Calculadora de Soma de Séries

Com a calculadora de soma de séries da Omni, você pode calcular a soma de uma série geométrica convergente infinita, bem como a soma parcial de uma série aritmética ou geométrica. Essa ferramenta também pode ajudar você a calcular a convergência ou divergência de uma série.

Muitas vezes, queremos calcular a soma 🇺🇸 de uma série e, para fazer isso, é preciso saber primeiro se a série é aritmética ou geométrica. Em uma série aritmética, a diferença entre cada par de termos sucessivos é constante, enquanto em uma série geométrica, a razão entre cada par de termos sucessivos é constante.

Por exemplo, vamos considerar a seguinte série onde os 10 primeiros números são ímpares:
$\footnotesize 1\! +\! 3\! +\! 5\! +\! 7\! +\! 9\! +\! 11\! +\! 13\! +\! 15\! +\! 17\! +\! 19$

Essa é uma série aritmética, pois a diferença entre quaisquer dois pares sucessivos de números é 2. Podemos encontrar a soma usando a seguinte fórmula:

$S_n = \frac{n}{2}\ [2a + (n - 1) d]$,

onde:

• $n$: número de termos;
• $a$: primeiro termo; e
• $d$: diferença comum.

Você também pode usar a fórmula acima para calcular a soma parcial de uma série aritmética infinita. Portanto, no exemplo acima, a soma para 10 termos será:

$S_{10} = \frac{10}{2}\ [2\times1 + (10 - 1)\times2]$

$S_{10} = 100$

Se tivermos uma série geométrica, usaremos uma fórmula diferente para encontrar a soma, que veremos a seguir.

Para saber como encontrar a soma de uma série em progressão geométrica, podemos usar a fórmula da soma finita ou o cálculo da soma infinita. Uma série geométrica pode convergir ou divergir dependendo do valor da razão comum $r$.

Para decidir sobre a convergência ou divergência de uma série geométrica, seguimos a seguinte diretriz com base na razão comum $r$:

• Se $|r| > 1$, então a série geométrica diverge e sua soma para infinitos termos não pode ser determinada;
• Se $|r| < 1$, então a série geométrica converge para uma soma infinita e podemos calcular a soma da série infinita; e
• Se $|r| = 1$, então a série geométrica é periódica e sua soma de termos infinitos não pode ser determinada.

Por outro lado, para calcular a soma parcial de uma série geométrica em um número específico de termos, usaremos a fórmula:

$S_n = \frac{a_1\cdot (1-r^n)}{1-r}$,

onde

• $a_1$: primeiro termo;
• $r$: razão comum; e
• $n$: número de termos.

Para calcular a soma de uma série geométrica convergente, para um número infinito de termos, usaremos a fórmula:

$S = \frac{a}{1 - r}$,

onde:

• $a$: primeiro termo; e
• $r$: razão comum.

Por exemplo, considere a seguinte série geométrica:

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ...$

Aqui, $a = 1$ e $r = \frac{1}{2}$.

Portanto, a soma para um número infinito de termos é:

$S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}}$,

o que nos dá

$S = 2$.

Dessa forma, podemos calcular a soma de uma série geométrica com um número infinito de termos se a razão comum $r$ estiver entre $-1$ e $1$.