Gewichteter Mittelwert Rechner

Q: Wie berechne ich meinen gewichteten Durchschnitt, wenn meine Kursarbeit 40% ausmacht?

Angenommen, dein Testergebnis trägt 60% zur Gesamtnote bei und die Kursarbeit und die Testergebnisse werden als Bruchteile von 100 ausgedrückt, dann befolge diese Schritte, um den gewichteten Durchschnitt zu berechnen: Multipliziere die Kursnote mit 2 und die Testnote mit 3 . Addiere die Ergebnisse und teile sie durch die Summe der Gewichtungsfaktoren: 5 . Read more

Created by Mateusz Mucha and Hanna Pamuła, PhD

Reviewed by Bogna Szyk and Jack Bowater

Translated by Luise Schwenke and Karolina Kopczyński

Last updated: Jan 18, 2024

Table of contents:

Um zu verstehen, wie ein Rechner für den gewichteten Mittelwert funktioniert, musst du zunächst wissen, was ein gewichteter Mittelwert ist. Der typische Durchschnitt oder Mittelwert entsteht, wenn alle Werte addiert und durch die Gesamtzahl der Werte geteilt werden. Wir können diesen Mittelwert mit unserem Arithmetisches Mittel Rechner, schriftlich oder mit einem Taschenrechner berechnen, da alle Werte gleich gewichtet sind.

Aber was passiert, wenn Werte unterschiedlich gewichtet sind, also nicht gleich wichtig sind? Im Folgenden erfährst du, wie du den gewichteten Mittelwert mithilfe der Formel für den gewichteten Mittelwert berechnen kannst. Außerdem findest du Beispiele, bei denen die Methode des gewichteten Mittelwerts angewendet werden kann – z. B. bei der Berechnung des Notendurchschnitts oder deiner Abitur- oder Uni-Abschlussnote.

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Fangen wir von vorne an: Was ist ein gewichteter Mittelwert?

Der gewichtete Mittelwert ist ein ähnliches Konzept wie das arithmetische Mittel (einfach Durchschnitt genannt), aber beim gewichteten Mittelwert tragen nicht alle Elemente gleichermaßen zum Endergebnis bei. Wir können sagen, dass einige Werte wichtiger sind als andere, deshalb werden sie mit einem Faktor, der Gewichtung, multipliziert.

In deinem Studium kann es zum Beispiel vorkommen, dass die Note einer Prüfung doppelt so wichtig ist wie die Note eines Zwischentests – und genau das nennen wir die Methode des gewichteten Durchschnitts. Um sie mathematisch zu definieren, können wir die Formel für den gewichteten Durchschnitt wie folgt schreiben:

\scriptsize \bar{x} \!=\! \frac{w_1x_1 + w_2x_2 + \ldots + w_nx_n}{w_1 + w_2 + \ldots + w_n}

$x_1$ , $x_2$ ,..., $x_n$ sind unsere Werte, und $w_1$ , $w_2$ ,..., $w_n$ sind unsere Gewichtungen – die Wichtigkeit der Werte bei der Mittelwertbildung.

Wenn du also eine 1 in einer Prüfung und eine 3 in einem Zwischentest schreibst, würdest du als normalen Durchschnitt ein 2 bekommen, aber wenn du davon ausgehst, dass die Prüfung doppelt so wichtig ist, solltest du ein 2+ bekommen.

🙋 Wenn du ein Unternehmen leitest, könnte dich unser WACC Rechner (Weighted Average Cost of Capital) 🇺🇸 interessieren, der sich mit den gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten beschäftigt.

Wie man einen gewichteten Mittelwert berechnet

Eine Art des Mittelwerts, der in der Regel gewichtet wird, ist der Notendurchschnitt. Da die Berechnung der Abiturnote manchmal knifflig sein kann, haben wir zwei spezielle Tools entwickelt: den Abi Durchschnitt Rechner 🇺🇸 und den Abschlussnote Rechner 🇺🇸 – hast du sie schon ausprobiert?

