Calcolatore della Deviazione Standard

Creatori

Jasmine J Mah

Traduttori

Rangsimatiti Binda Saichompoo

Environmental matters and supporting sustainability are always the most important aspects of Kat’s goals. Hence, Kat directed her education towards biomaterials, sustainability, and bioeconomy. Despite this major path, psychology, language, and culture are also her other strong fields of interest! Thanks to her Erasmus Joint Master’s degree, learning and adapting to new cultures is a piece of cake. See full profile

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e Agata Flak

Agata Flak

Agata is an aspiring translator and interpreter with a passion for foreign languages and linguistics. She holds a Bachelor’s degree in French and Italian Studies from the University of Manchester. She spent a year studying translation and interpreting in Mons, Belgium. She is currently pursuing her Master’s degree in Translation Studies at the Jagiellonian University in Cracow, specializing in conference interpreting. In her free time, she likes petting her dog and engaging in physical training. See full profile

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Revisori

Bogna Szyk

Bogna is the chief operating officer at Omni Calculator, where she helps keep things running smoothly and ideas moving forward. With a background in civil engineering and a knack for organizing chaos, she brings structure and strategy to everything she does. After hours, you’ll likely find her dancing zouk or crafting the next twist in a D&D campaign. See full profile

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e Jack Bowater

Il calcolatore della deviazione standard ti mostra come si calcola la media e la deviazione standard di un insieme di dati. Se stai imparando la statistica, è essenziale imparare come si trova la deviazione standard perché è molto utilizzata.

Ti piaceranno queste caratteristiche speciali del nostro calcolatore della deviazione standard:

Funziona come calcolatore della deviazione standard di una popolazione o di un campione.
Ti mostra i passaggi per una facile comprensione.
È eccellente come strumento di apprendimento o come calcolatore per piccoli insiemi di dati.
La definizione e la formula della deviazione standard sono spiegate di seguito.

Continua a leggere per iniziare!

Che cos'è la deviazione standard?

La deviazione standard è una misura della variabilità di un insieme di dati. In altre parole, la deviazione standard descrive la "dispersione" dei dati intorno alla media. Questo calcolatore si occupa di punti di dati separati, ma abbiamo anche un calcolatore della deviazione standard dei dati raggruppati 🇺🇸 dedicato ai dati raggruppati.

Una deviazione standard elevata indica che un set di dati è più distribuito.

Una deviazione standard bassa indica che i dati sono più raggruppati intorno alla media o meno distribuiti.

Riesci a immaginare l'aspetto di una deviazione standard? Sebbene sia possibile calcolare la deviazione standard per qualsiasi serie di dati, può essere utile visualizzare la deviazione standard per i dati a distribuzione normale standardizzata. La regola empirica afferma che per qualsiasi serie di dati che si avvicina a una distribuzione normale standardizzata, circa il 68% dei dati rientrerà in una deviazione standard dalla media, come mostrato nella figura seguente.

Non solo la deviazione standard è una misura di variazione molto utilizzata, ma costituisce la base di altri strumenti che caratterizzano la variazione, tra cui le quantità calcolate dal calcolatore della deviazione standard relativa 🇺🇸 e dal calcolatore per l'intervallo di confidenza.

Vuoi saperne di più? Leggi il nostro articolo sulle differenze tra l'intervallo di confidenza e la deviazione standard*.

Formula della deviazione standard

La definizione matematica di deviazione standard (σ) è la radice quadrata positiva della varianza ( $\sigma^2$ ):

\mathrm{Varianza} = \sigma^2 \\ \mathrm{Deviazione\ standard} = \sqrt{\sigma^2} = \sigma

L'equazione della deviazione standard sembra semplice, ma come si calcola la varianza?

La varianza è definita come la differenza media al quadrato dalla media per tutti i punti dati. Si scrive come:

\sigma^2 = \frac{1}{N}\displaystyle\sum_{i}^N (x_i - \mu)^2

dove:

$\sigma^2$ – Varianza;
$\mu$ – Media; e
$x_i$ – L'i^esimo punto dati su $N$ punti dati totali.

Puoi calcolare la varianza in tre passi:

Trova le differenze tra la media e ciascuno dei punti dati. Usa la formula:
$x_i - \mu$
Eleva queste differenze al quadrato:
$(x_i - \mu)^2$
Trova la media dei valori ottenuti al punto 2:
$\frac{1}{N}\sum (x_i - \mu)^2$
Questa è la varianza per i dati della popolazione. Nota che questo passaggio è leggermente diverso per i dati campionari (vedi la prossima sezione).

Ora ricordiamo che la deviazione standard è la radice quadrata (positiva) della varianza, quindi l'equazione completa della deviazione standard (per i dati della popolazione) diventa:

\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\displaystyle\sum_{i}^N (x_i - \mu)^2}

Formula della deviazione standard del campione vs. della popolazione

In molti esperimenti scientifici, per motivi pratici, viene misurato solo un campione di una popolazione. Questo campione ci permette di fare inferenze sulla popolazione. Tuttavia, quando i dati del campione vengono utilizzati per stimare la varianza di una popolazione, la formula $\sigma^2 = \frac{1}{N}\sum (x_i - \mu)^2$ sottostima la varianza della popolazione.

Per evitare di sottostimare la varianza di una popolazione (e di conseguenza la deviazione standard), sostituiamo $N$ con $N - 1$ nelle formule della varianza e della deviazione standard, quando si utilizzano dati campionari. Questa correzione è nota come correzione di Bessel.

