Kalkulator gradientu

Witamy w kalkulatorze gradientu. Powiemy ci, jak obliczyć gradient prostej przechodzącej przez dwa punkty. Co to jest gradient? Cóż, jest to nic innego jak nachylenie danego stoku, a nasz kalkulator pozwala je ze sobą porównać! Czytaj dalej, aby poznać matematyczną definicję gradientu.

Jeśli chcesz znaleźć gradient funkcji nieliniowej, zalecamy sprawdzenie kalkulatora średniego tempa zmian 🇺🇸.

Zanim przyjrzymy się, czym jest gradient, omówimy absolutnie kluczową kwestię, jaką jest nachylenie.

Powiedzmy, że zjeżdżasz na nartach na stoku narciarskim. Zauważasz, że czasem poruszasz się z większą prędkością, a czasem z mniejszą — jest to spowodowane różnicą w nachyleniu, czyli matematycznie rzecz ujmując — gradiencie stoku. Jak w takim wypadku obliczyć nachylenie, żeby wiedzieć, z jaką prędkością poruszamy się w danym momencie? Jak wspomnieliśmy powyżej, wszystko czego potrzebujesz to znajomość dwóch wysokości, więc dlaczego nie być trochę egocentrycznym i wybrać siebie jako… cóż, środek, czyli punkt (x₁,y₁) = (0,0) w układzie współrzędnych.

Teraz pozostaje nam znalezienie drugiego punktu, (x₂,y₂), w górę lub w dół stoku. Rozglądasz się, aby znaleźć jakieś szczególnie krzaczaste drzewo. Po namierzeniu odpowiedniego obiektu możemy zmierzyć dystans między nim a miejscem, w którym stoisz. Dystans w linii poziomej to nasze x₂, natomiast różnica wysokości to nasze y₂. Stosunek y₂ / x₂ to szukane nachylenie, czyli gradient.

Nieformalna definicja gradientu jest następująca: jest to matematyczny sposób pomiaru nachylenia danej prostej. Pomyśl o nim jako o liczbie, którą przypisujesz do wzgórza, drogi, ścieżki itp., która mówi ci, ile wysiłku musisz włożyć w pokonanie danego obiektu na rowerze (A po wjechaniu na takie wzniesienie, sprawdź nasz kalkulator spalonych kalorii na rowerze). Jeśli jedziesz pod górę, musisz walczyć, aby wdrapać się na szczyt, więc potrzeba dużej ilości energii. Jeśli jedziesz w dół, nie musisz nawet pedałować, aby nabrać prędkości, więc wysiłek jest w rzeczywistości ujemny. A jeśli jesteś na płaskim terenie, to ani nie pomaga, ani nie utrudnia. Wówczas gradient jest neutralny lub równy zero.

A co jeśli masz do czynienia z pionowym zboczem? Cóż, nie zawsze jest jasne, czy chcesz z niego spaść (co nie wymaga wysiłku), czy wspinać się po nim. Dlatego w tym przypadku gradient jest niezdefiniowany.

Gradient obliczamy w ten sam sposób, w jaki obliczamy nachylenie. Znajdujemy dwa punkty i oznaczamy je współrzędnymi kartezjańskimi (x₁,y₁) i (x₂,y₂). Jest to również notacja używana w naszym kalkulatorze. Zauważ, że użyliśmy tych samych symboli w rzeczywistym przykładzie. Chcemy zobaczyć, jak odnoszą się one do siebie nawzajem, czyli jaki jest między nimi stosunek różnicy wysokości do odległości poziomej. Jest on opisany we wzorze na gradient:

gradient = różnica wysokości / odległość pozioma

Gdzie różnica wysokości = y₂ - y₁ i odległość pozioma = x₂ - x₁. Licznik we wzorze oznacza, o ile wyżej/niżej znajduje się drugi punkt od pierwszego, a mianownik oznacza, jak daleko (w poziomie) znajdują się one od siebie. Więcej informacji na ten temat znajdziesz w dedykowanym kalkulatorze nachylenia prostej 🇺🇸.

Teraz gdy znamy już definicję gradientu, nadszedł czas, aby zobaczyć kalkulator gradientu w akcji i krok po kroku przejść przez sposób jego użycia:

1. Znajdź dwa dowolne punkty na linii, którą chcesz zbadać i znajdź ich współrzędne kartezjańskie. Powiedzmy, że chcemy obliczyć gradient prostej przechodzącej przez punkty (-2,1) i (3,11).

2. Weź współrzędne pierwszego punktu i wprowadź je do kalkulatora jako x₁ i y₁.

3. Zrób to samo z drugim punktem, tym razem jako x₂ i y₂.

4. Kalkulator automatycznie użyje wzoru na gradient i policzy, że wynosi on (11 - 1) / (3 - (-2)) = 2.

5. Ciesz się wiedzą o nachyleniu swojej prostej i powiedz o tym wszystkim znajomym!

Możesz zadać sobie pytanie: „Chwileczkę, czy gradient to nie jest coś podobnego do nachylenia?” Odpowiedź brzmi — tak, są to podobne definicje. Pojęcia odnoszące się do prostej, takie jak nachylenie i gradient, opisują to samo, więc nie martw się, ponieważ nie ma między nimi matematycznej różnicy.

Możesz również zastanawiać się, jaka wartość oznacza, że dany stok staje się naprawdę stromy; to znaczy, co mówi nam uzyskany powyżej wynik, gdzie gradient wynosi 2. Czy to dużo, czy mało? Czy narciarz przerazi się na widok gradientu stoku równego 2? Cóż, wszystko jest kwestią perspektywy i niektórzy mogą powiedzieć jedno, podczas gdy inni powiedzą coś przeciwnego. Jako punkt odniesienia, należy pamiętać, że linia równoległa do horyzontu jest tutaj uważana za neutralną, ponieważ gradient jest równy zeru. Gdy prosta wznosi się (lub opada), staje się coraz bardziej podobna do prostej prostopadłej 🇺🇸 do horyzontu, gdzie nachylenie osiąga nieskończoność, gdy wznosi się (lub minus nieskończoność, gdy opada).