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Einheitskreis Rechner

Created by Hanna Pamuła, PhD
Reviewed by Dominik Czernia, PhD and Jack Bowater
Translated by Luise Schwenke and Julia Kopczyńska, PhD candidate
Last updated: Oct 30, 2024


Willkommen beim Einheitskreis-Rechner ⭕. Unser Tool hilft dir, die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf dem Einheitskreis zu bestimmen. Gib einfach den Winkel ∡ ein, und wir zeigen dir den Sinus und Kosinus deines Winkels.

Wenn du dir nicht sicher bist, was ein Einheitskreis ist, scrolle nach unten und du wirst die Antwort finden. Die Einheitskreis-Tabelle und eine Erklärung, wie man den Tangens des Einheitskreises, den Sinus und den Kosinus findet, findest du hier ebenfalls. Also warte nicht länger – lies in diesem grundlegenden Trigonometrie Rechner weiter!

Was ist ein Einheitskreis?

Ein Einheitskreis ist ein Kreis mit einem Radius von 1 (Einheitsradius). In den meisten Fällen hat er seinen Mittelpunkt im Punkt (0,0)(0,0), dem Ursprung des Koordinatensystems.

Der Einheitskreis ist ein sehr nützliches Konzept, wenn du Trigonometrie und Winkelumrechnung lernst.

Einheitskreis in einem Koordinatensystem

Da du nun weißt, was ein Einheitskreis ist, kommen wir zu den Beziehungen im Einheitskreis.

Einheitskreis: Sinus und Kosinus

Warum ist der Einheitskreis in der Trigonometrie so nützlich?

Kurz gesagt:

Beziehungen des Einheitskreises für Sinus und Kosinus:

  • Sinus ist die y-Koordinate; und
  • Kosinus ist die x-Koordinate.

🙋 Brauchst du eine Einführung in Sinus und Kosinus? Dann besuche unseren Sinus Rechner 🇺🇸 und Kosinus Rechner 🇺🇸!

Ausführliche Erklärung:

Nehmen wir einen beliebigen Punkt A auf dem Umfang des Einheitskreises.

Einheitskreis in einem Koordinatensystem, mit Punkt A(x,y)
  • Die Koordinaten dieses Punktes sind xx und yy. Da es sich um einen Einheitskreis handelt, beträgt der Radius r 11 (eine Entfernung zwischen Punkt PP und dem Mittelpunkt des Kreises).
Einheitskreis in einem Koordinatensystem mit Punkt A(x,y) und Schenkeln |x| und |y|
  • Wenn wir den Radius auf die x- und y-Achse projizieren, erhalten wir ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem x|x| und y|y| die Längen der Schenkel sind und die Hypotenuse 11 ist.
Einheitskreis in einem Koordinatensystem mit Sinus- und Kosinusformeln.
  • Wie in jedem rechtwinkligen Dreieck kannst du die Werte der trigonometrischen Funktionen bestimmen, indem du die Seitenverhältnisse ermittelst:
sin(α)=GegenkatheteHypotenuse=y1=y\sin(\alpha)=\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Hypotenuse}} = \frac{y}{1} = y

Mit anderen Worten: Der Sinus ist die y-Koordinate:

cos(α)=AnkatheteHypotenuse=x1=x\cos(\alpha) = \frac{\mathrm{Ankathete}}{\mathrm{Hypotenuse}} = \frac{x}{1} = x

Und der Kosinus ist die x-Koordinate.

Einheitskreis in einem Koordinatensystem mit Punkt A(x,y) = (cos a, sin a)

Die Gleichung des Einheitskreises, die sich direkt aus dem Satz des Pythagoras ergibt, sieht folgendermaßen aus:

x2+y2=1x^2+y^2=1

Oder, analog dazu:

x2+y2=1x^2+y^2=1

🙋 Schaue dir, für eine gründliche Analyse, den Tangens Rechner 🇺🇸 an!

Diese enge Verbindung zwischen Trigonometrie und Dreiecken kann nicht überraschender sein! Mehr über diese wichtigen Konzepte erfährst du in Omni's Rechtwinkliges Dreieck Rechner.

Tangens des Einheitskreises und andere trigonometrische Funktionen

Du kannst den Tangens des Einheitskreises direkt ermitteln, wenn du dich an die Definition des Tangens erinnerst:

Rechtwinkliges Dreieck: Veranschaulichung der Tangensdefinition. Gegenüberliegende Seite über eine angrenzende.