Lass uns herausfinden, wie man einen gewichteten Durchschnitt berechnet – am einfachsten ist es, wenn du dir dieses Beispiel ansiehst:

Angenommen, ein Schüler hat zwei Kurse, die vierfach gewichtet werden, einen Kurs, der dreifach gewichtet wird und einen Kurs, der zweifach gewichtet wird. Nehmen wir an, dass die Noten der Kurse wie folgt sind:

15 für einen vierfach gewichteten Kurs;
11 für den anderen vierfach gewichteten Kurs;
15 für den dreifach gewichteten Kurs; und
9 für den doppelt gewichteten Kurs.

Dann müssen wir die Punktebewertung in numerische Werte umwandeln. Die meisten Schulen in Deutschland verwenden ein 15-Punkte System, also eine 15-Punkte-Bewertungsskala. Die folgende Tabelle zeigt die Umrechnung der Punkte in Noten von 1 bis 6 in die entsprechenden Perzentile. Beachte, dass die Perzentile leicht je nach Einrichtung variieren können.

Punkte	Perzentile	Note
15	96-100	1+
14	93-95	1
13	90-92	1-
12	85-89	2+
11	80-86	2
10	75-79	2-
09	70-74	3+
08	65-69	3
07	60-64	3-
06	55-59	4+
05	50-54	4
04	45-49	4-
03	38-44	5+
02	32-37	5
01	25-31	5-
00	00-24	6

Aus der Tabelle wissen wir also, dass die Note 1 = 15 Punkte, die Note 2 = 11 Punkte und du Note 3 = 9 Punkte sind. Jetzt, da wir alle Informationen haben, können wir uns ansehen, wie man den Notendurchschnitt mit der Methode des gewichteten Durchschnitts berechnet:

Summiere die Gewichtungsfaktoren. 4 + 4 + 3 + 2 = 13, das war ein wirklich einfacher Schritt.
Nimm den Wert, der der Note zugewiesen wurde, und multipliziere ihn mit dem Gewichtungsfaktor. In unserem Fall wäre das:

15 Punkte · 4 = 1 · 4 = 4;
11 · 4 = 2 · 4 = 8;
15 · 3 = 1 · 3 = 3;
9 · 2 = 3 · 2 = 6.

Addiere alle Werte. 4 + 8 + 3 + 6 = 21.
Dividiere die Summe durch die Gesamtzahl der Gewichtungsfaktoren. Für unser Beispiel ergibt sich also der Wert `21/13 = 1,61´

Wir können die Formel für den gewichteten Durchschnitt wie folgt formulieren:

(1 · 4 + 2 · 4 + 1 · 3 + 3 · 2) / (4 + 4 + 3 + 2) = 1,61.

Vergleichen wir dieses Ergebnis mit einem Durchschnitt, der nicht gewichtet ist. Dann lassen wir die Credits unberücksichtigt und teilen die Summe der Noten durch ihre Gesamtzahl.

(1 + 2 + 1 + 3) / 4 = 1,75.

Du siehst, wie sich der gewichtete Durchschnitt verändert hat. Manchmal kann das ein wirklich bedeutender Unterschied sein – wie ein Notenunterschied oder sogar, ob du deinen Kurs bestehst oder nicht.

Formel des gewichteten Mittelwerts

Wiederholen wir, wie die Formel für den gewichteten Mittelwert aussieht:

\scriptsize \bar{x} \!=\! \frac{w_1x_1 + w_2x_2 + \ldots + w_nx_n}{w_1 + w_2 + \ldots + w_n}

Aber was bedeutet das? Um herauszufinden, wie man einen gewichteten Mittelwert berechnet, müssen wir die Gewichtung der einzelnen Werte kennen. Normalerweise geben wir die Gewichte in Form eines Prozentsatzes oder (in der Statistik) einer Wahrscheinlichkeit an.

