formeln für alle sechzehn Formen, die in unserem Flächenrechner enthalten sind. Der Übersichtlichkeit halber listen wir nur die Gleichungen auf — die Bilder, Erklärungen und Herleitungen findest du in den einzelnen Absätzen weiter unten (und auch in Omnis weiteren Rechnern, die sich mit der jeweiligen Form beschäftigen).

Bist du bereit? Hier sind die wichtigsten und nützlichsten Flächenformeln für sechzehn geometrische Formen:

• Quadrat Flächenformel: A = a²
• Rechteck Flächenformel: A = a ∙ b
• Dreiecke Flächenformeln:
  • A = b ∙ h / 2 oder
  • A = 0,5 ∙ a ∙ b ∙ sin(γ) oder
  • A = 0,25 ∙ √( (a + b + c) ∙ (-a + b + c) ∙ (a - b + c) ∙ (a + b - c) ) oder
  • A = a² ∙ sin(β) ∙ sin(γ) / (2 ∙ sin(β + γ))
• Kreis Flächenformel: A = πr²
• Kreissektor Flächenformel: A = r² ∙ Winkel / 2
• Ellipse Flächenformel: A = a ∙ b ∙ π
• Trapez Flächenformel: A = (a + b) ∙ h / 2
• Parallelogramm Flächenformeln:
  • A = a ∙ h oder
  • A = a ∙ b ∙ sin(Winkel) oder
  • A = e ∙ f ∙ sin(Winkel)
• Rhombus Flächenformeln:
  • A = a ∙ h oder
  • A = (e ∙ f) / 2 oder
  • A = s² ∙ sin(Winkel)
• Drachenviereck Flächenformeln:
  • A = (e ∙ f) / 2 oder
  • A = a ∙ b ∙ sin(γ)
• Fünfeck Flächenformel: A = a² ∙ √(25 + 10√5) / 4
• Sechseck Flächenformel: A = 3/2 ∙ √3 ∙ a²
• Achteck Flächenformel: A = 2 ∙ (1 + √2) ∙ a²
• Kreisring Flächenformel: A = π(R² - r²)
• Viereck Flächenformel: A = 1/2 ∙ e ∙ f ∙ sin(Winkel)
• regelmäßiges Vieleck Flächenformel: A = n ∙ a² ∙ cot(π/n) / 4

Du möchtest die Maßeinheit des Flächeninhalts ändern? Klicke einfach auf den Namen der Einheit und wähle die passende aus dem Drop-Down-Menü aus.

Hast du vergessen, wie die Formel für die quadratische Fläche lautet? Dann bist du hier genau richtig. Der Flächeninhalt eines Quadrats ist das Produkt aus seinen Seitenlängen:

• Flächeninhalt Quadrat = a ∙ a = a², wobei a eine Quadratseite ist

Das ist die grundlegendste und am häufigsten verwendete Formel. Es gibt aber noch weitere Formeln, die die Diagonale, den Umfang, den Umfangsradius oder den Radius des Inkreises in die Berechnung miteinbeziehen.

Die Formel für den Flächeninhalt des Rechtecks ist ebenfalls ein Kinderspiel — sie besteht aus der Multiplikation der Rechteckseiten:

• Rechteckfläche = a ∙ b

Die Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks ist in vielen alltäglichen Situationen sehr nützlich: vom Bau eines Hauses (um die benötigten Fliesen, Terrassendielen oder die Dachfläche zu ermitteln) über die Dekoration deiner Wohnung (wie viel Farbe oder Tapete brauche ich?) bis hin zur Berechnung, wie viele Personen dein Kuchen sättigen kann.

Es gibt viele verschiedene Formeln für die Berechnung des Flächeninhalts von Dreiecken, je nachdem, was gegeben ist und welche Gesetze oder Lehrsätze verwendet werden. In diesem Flächenrechner haben wir vier von ihnen implementiert:

1. Gegeben sind Basis und Höhe

• Dreiecksfläche = b ∙ h / 2

2. Gegeben sind zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen (SWS)

• Dreiecksfläche = 0,5 ∙ a ∙ b ∙ sin(γ)

3. Gegeben sind drei Seiten (SSS) (Diese Dreiecksflächenformel wird Heronsche Formel genannt)

• Dreiecksfläche = 0,25 ∙ √( (a + b + c) ∙ (-a + b + c) ∙ (a - b + c) ∙ (a + b - c) )

Mehr darüber kannst du in unserem Satz des Heron Rechner 🇺🇸 erfahren.

4. Gegeben sind zwei Winkel und die Seite zwischen ihnen (WSW)

• Dreiecksfläche = a² ∙ sin(β) ∙ sin(γ) / (2 ∙ sin(β + γ))

Es gibt eine besondere Art von Dreieck, das rechtwinklige Dreieck. In diesem Fall sind die Basis und die Höhe die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden. Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks lässt sich dann wie folgt ausdrücken:

Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks = a ∙ b / 2

Die Formel zur Berechnung der Kreisfläche ist eine der bekanntesten Formeln:

• Kreisfläche = πr², wobei r der Radius des Kreises ist.