Das Verhältnis der gegenüberliegenden und der angrenzenden Seiten zu einem Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck.

tanα=GegenkatheteAnkathete\tan{\alpha} = \frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}

Wie wir im vorigen Absatz gelernt haben, sin(α)=y\sin(\alpha) = y und cos(α)=x\cos(\alpha) = x, also:

tan(α)=yx\tan(\alpha) = \frac{y}{x}

Wir können den Tangens des Winkels auch als seinen Sinus geteilt durch seinen Kosinus definieren:

tan(α)=sin(α)cos(α)=yx\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{y}{x}

Das führt natürlich zu demselben Ergebnis.

Eine andere Methode ist natürlich die Verwendung unseres Einheitskreis-Rechners. 😁

Aber was ist, wenn du dich mit diesem Wert nicht zufriedengibst und du den Tangens auf deinem Einheitskreis** sehen möchtest?

Das ist etwas kniffliger als den Sinus und Kosinus zu bestimmen – welche einfach die Koordinaten sind. Es gibt zwei Möglichkeiten, den Tangens des Einheitskreises darzustellen:

1. Methode:

Tangens am Einheitskreis, 1. Methode
  1. Erstelle eine Tangente am Punkt AA.
  2. Sie schneidet die x-Achse im Punkt BB.
  3. Die Länge des Segments ABˉ\bar{AB} ist der Wert des Tangens

2. Methode:

Tangens am Einheitskreis, 2. Methode
  1. Zeichne eine Gerade x=1x = 1.
  2. Verlängere die Gerade um den Radius.
  3. Benenne den Schnittpunkt dieser beiden Geraden als Punkt CC.
  4. Der Tangens, tan(α)\tan(\alpha), ist die y-Koordinate des Punktes CC.

Bei beiden Methoden haben wir rechtwinklige Dreiecke erstellt, deren angrenzende Seite gleich 1 ist 😎

Sinus, Kosinus und Tangens sind nicht die einzigen Funktionen, die du auf dem Einheitskreis konstruieren kannst. Neben der Tangens-Kofunktion – dem Kotangens – kannst du auch andere weniger bekannte Funktionen darstellen, z. B. den Sekans, Kosekans und den Versinus:

Trigonometrische Funktionen auf Basis des Kreises
Grafik erstellt von Steven G. Johnson in English Wikipedia, CC BY-SA.

Einheitskreisdiagramm – Einheitskreis in Radiant und Grad

Das Konzept des Einheitskreises ist sehr wichtig, weil du damit den Sinus und Kosinus eines beliebigen Winkels bestimmen kannst. Im Folgenden stellen wir einige häufig vorkommende Winkel in der Einheitskreis-Tabelle vor:

Winkel des Einheitskreises in Farbe

Ein Beispiel: Wie bestimmt man sin(150°)\sin(150\degree)?

  1. Suche nach dem Winkel 150°150\degree.
  2. Wie wir bereits gelernt haben, ist der Sinus eine y-Koordinate, also nehmen wir die zweite Koordinate vom entsprechenden Punkt auf dem Einheitskreis:
sin(150°)=12\qquad \sin(150\degree) = \frac{1}{2}

Alternativ kannst du auch den Winkel 150° in unseren Einheitskreis-Rechner eingeben. Der Rechner zeigt dir den sin(150°)\sin(150\degree) Wert deiner y-Koordinate sowie den Kosinus, den Tangens und das Diagramm des Einheitskreises an.

Wie lernt man den Einheitskreis auswendig?

Nun, es kommt darauf an, was du dir merken möchtest 🙃. Es gibt zwei Dinge, die du dir merken musst, wenn es um den Einheitskreis geht:

  1. Winkelumrechnung, also wie man zwischen einem Winkel in Grad und einem in Form von π\pi (Einheitskreis im Bogenmaß) wechselt; und

  2. Die trigonometrischen Funktionen der gängigen Winkel.

Beginnen wir mit dem einfacheren ersten Teil. Die wichtigsten Winkel sind die, die du immer wieder benutzen wirst:

  • 30°=π/630\degree = \pi/6;
  • 45°=π/445\degree = \pi/4;
  • 60°=π/360\degree = \pi/3;
  • 90°=π/290\degree = \pi/2; und
  • Voller Winkel, 360°=2π360\degree = 2\pi.