Nehmen wir zum Beispiel an, dass Prüfungen, Zwischentests und Hausaufgaben alle zur Note eines Kurses beitragen. Jede der drei Prüfungen macht 25% der Note aus, die Zwischentest tragen 15% bei und die Hausaufgaben 10%. Um den Durchschnitt zu berechnen, multiplizierst du den Prozentsatz mit den Noten und addierst sie zusammen. Wenn die Prüfungsergebnisse 75, 90 und 88 sind, der Durchschnitt bei den Zwischentests 70 und bei den Hausaufgaben 86 beträgt, ergibt sich der gewichtete Durchschnitt wie folgt:

(0,25 · 75 + 0,25 · 90 + 0,25 · 88 + 0,15 · 70 + 0,10 · 86) / 1 = 82,35.

Vergleiche dies mit dem ungewichteten Mittelwert von (75 + 90 + 88 + 70 + 86) / 5 = 81,8.

In der Statistik triffst du oft auf eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die Werte für x und die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten enthält. Da die Wahrscheinlichkeiten für jeden Wert von x varrieren, können wir die Formel für den gewichteten Durchschnitt anwenden. Multipliziere einfach jeden x-Wert mit der Wahrscheinlichkeit seines Auftretens und addiere die Werte.

🙋 Wenn du den geometrischen Mittelwert schätzen musst, ist Omni's Geometrisches Mittel Rechner 🇺🇸 sehr hilfreich.

Gewichteter vs. ungewichteter Notendurchschnitt

Wir verwenden oft einen gewichteten Durchschnitt, um den Notendurchschnitt zu berechnen. Schauen wir uns dieses Thema einmal genauer an.

Als Erstes müssen wir betonen: Du musst genau wissen, was du bei der Gewichtung berücksichtigen möchtest — Gewichtungsfaktoren, Kursschwierigkeit oder vielleicht beide Faktoren?

Die Kursschwierigkeit wird bei den meisten gewichteten Abitur-Berechnungen berücksichtigt. Sie belohnt dich für die Teilnahme an Kursen mit einem höheren Niveau, indem sie zusätzliche Punkte zu deiner Note hinzufügt. Das sind in der Regel LK-Kurse (Leistungskurse), die deine gewichtete Abitur-Punktzahl beeinflussen, indem sie einen zusätzlichen Punkt zu deiner normalen Abitur-Note dazugeben. Wenn du besondere Kurse im erweiterten Lehrplan belegt hast (ähnlich der Honor Kurse im amerikanischen Schulsystem), schaue die das Beispiel für einem amerikanischen GPA weiter unten an.

Welche Möglichkeiten gibt es also, deinen Abiturdurchschnitt zu berechnen? Definieren wir das mal:

Ungewichteter Notendurchschnitt, d.h. der Notendurchschnitt, bei dem die Schwierigkeit des Kurses nicht berücksichtigt wird:

a) und wir den Gewichtungsfaktor des Kurses NICHT mit einbeziehen:

Abiturdurchschnitt = Σ Notenwert / Σ Kurse

b) und wir den Gewichtungsfaktor mit einbeziehen:

Abiturdurchschnitt = Σ (Notenwert - Gewichtungsfaktor) / Σ Gewichtungsfaktoren
Gewichteter Notendurchschnitt, als der Notendurchschnitt, bei dem wir die Schwierigkeit der Kurse berücksichtigen:

a) und wir den Gewichtungsfaktor des Kurses NICHT mit einbeziehen:

Abiturdurchschnitt = Σ (gewichteter Notenwert) / Σ Kurse

b) und wir den Gewichtungsfaktor des Kurses mit einbeziehen:

Abiturdurchschnitt = Σ (gewichteter Notenwert - Gewichtungsfaktor)/ Σ Gewichtungsfaktoren

Das sieht vielleicht ein bisschen überwältigend aus, aber werfen wir mal einen Blick auf ein hypothetisches Zeugnis, dann sollte alles klar sein:

Kurs	Note
Mathe	14
Physik	12
Chemie	11
Englisch	13

1 a) Ungewichteter Notendurchschnitt: Die Schwierigkeit des Kurses und die Gewichtungsfaktoren sind uns egal.