La formula della varianza campionaria diventa:

s^2 = \frac{1}{N-1}\sum (x_i - \={x})^2

e la formula della deviazione standard completa diventa:

s = \sqrt{\frac{1}{N-1}\sum (x_i - \={x})^2}

dove:

$s^2$ – Stima della varianza;
$s$ – Stima della deviazione standard; e
$\={x}$ – Media del campione.

💡 Vuoi saperne di più? Consulta il nostro articolo: "Varianza e Deviazione Standard a Confronto: Capire la Differenza"*.

Esempio di calcolo

Supponiamo di avere il seguente campione di dati: 2, 4, 5, 6, 6, 9, 10. Come si calcola la deviazione standard? Segui questi passaggi:

1. Calcola la media

Per calcolare la media (x̄), dividi la somma di tutti i numeri per il numero di punti dati:
$\={x} = \frac{2 + 4 + 5 + 6 + 6 + 9 + 10}{7} = 6$ .

2. Calcola il quadrato delle differenze tra la media e ciascun punto dati

Ora che conosciamo la media (x̄ = 6), calcoleremo di quanto ciascun valore dista dalla media e eleveremo questi risultati al quadrato:
$(x_i - \={x})^2$ .

Per il primo valore, 2, il calcolo sarà il seguente:
$(2-6)^2 = (-4)^2 = 16$ .

Ecco una tabella con tutti i quadrati delle differenze:

x_i	(x_i - x̄)²
2	16
4	4
5	1
6	0
6	0
9	9
10	16

3. Calcola la varianza e la deviazione standard

Dal momento che stiamo utilizzando dati campionari, calcoliamo la varianza utilizzando l'equazione della varianza campionaria e i quadrati delle differenze rispetto alla media che abbiamo trovato nel passaggio 2:

$s^2 = \frac{1}{N-1}\sum (x_i - \={x})^2$ ,
che dà
$s^2 = \frac{16 + 4 + 1 + 0 + 0 + 9 + 16}{7 - 1} = 7,\!6667$ .

La deviazione standard (s) è la radice quadrata della varianza, quindi il nostro passo finale è:

$s = \sqrt{7,\!6667} = 2,\!7689$ .

La deviazione standard del campione di dati è 2,8. Ora che sai come si trova la deviazione standard, prova a calcolarla a mano e verifica la tua risposta con il nostro calcolatore!

🔎 Lo sapevi? La deviazione standard è una delle misure della dispersione 🇺🇸 e del coefficiente di dispersione, concetti che ci aiutano a comprendere la diffusione dei nostri dati.

Come utilizzare il calcolatore della deviazione standard

L'utilizzo del nostro calcolatore della deviazione standard è facile e intuitivo. Devi solo seguire i passaggi qui sotto:

Inserisci il tuo insieme di dati. Puoi aggiungere fino a 30 valori per l'insieme di dati.
Scegli tra campione e popolazione nella configurazione delle impostazioni. Quindi, puoi definire se desideri trovare la deviazione standard del campione o della popolazione.
Controlla i risultati. Il nostro strumento fornisce anche un calcolo passo-passo della deviazione standard per il tuo insieme di dati.

Come si trova la deviazione standard a mano?

Se stai calcolando la deviazione standard utilizzando una calcolatrice, esiste una formula più semplice da usare per calcolare la varianza. Questa formula alternativa è matematicamente equivalente ma più facile da calcolare con una calcolatrice.

La formula più semplice da digitare per la varianza di una popolazione è:

\sigma^2 = \frac{\sum(x_i^2) - (\sum x_i)^2}{N}

Invece ecco quella per la varianza di un campione è:

s^2 = \frac{\sum(x_i^2) - (\sum x_i)^2}{N-1}

Per trovare la deviazione standard, devi prima calcolare la varianza utilizzando uno dei due calcoli precedenti. Poi, la deviazione standard sarebbe la radice quadrata della varianza.

Ad esempio, con un campione di dati di 1, 2, 4, 6, il calcolo per la varianza del campione sarebbe:
$\sum(x_i^2) = (1^2 + 2^2 + 4^2 + 6^2) = 57$
$(\sum x_i)^2 = \frac{(1 + 2 + 4 + 6)^2}{4} = \frac{169}{4} = 42,\!25$

che dà

$\sigma^2 = \frac{57 - 42,\!25}{4-1} = 4,\!9167$ .

La deviazione standard sarebbe quindi la radice quadrata della varianza:

$\sqrt{4,\!9167} \approx 2,\!2$

Adesso provaci tu, poi controlla la tua risposta con il nostro calcolatore della deviazione standard!

*Articoli disponibili in inglese

Riepilogo delle variabili e delle equazioni

Tabella 1. Variabili per i dati di una popolazione

Variabile	Simbolo	Equazione
Numero di osservazioni	$N$
Media della popolazione	$\mu$	$\frac{1}{N}\sum x_i$
Somma dei quadrati	$\mathrm{SS}$	$\sum(x_i - \mu)^2$
Varianza	$\sigma^2$	$\frac{\mathrm{SS}}{N}$
Deviazione standard	$\sigma$	$\sqrt{\sigma^2}$

Tabella 2. Variabili per i dati di un campione

Variabile	Simbolo	Equazione
Media del campione	$\={x}$	$\frac{1}{N}\sum x_i$
Somma dei quadrati	$\mathrm{SS}$	$\sum (x_i - \={x})^2$
Varianza del campione	$s^2$	$\frac{SS}{N-1}$
Deviazione standard	$s$	$\sqrt{s^2}$

Calcolatore della Deviazione Standard

Che cos'è la deviazione standard?

Formula della deviazione standard

Formula della deviazione standard del campione vs. della popolazione

Esempio di calcolo

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