Da diese Winkel sehr häufig vorkommen, versuche, sie auswendig zu lernen ❤️. Für alle anderen Winkel kannst du die Formel zur Winkelumrechnung verwenden:

α [rad]=π180°×α [deg]\alpha\ [\mathrm{rad}] = \frac{\pi}{180\degree}\times \alpha\ [\mathrm{deg}]

Die Umrechnung von Bogenmaß des Einheitskreises in Grad sollte kein Problem mehr sein! 💪

Der andere Teil – das Auswendiglernen der gesamten Einheitskreis-Tabelle mit Sinus- und Kosinuswerten – ist ein etwas längerer Prozess. Wir werden ihn hier nicht beschreiben, aber du kannst dir diese Tabelle als Lernhilfe oder diese WikiHow-Seite ansehen. Wenn du lieber Videos schaust 🖥️, statt zu lesen 📘, schau dir dieses Video an, in dem erklärt wird, wie man sich den Einheitskreis merken kann:

  • Sinus-/Kosinusfunktion verdeutlicht mit Einheitskreis, Kreisfunktionen | Mathe by Daniel Jung.

Auch diese Tabelle mit den gebräuchlichsten Winkeln kann dir nützlich sein:

α\mathrm{\boldsymbol{\alpha}} (Winkel)

Trigonometrische Funktion

deg\mathrm{deg}

rad\mathrm{rad}

sin(α)\sin(\alpha)

cos(α)\cos(\alpha)

tan(α)\tan(\alpha)

30°30\degree

π/6\pi/6

1/21/2

3/2\sqrt{3}/2

3/3\sqrt{3}/3

45°45\degree

π/4\pi/4

2/2\sqrt{2}/2

2/2\sqrt{2}/2

11

60°60\degree

π/3\pi/3

3/2\sqrt{3}/2

1/21/2

3\sqrt{3}

Und wenn alle Methoden versagen, kannst du unseren Einheitskreis-Rechner benutzen – er ist für immer für dich da ❤️. Hoffentlich hilft dir dieses Tool, die Werte des Einheitskreises besser zu verstehen und auswendig zu lernen!

FAQ

Was ist tan 30 mithilfe des Einheitskreises?

tan 30° = 1/√3. Um diese Antwort auf dem Einheitskreis zu finden, müssen wir zunächst die Werte für sin und cos als y-Koordinate bzw. x-Koordinate bestimmen: sin 30° = 1/2 und cos 30° = √3/2. Verwende nun die Formel. Erinnere dich daran, dass tan 30° = sin 30° / cos 30° = (1/2) / (√3/2) = 1/√3, bereits gesagt. Siehst du, wie einfach das ist?

Wie berechne ich den Kosekans mit dem Einheitskreis?

Bestimme die Kosekante von θ auf dem Einheitskreis:

  1. Zeichne vom Mittelpunkt des Kreises aus den Radius, der dem Winkel θ entspricht.
  2. Zeichne Tangenten an den Kreis in den Punkten (0,1) und (0,-1).
  3. Verlängere den Radius aus Schritt 1 so, dass er eine dieser Tangenten schneidet.
  4. Die Entfernung vom Mittelpunkt zum Schnittpunkt aus Schritt 3 ist der Kosekans des Winkels θ.
  5. Wenn es keinen Schnittpunkt gibt, ist der Kosekans von θ undefiniert (das passiert, wenn sin θ = 0).

Wie berechne ich 1/2 Arkussinus mit dem Einheitskreis?

Da der Arkussinus die Umkehrung der Sinusfunktion ist, ist die Bestimmung von Arkussinus(1/2) gleichbedeutend mit der Bestimmung eines Winkels, dessen Sinus gleich 1/2 ist. Auf dem Einheitskreis sind die Werte des Sinus die y-Koordinaten der Punkte auf dem Kreis. Betrachtet man den Einheitskreis, so stellt man fest, dass die y-Koordinate für den Winkel π/6 beträgt 1/2 ist, d. h. 30°.

Hanna Pamuła, PhD
Unit circle in a coordinate system with Pythagorean trig identity formula.
Angle
deg
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