Alle Kurse haben die gleiche Notenskala und den gleichen Gewichtungsfaktor, unabhängig von der Schwierigkeit des Kurses.

Dann können wir den ungewichteten Abiturdurchschnitt wie folgt berechnen:

Abiturdurchschnitt = Σ Notenwert / Σ Kurse

= (14 + 12 + 11 + 13) / 4 = 50 / 4 = 12,5 = Note 2

Hast du bemerkt, dass es sich um einen Standard-Durchschnitt handelt? Du addierst einfach alle Punkte und teilst das Ergebnis durch die Gesamtzahl der Beobachtungen (4 Kurse).

1 b) Ungewichteter Notendurchschnitt: Die Schwierigkeit der Kurse ist uns egal, aber die Gewichtungsfaktoren sind uns nicht egal.

Die Dinge werden noch komplizierter, wenn wir die Gewichtungsfaktoren des Kurses berücksichtigen. Einige Quellen ignorieren den Gewichtungsfaktor des Kurses für die ungewichtete Abinote, andere behalten sie bei. Wenn deine Kurse also einige Gewichtungsfaktoren/Punkte haben, kannst du den gewichteten Durchschnitt aus Noten und Gewichtungsfaktor berechnen (aber das ist immer noch nicht das, was wir normalerweise den gewichteten Abiturdurchschnitt nennen):

Kurs	Gewichtungsfaktor	Note
Mathe	0,5	14
Physik	1	12
Chemie	1	11
Englisch	1	13

Dann wird die Note gleich sein:

Abiturdurchschnitt = Σ (Notenwert - Gewichtungsfaktor) / Σ Gewichtungsfaktoren

= (14 · 0,5 + 12 · 1 + 11 · 1 + 13 · 1) / (0,5 + 1 + 0,5 + 1)

= 43 / 3 = 14,3 = Note 1

Wie du siehst, wird die Note durch die Gewichtung verbessert. Sie kann sich aber auch verschlechtern, wenn vor allem die Kurse mit den schlechteren Noten eine höhere Gewichtung haben.

2 a) Gewichtete Note: Die Schwierigkeit der Kurse ist uns wichtig und die Gewichtungsfaktoren sind uns NICHT wichtig.

Wir können uns noch ein spannendes Beispiel der Notenberechnung in den USA anschauen. Dort können Kurze zusätzlich gewichtet werden nach:

IB-Kurse (International Baccalaureate Courses) werden ebenfalls mit 1 Extrapunkt belohnt;
College-Prep-Kurse können ebenfalls 1 Punkt zu deiner Note hinzufügen; und
Honors Course geben dir meistens 0,5 zusätzliche Punkte (du kannst aber auch Beispiele von Schulen finden, an denen sie mit 1 Punkt belohnt werden).

Zeugnisnote	Perzentile	normaler GPA	Honors Course	LK / IB / College Prep GPA
A+	97-100	4	4,5	5
A	93-96	4	4,5	5
A-	90-92	3,7	4,2	4,7
B+	87-89	3,3	3,8	4,3
B	83-86	3	3,5	4
B-	80-82	2,7	3,2	3,7
C+	77-79	2,3	2,8	3,3
C	73-76	2	2,5	3
C-	70-72	1,7	2,2	2,7
D+	67-69	1,3	1,8	2,3
D	65-66	1	1,5	2
F	Unter 65	0	0	0

Um bei unserem Beispiel zu bleiben, haben unsere vier Klassen jetzt den Kurstyp zugewiesen:

Kurs	Gewichtungsfaktor	Note	Kurstyp	GPA-Skala
Mathe	0.5	A	Eherenkurs	4,5
Physik	1	B+	Regulär	3,3
Chemie	0,5	C+	Regulär	2,3
Englisch	1	A-	LK	4,7

Da es sich bei zwei Kursen nicht um Standardkurse handelt, erhalten sie zusätzliche Punkte (A in Mathe — 4,5 statt 4,0, da es sich um einen Honors Course handelt, A- in Englisch — 4,7 statt 3,7, da es sich um einen Leistungskurs handelt).

