Durchschnittlicher Prozentsatz Rechner

Willkommen bei Omni's Durchschnittlicher-Prozentsatz-Rechner, wo wir dir zeigen, wie der Durchschnitt aus Prozenten berechnet wird und was das eigentlich bedeutet. Um ehrlich zu sein, in den meisten Fällen musst du nur die bekannte Formel für die Berechnung des Mittelwerts eines Datensatzes anwenden. Wir erklären aber auch, wie du mit Prozentsätzen umgehst, die unterschiedlich großen Stichproben entsprechen. In diesem Fall wenden wir die Formel zur Berechnung des gewichteten Mittelwertes der Prozentwerte an.

Keine Sorge: Wir zeigen dir, wie du zwischen den beiden Szenarien unterscheiden kannst und wie du den durchschnittlichen Prozentsatz in beiden Fällen findest!

Mit unserem Mittelwert Rechner 🇺🇸 erfährst du mehr darüber, wie du den Mittelwert aus mehreren Zahlen findest.

Erinnern wir uns an die Definition eines Prozentsatzes:

Genauere Informationen dazu findest du in unserem Prozentrechner.

Wir sind daran gewöhnt, dass wir Prozentsätze bestimmten Zahlen zuordnen, so wie wir Rabatte den Preisen zuordnen. Aber mathematisch gesehen können sie auch alleine auftreten.

Außerdem besagt die obige Definition, dass $a$ eine beliebige reelle Zahl sein kann. Mit anderen Worten, es kann eine ganze Zahl, eine negative Zahl, eine Dezimalzahl oder sogar eine Kubikwurzel sein. Mathematisch gesehen, versteht sich. Im wirklichen Leben würden wir die Geschäftsleitung für verrückt halten, wenn ein Geschäft einen $\sqrt[3]{75}$ Rabatt für den Black Friday anbietet. Wenn du bei deinen Messungen einen Fehler von $\sqrt[3]{5}$ angibst, wird dir dein Lehrer raten, zu lernen, wie du den prozentualen Fehler berechnest.

Es kann sinnvoll sein, Prozentzahlen als normale Zahlen zu betrachten. Vielleicht fragst du dich, ob es überhaupt möglich ist, den Mittelwert aus Prozentsätzen zu berechnen. Wir wissen doch, wie der Durchschnitt von Zahlen berechnet wird, oder? Um auf Nummer sicher zu gehen, erinnern wir uns an die Formel für das arithmetische Mittel:

Du kannst jederzeit einen Blick in den Arithmetisches Mittel Rechner werfen, um noch mehr über dieses Thema zu erfahren 😉

Der Mittelwert aus Prozentsätzen kann berechnet werden, wir müssen allerdings vorsichtig sein. Die Frage, wie der durchschnittliche Prozentsatz berechnet wird, ist abhängig von den Stichproben, die die Prozentsätze darstellen. Lass uns ein Beispiel anschauen, um den Unterschied zu verstehen.

Angenommen, Emma, Tim, Paul, Lisa und Felix haben alle einen Test in Mathematik geschrieben. Einige von ihnen bestanden den Test mit $80\%$ richtiger Antworten, andere fielen mit $40\%$ richtiger Antworten durch. Wenn wir die obige Argumentation blind anwenden, würden wir sagen, dass das durchschnittliche Ergebnis in Prozenten war:

Schließlich gab es nur zwei Werte für das Ergebnis, wir suchen also nach dem Mittelwert aus zwei Werten. Mit unserem Mittelwert Median Modus Rechner 🇺🇸 kannst du lernen, wie der Mittelwert aus mehreren Werten berechnet wird.

Das Ergebnis kann so natürlich nicht stimmen. Es haben fünf Personen an dem Test teilgenommen, also sollten wir den Mittelwert aus fünf statt zwei Zahlen berechnen. Wenn wir sagen, dass Emma, Tim, Paul und Lisa den Test mit $80\%$ richtigen Antworten bestanden haben und Felix mit $40\%$ richtigen Antworten durchgefallen ist, dann ist der tatsächliche Durchschnitt:

Ein ganz anderes Ergebnis, nicht wahr?

Was wir hier lernen, ist, dass wir immer die Unterschiede zwischen den Gruppengrößen und den Prozentsätzen, denen sie entsprechen, berücksichtigen müssen. Da wir nach dem gewichteten Mittelwert eines Datensatzes suchen, können wir uns die unterschiedlichen Gruppengrößen als Gewichte vorstellen. Das ist zum Beispiel bei einer Reihe von Prozentsätzen der Fall.