In diesem Rechner haben wir nur diese Gleichung implementiert, in unserem Kreis Rechner kannst du die Fläche mit zwei verschiedenen Formeln berechnen:

1. Mittels des Durchmessers:

• Kreisfläche = πr² = π ∙ (d / 2)²

2. Mittels des Kreisumfangs:

• Kreisfläche = c² / 4π

Die Formel zur Berechnung der Kreisfläche ist auch im Alltag nützlich — zum Beispiel bei der Frage, welche Pizzagröße du wählen sollst.

Die Formel für den Flächeninhalt eines Kreisektors lässt sich ermitteln, indem der Anteil eines Kreises berechnet wird. Die Fläche des Sektors ist proportional zu seinem Winkel. Wenn wir also die Formel für die Kreisfläche kennen, können wir folgendes schreiben:

α / 360° = Sektorfläche / Kreisfläche

Die Winkelumrechnung sagt uns, dass 360° = 2π

α / 2π = Sektorfläche / πr²

also:

• Sektorfläche = r² ∙ α / 2

Um die Formel für den Flächeninhalt einer Ellipse zu finden, erinnere dich zunächst an die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises: πr². Bei einer Ellipse hast du nicht nur einen Wert für den Radius, sondern zwei verschiedene Werte: a und b. Der einzige Unterschied zwischen der Formel für den Flächeninhalt eines Kreises und einer Ellipse besteht darin, dass du r² durch das Produkt aus der Haupt- und Nebenachse, also a ∙ b, ersetzt:

• Ellipsenfläche = π ∙ a ∙ b

Der Flächeninhalt eines Trapezes kann nach der folgenden Formel berechnet werden:

• Trapezfläche = (a + b) ∙ h / 2, wobei a und b die Längen der parallelen Seiten sind und h die Höhe ist.

Die Formel für den Flächeninhalt des Trapezes kann auch wie folgt ausgedrückt werden:

Trapezfläche = m ∙ h, wobei m das arithmetische Mittel der Längen der beiden parallelen Seiten ist.

Egal, ob du den Flächeninhalt bei gegebener Grundseite und Höhe, gegebenen Seiten und Winkel oder der Diagonalen eines Parallelogramms und den Winkel zwischen ihnen berechnen möchtest, hier bist du richtig. Wir zeigen dir in unserem Rechner drei Formeln für die Berechnung des Flächeninhaltes eines Parallelogramms:

1. Grundseite und Höhe

• Parallelogrammfläche = b ∙ h

2. Seiten und ein Winkel zwischen ihnen

• Parallelogramm Fläche = a ∙ b ∙ sin(α)

3. Diagonalen und ein Winkel zwischen ihnen

• Parallelogrammfläche = e ∙ f ∙ sin(θ)

Wir haben drei nützliche Formeln für die Berechnung des Flächeninhalts eines Rhombus/einer Raute eingeführt. Du kannst den Flächeninhalt ermitteln, wenn du die folgenden Werte kennst:

1. Seite und Höhe

• Rhombusfläche = a ∙ h

2. Diagonalen

• Rhombusfläche = (e ∙ f) / 2

3. Seite und beliebiger Winkel, z. B. α

• Rhombusfläche = a² ∙ sin(α)

Um die Fläche eines Drachenvierecks zu berechnen, können zwei Gleichungen verwendet werden, je nachdem, welche Werte bekannt sind:

1. Formel für die Fläche eines Drachenvierecks bei gegebenen Diagonalen

• Drachenfläche = (e ∙ f) / 2

2. Formel für den Flächeninhalt eines Drachenvierecks, wenn zwei Seitenlängen (von unterschiedlich langen Seiten) und der Winkel zwischen diesen beiden Seiten gegeben sind

• Drachenfläche = a ∙ b ∙ sin(α)

Die Fläche eines Fünfecks oder Pentagons kann mit der folgenden Formel berechnet werden:

• Fünfeckfläche = a² ∙ √(25 + 10√5) / 4, wobei a eine Seite eines regelmäßigen Fünfecks ist.

In unserem Pentagon Rechner findest du weitere wichtige Eigenschaften eines regelmäßigen Fünfecks: Seite, Diagonale, Höhe und Umfang sowie den Umkreis- und den Inkreisradius.

Die Grundformel für die Berechnung des Flächeninhaltes eines Sechsecks lautet:

• Sechseckfläche = 3/2 ∙ √3 ∙ a², wobei a eine Seite des regelmäßigen Sechsecks ist.