Die Formel für die Berechnung des gewichteten GPA lautet:

Gewichteter High School GPA = Σ (gewichteter Notenwert) / Σ Kurse

= (4,5 + 3,3 + 2,3 + 4,7) / 4 = 14,8 / 4 = 3,7 ,

dabei ist der gewichtete Notenwert ein:

Notenwert + 0 für reguläre Kurse;
Notenwert + 0,5 für Honors Course; und
Notenwert + 1 für LK/IB/College Prep Kurse.

Wir haben also die Gewichtungsfaktoren der Kurse weggelassen, aber die Schwierigkeit des Kurses berücksichtigt. Und schließlich haben wir:

2 b) Gewichteter GPA: Wir berücksichtigen die Schwierigkeit des Kurses und den Gewichtungsfaktor des Kurses.

Wenn du also sowohl den Gewichtungsfaktor als auch die Schwierigkeit des Kurses berücksichtigst, lautet das Ergebnis:

Gewichteter High School GPA = Σ (gewichteter Notenwert - Schwierigkeitsfaktor) / Σ Gewichtungsfaktor

= (4,5 · 0,5 + 3,3 · 1 + 2,3 · 0,5 + 4,7 - 1) / (0,5 + 1 + 0,5 + 1) = 11,4 / 3 = 3,8

Das war doch gar nicht so schwer, oder?

Verschiedene Durchschnitte: arithmetisch, geometrisch, harmonisch

Nachdem du nun verstanden hast, was ein gewichteter Durchschnitt ist, können wir verschiedene Durchschnitte miteinander vergleichen. Wir haben für dich eine Tabelle vorbereitet, die alle wichtigen Informationen über vier verschiedene Mittelwerte zusammenfasst:

	Arithmetisches Mittel	Geometrisches Mittel	Harmonisches Mittel	Gewichteter Mittelwert (gewichtetes arithmetisches Mittel)
Definition	Summe der Beobachtungen geteilt durch die Gesamtzahl der Beobachtungen.	Das 'n'te Wurzelprodukt von 'n' Beobachtungen.	Der Kehrwert des arithmetischen Mittelwerts der Kehrwerte des gegebenen Sets von Beobachtungen.	Zahlen multipliziert mit einem Gewicht (basierend auf der relativen Wichtigkeit), summiert, geteilt durch die Summe der Gewichte.
Beispiele:	$A = \frac{4+9}{2} = 6,\!5$	$G = \sqrt{4\cdot9} \\=\sqrt{36}=6$	$H = \frac{2}{\frac{1}{4}+\frac{1}{9}} \approx 5,\!54$	Zusätzliche Infos — Gewichte. $\small{w_1 = 3}$ , $\small{w_2 = 1}$ : $W = \frac{4\cdot3 + 9\cdot1}{4}\\ = 5,\!25$
Anwendungen	Viele verschiedene Bereiche, z. B. Wirtschaft, Physik (z. B. mittlerer freier Weg), Biologie, Geschichte, Alltag und Gesundheit (z. B. mittlerer arterieller Druck).	Wirtschaft (Investitionen, CAGR), Mathematik (Flächeninhalt eines Rechtecks im Verhältnis zur quadratischen Seite, analog zum Volumen), Signalverarbeitung (spektrale Ebenheit, Wahl eines Seitenverhältnisses).	Viele Situationen, in denen es um Raten und Verhältnisse in der Physik geht (z. B., durchschnittsgeschwindigkeit), Durchschnittsmultiplikatoren in der Finanzwelt (z. B. Kurs-Gewinn-Verhältnis)), Geometrie, Chemie und Informatik.	Bildung (Notendurchschnitt, Abschlussnoten, Durchschnittsnoten), Finanzen (z. B. WACC - Weighted Average Cost of Capital).
Beziehung	Arithmetisches Mittel ≥ Geometrisches Mittel ≥ Harmonisches Mittel (für nicht-negative Daten)