Erinnere dich an das Beispiel des obigen Abschnitts, in dem wir über die Ergebnisse von fünf Personen bei einem Test gesprochen haben. Nachdem wir den durchschnittlichen Prozentsatz ermittelt hatten, erhielten wir:

Wir hätten also auch schreiben können:

Die neue Schreibweise ist eindeutig kürzer. Außerdem sehen wir sofort, wie viele Schüler das gleiche Ergebnis erhielten: $4$ schafften $80\%$ richtige Antworten, und $1$ schaffte $40\%$ richtige Antworten. Mit anderen Worten: Anstatt die Werte einzeln zu betrachten, gruppieren wir sie nach ihrer Punktzahl.

Was wir erhalten, ist der gewichtete Mittelwert der Prozentsätze, wobei die Gewichtung der Anzahl der Personen entspricht, die die Punktzahl erreicht haben. Glücklicherweise entsprechen die Berechnungen denen eines normalen gewichteten Durchschnitts: wenn wir die Einträge $a_1$, $a_2$, $a_3$, $...$, $a_n$ mit den jeweiligen Gewichten $w_1$, $w_2$, $w_3$, $...$, $w_n$ haben, dann:

Wenn wir die Notation für unseren Fall umschreiben (d.h. um zu erklären, wie man Prozentsätze mittelt), entsprechen $a_1$, $a_2$, $a_3$, $...$, $a_n$ den jeweiligen Prozentsätzen, während $w_1$, $w_2$, $w_3$, $...$, $w_n$ die jeweiligen Stichprobengrößen der besagten Prozentsätze sind.

Was passiert nun, wenn alle Gewichte gleich groß sind (d.h. wenn alle Stichproben den gleichen Umfang haben)? Nun, wenn wir die gegenseitige Gewichtung mit $w$ bezeichnen, dann haben wir nach den Regeln der Bruchvereinfachung:

Mit anderen Worten: Das Gewicht spielt keine Rolle, und der gewichtete Mittelwert der Prozentsätze entspricht dem regulären (nicht gewichteten) Mittelwert.

Alles in allem sehen wir, dass das Erlernen der Berechnung des durchschnittlichen Prozentsatzes auf das Erlernen des gewöhnlichen gewichteten Mittelwertes hinausläuft. Gehen wir noch ein weiteres Beispiel durch, um zu zeigen, wie das in der Statistik angewendet wird. Wir werden die Gelegenheit nutzen, um mit dem Durchschnittlicher-Prozentsatz-Rechner von Omni zu rechnen.

Angenommen, wir haben eintausend Menschen gefragt, ob sie mindestens einmal pro Woche Pfannkuchen essen. Unter den 1000 Menschen waren $300$ Jugendliche, $450$ Personen im Alter von 20-49 Jahren und $250$ Personen im Alter von 50 Jahren und älter. In der ersten Gruppe sagte $64\%$, dass sie jede Woche Pfannkuchen essen. In der zweiten waren es $42\%$, und in der dritten $36\%$. Mal sehen, wie man den durchschnittlichen Prozentsatz aus diesen 3 Gruppen berechnet.

Doch bevor wir die Berechnungen selbst durchführen, wollen wir erst einmal sehen, wie einfach die Aufgabe mit dem Durchschnittlicher-Prozentsatz-Rechner ist. Oben im Tool sehen wir eine Option, für den Stichprobenumfang. In unserem Fall unterscheiden sich die Gruppen in ihrer Größe, also wählen wir das entsprechende Kästchen aus.

Daraufhin werden zusätzliche Variablenfelder für die jeweiligen Stichprobenumfänge und Prozentsätze eingeblendet. Sie erscheinen paarweise und sind jeweils einer Gruppe zugeordnet. Wähle Drei für die Anzahl der Einträge (du kannst bis zu zehn Einträge in Omni's Durchschnittlicher-Prozentsatz-Rechner eingeben). Wenn wir auf unser Beispiel zurückblicken, geben wir Folgendes ein:

• Eintrag #1: $64\%$, $300$,

• Eintrag #2: $42\%$, $450$ und

• Eintrag #3: $36\%$, $250$.

Wenn du den letzten Wert eingibst, zeigt dir der Durchschnittlicher-Prozentsatz-Rechners die Antwort direkt darunter zusammen mit den Zwischenschritten an.

Sehen wir uns nun an, wie wir den durchschnittlichen Prozentsatz selbst ermitteln. Zuerst bestimmen wir unseren Datensatz nach dem, was wir im obigen Abschnitt gelernt haben: Unsere nachfolgenden Prozentsätze sind $64\%$, $42\%$ und $36\%$, während die jeweiligen Stichprobengrößen $300$, $450$ und $250$ Personen sind. Als Nächstes verwenden wir die Formel für den gewichteten Mittelwert der Prozentsätze:

Es stellt sich heraus, dass im Durchschnitt $47,1\%$ dieser Gruppe von 1000 Menschen jede Woche Pfannkuchen essen. Aber essen sie diese einmal pro Woche oder jeden Tag? Vielleicht könnten wir ein paar neue Fragen in die Umfrage einfügen und eine ausführlichere Studie durchführen?