Woher kommt diese Formel? Du kannst dir ein regelmäßiges Sechseck als eine Sammlung von sechs kongruenten gleichseitigen Dreiecken vorstellen. Um die Fläche des Sechsecks zu bestimmen, müssen wir nur die Fläche eines Dreiecks ermitteln und mit sechs multiplizieren. Die Formel für die Fläche eines regelmäßigen Dreiecks ist gleich die quadrierte Seitenlänge mal der Wurzel aus 3 geteilt durch 4:

Fläche eines gleichseitigen Dreiecks = (a² ∙ √3) / 4

Fläche des Sechsecks = 6 ∙ Fläche des gleichseitigen Dreiecks = 6 ∙ (a² × √3) / 4 = 3/2 ∙ √3 ∙ a²

Um die Fläche eines regelmäßigen Achtecks zu bestimmen, brauchst du nur seine Seitenlänge und die folgende Formel:

• Achteckfläche = 2 ∙ (1 + √2) ∙ a²

Die Fläche des Achtecks kann auch berechnet werden aus:

Achteckfläche = Umfang ∙ Apothema / 2

Der Umfang des Achtecks ist einfach 8 ∙ a. Und was ist ein Apothema? Ein Apothema ist der Abstand zwischen dem Mittelpunkt des Polygons und dem Mittelpunkt einer seiner Seiten. Gleichzeitig ist es die Höhe des Dreiecks, welches durch die Linien zwischen zwei benachbarten Eckpunkten des Achtecks und seinem Mittelpunkt gebildet wird. Dieses Dreieck — eines von acht kongruenten Dreiecken — ist ein gleichschenkliges Dreieck, sodass seine Höhe z. B. mithilfe des Satzes von Pythagoras aus der Formel berechnet werden kann:

h = (1 + √2) ∙ a / 4

So erhalten wir schließlich die Gleichung:

Achteckfläche = Umfang ∙ Apothema / 2 = (8 ∙ a ∙ (1 + √2) ∙ a / 4) / 2 = 2 ∙ (1 + √2) ∙ a²

Ein Ring ist ein kreisförmiges Objekt — es ist ein Bereich, der von zwei konzentrischen Kreisen mit unterschiedlichen Radien begrenzt wird. Die Formel für die Fläche eines Kreisrings zu finden ist einfach, wenn du dich an die Kreisflächenformel erinnerst. Sieh einfach nach: Die Fläche eines Kreisrings ist die Differenz der Flächen des größeren Kreises mit Radius R und des kleineren Kreises mit Radius r:

• Kreisringfläche = πR² - πr² = π(R² - r²)

Die Viereckformel, die dieser Flächenrechner anwendet, verwendet zwei Diagonalenlängen und den Winkel zwischen ihnen.

• Viereck Fläche = 1/2 ∙ e ∙ f ∙ sin(α), wobei e und f Diagonalen sind.

Wir können einen beliebigen von den zwei Winkeln verwenden, denn wir berechnen ihren Sinus. Da sich zwei benachbarte Winkel zu 180° summieren, können wir sagen, dass sin(Winkel) = sin(180° - Winkel).

Wenn du nach anderen Formeln für den Flächeninhalt eines unregelmäßigen Vierecks suchst, findest du in unserem Viereck Rechner 🇺🇸 die Formel von Bretschneider (bei vier Seiten und zwei gegenüberliegenden Winkeln) und eine Formel, die die Bimediane und den Winkel zwischen ihnen verwendet.

Die Formel für Berechnung der Fläche eines regelmäßigen Vielecks/Polygons ist die folgende:

• Reguläre Polygonfläche = n ∙ a² ∙ cot(π/n) / 4,

dabei ist n die Anzahl der Seiten und a die Seitenlänge.

Es gibt auch andere Gleichungen, die andere Parameter wie z.B. den Umfang verwenden. Du findest diese Formeln in einem eigenen Abschnitt unseres Flächeninhalt eines regelmäßigen Vielecks Rechners.

Wenn du den Flächeninhalt eines unregelmäßigen Polygons berechnen möchtest, kannst du die Form immer in einfachere Figuren unterteilen, z. B. in Dreiecke. Berechne einfach die Fläche jedes einzelnen Dreiecks und rechne sie am Ende zusammen. Die Zerlegung eines Polygons in eine Reihe von Dreiecken wird Triangulierung von Polygonen genannt.

Bei einem bestimmten Umfang ist das Viereck mit der größten Fläche immer ein Quadrat.

Bei einem bestimmten Umfang ist die geschlossene Figur mit der größten Fläche ein Kreis.

Um die Fläche einer unregelmäßigen Form zu berechnen:

1. Unterteile die Form in mehrere Unterformen, für die du die Flächenberechnung leicht durchführen kannst, wie Dreiecke, Rechtecke, Trapeze, (Halb-)Kreise usw.
2. Berechne die Fläche jeder dieser Unterformen.
3. Addiere die Flächen der Teilformen, um das Endergebnis zu erhalten.

Um die Fläche unter einer Kurve über einem Intervall zu bestimmen, musst du das bestimmte Integral der Funktion berechnen, die diese Kurve beschreibt, mit den Endpunkten des betreffenden Intervalls als Integrationsgrenzen.