Die allgemeinen Formeln für Mittelwerte lauten wie folgt:

Arithmetisches Mittel:

\scriptsize \qquad A = \frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n} = \frac{1}{n}\sum^n_{i=1}a_i

Geometrisches Mittel:

\scriptsize \qquad G \!=\! \sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot\ldots\cdot x_n} \!=\! \left(\prod^n_{i=1}x_i \right)^\frac{1}{n}

Harmonisches Mittel:

\scriptsize \qquad \begin{split} H \!&=\! \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n}} \!=\!\ \frac{n}{\sum\limits^n_{i=1}\frac{1}{x_i}} \\&=\! \left(\frac{\sum\limits^n_{i=1}x_i^{-1}}{n} \right)^{\!\!\!-1} \end{split}

Gewichteter Mittelwert

\scriptsize \bar{x} \!=\! \frac{w_1x_1 + w_2x_2 + \ldots + w_nx_n}{w_1 + w_2 + \ldots + w_n} \!=\! \frac{\sum\limits^n_{i=1}w_ix_i}{\sum\limits^n_{i=1}w_i}

FAQ

Wie berechne ich meinen gewichteten Durchschnitt, wenn meine Kursarbeit 40% ausmacht?

Angenommen, dein Testergebnis trägt 60% zur Gesamtnote bei und die Kursarbeit und die Testergebnisse werden als Bruchteile von 100 ausgedrückt, dann befolge diese Schritte, um den gewichteten Durchschnitt zu berechnen:

Multipliziere die Kursnote mit 2 und die Testnote mit 3.
Addiere die Ergebnisse und teile sie durch die Summe der Gewichtungsfaktoren: 5.

Wie berechne ich den gewichteten Durchschnitt?

Um den gewichteten Durchschnitt zu berechnen, gehst du folgendermaßen vor:

Bestimme die Gewichtungsfaktoren.
Multipliziere jede Zahl mit ihrer Gewichtung.
Addiere alle Ergebnisse aus Schritt 2.
Addiere alle Gewichtungsfaktoren.
Dividiere die Antwort aus Schritt 3 durch die Antwort in Schritt 4.

Wie berechne ich den gewichteten Durchschnitt meiner Einkäufe?

Wenn du drei Produkte in unterschiedlichen Mengen gekauft hast:

5 Packungen Acrylfarbe zu 19,99€;
3 Packungen Pinsel zu 13,99€; und
2 Leinwände zum Preis von 25,00€.

Berechne anhand der folgenden Schritte den gewichteten Durchschnitt deiner Ausgaben:

Multipliziere den Preis mit der Menge:
5 ∙ 19,99 = 99,95€
3 ∙ 13,99 = 41,97€
2 ∙ 25,00 = 50€
Ermittle die Gesamtausgaben:
99,95 + 41,97 + 50 = 191,92€
Ermittle die Anzahl der verkauften Produkte:
5 + 3 + 2 = 10
Ermittle den gewichteten Durchschnitt:
191,92/10 = 19,19€.

Wie hoch ist der gewichtete Durchschnitt der Kosten für meine Schreibwaren?

Angenommen, du hast gekauft:

3 Packungen Bleistifte zu je 5€;
2 Packungen Papier zu je 10,00€; und
5 Packungen Kugelschreiber zu 15,00€.

Dein gewichteter Durchschnitt liegt bei 11€.

Um dies zu berechnen, ermitteln wir den Gesamtbetrag, der ausgegeben wurde, indem wir die folgenden Schritte ausführen:

Finde den ausgegebenen Geldbetrag.
Finde den Gesamtbetrag der gekauften Artikel.
Dividiere die Antwort in Schritt 1 durch die Antwort in Schritt 2.

Mateusz Mucha and Hanna Pamuła, PhD

Values

Weights

Absolute changeAbsolute valueAdding and subtracting fractions… 72 more