Calcolatore per il Vertice della Parabola

Questo è il calcolatore per il vertice della parabola (nota anche come calcolatore dei vertici o anche calcolatore per trovare i vertici). Se vuoi sapere come si trova il vertice di una parabola, questo è il posto giusto da cui iniziare. Inoltre, il nostro strumento ti insegna quale sia la forma del vertice di un'equazione quadratica e come ricavare l'equazione della forma del vertice o l'equazione del vertice stessa.

E non finisce qui! Questo calcolatore ti aiuta anche a convertire dalla forma standard alla forma del vertice di una parabola, e viceversa, in un batter d'occhio!

Il vertice di una parabola è un punto che rappresenta il valore estremo di una curva quadratica. La parte quadratica è dovuta dal fatto che la potenza più significativa della nostra variabile (x) è due. Il vertice può essere un minimo (per una parabola che si apre verso l'alto) o un massimo (per una parabola che si apre verso il basso).

In alternativa, possiamo dire che il vertice è l'intersezione della parabola con il suo asse di simmetria.

In genere, indichiamo il vertice come un punto P(h, k), dove h sta per la coordinata x e k indica la coordinata y.

Questo è sufficiente per quanto riguarda le definizioni. Ma come si trova il vertice di una funzione quadratica? Potrebbe essere una sorpresa, ma non abbiamo bisogno di calcolare alcuna radice quadrata per farlo!

Ogni volta che ci troviamo di fronte alla forma standard di una parabola y = a·x² + b·x + c, possiamo utilizzare le equazioni delle coordinate del vertice:

h = -b/(2a),

k = c - b²/(4a).

Sapendo come trovare questi rapporti 🇺🇸, possiamo fare un ulteriore passo avanti e chiederci — Qual è la forma del vertice di una parabola?

Intuitivamente, la forma del vertice di una parabola è quella che include i dettagli del vertice. Possiamo scrivere l'equazione della forma del vertice come:

y = a·(x-h)² + k.

Come puoi vedere, per scrivere una forma quadratica al vertice dobbiamo conoscere tre parametri. Uno di questi è a, lo stesso della forma standard. Ci dice se la parabola si apre verso l'alto (a > 0) o verso il basso (a < 0). Il parametro a non può mai essere uguale a zero per una forma dei vertici di una parabola (o per qualsiasi altra forma, in senso stretto).

I parametri rimanenti, h e k, sono le componenti del vertice. È da qui che prende il nome l'equazione della forma del vertice.

Inoltre, vale la pena ricordare che è possibile disegnare il grafico di una funzione quadratica avendo solo il parametro a e il vertice.

Se vuoi convertire un'equazione quadratica dalla forma standard alla forma del vertice, puoi utilizzare il metodo del completamento del quadrato (puoi leggere di più a riguardo nel nostro calcolatore per il completamento del quadrato 🇺🇸). Vediamo come funziona questo metodo nel nostro contesto attuale.

Per convertire la forma standard y = ax² + bx + c in forma del vertice:

1. Estrai a dai primi due termini: y = a[x² + (b/a)x] + c;

2. Aggiungi e sottrai (b/(2a))² all'interno delle parentesi: y = a[x² + (b/a)x + (b/(2a))² - (b/(2a))²] + c;

3. Usa la formula della moltiplicazione breve: y = a[(x + b/(2a))² - (b/(2a))²] + c;

4. Espandi le parentesi: y = a(x + b/(2a))² - b²/(4a) + c; e

5. Questa è la tua forma del vertice con h = -b/(2a) e k = c - b²/(4a).

Questo è un modo per convertire la forma dei vertici da quella standard. Il secondo (e più veloce) consiste nell'utilizzare il nostro calcolatore per la forma dei vertici, un metodo che consigliamo vivamente! È sufficiente digitare i parametri a, b e c. Il risultato apparirà immediatamente nella parte inferiore del calcolatore.

Il nostro calcolatore per il vertice può funzionare anche al contrario, trovando la forma standard di una parabola. Se vuoi sapere come farlo a mano utilizzando l'equazione della forma del vertice, ti daremo la ricetta nella prossima sezione.

Per convertire una parabola dai vertici alla forma standard:

1. Scrivi l'equazione della parabola nella forma del vertice:

   y = a(x-h)² + k.

2. Espandi l'espressione tra parentesi:

   y = a(x² - 2hx + h²) + k.

3. Moltiplica i termini tra parentesi per a:

   y = ax² - 2ahx + ah² + k.

4. Confronta il risultato con la forma standard di una parabola:

   y = ax² + bx + c.

5. Hai trovato la forma standard! I suoi parametri sono b = -2·a·h, c = a·h² + k.

Ci sono due approcci che puoi seguire per utilizzare il nostro calcolatore per il vertice della parabola:

• La prima possibilità è quella di utilizzare la forma del vertice di un'equazione quadratica.

• La seconda opzione è quella di trovare la soluzione passando dalla forma standard alla forma del vertice.

Quest'ultima è già stata descritta in una delle sezioni precedenti. Vediamo cosa succede per la prima:

• Digita i valori del parametro a e le coordinate del vertice, h e k. Che siano a = 0,25, h = -17, k = -54;

• Tutto qui! Di conseguenza, puoi vedere il grafico della tua funzione quadratica, insieme ai punti che indicano il vertice, l'intercetta y e gli zeri.

Sotto il grafico, puoi trovare le descrizioni dettagliate:

• Sia il vertice sia la forma standard della parabola: y = 0,25(x + 17)² - 54 e y = 0,25x² + 8,5x + 18,25 rispettivamente;

• Il vertice: P = (-17, -54);

• L'intercetta della y: Y = (0, 18,25);

• I valori degli zeri: X₁ = (-31,6969, 0), X₂ = (-2,3031, 0). Se questo ti incuriosisce, arrotondiamo il risultato con una precisione di quattro cifre decimali.

Se conosci i parametri a, b e c dalla forma standard di una parabola, puoi trovare le coordinate del vertice h e k utilizzando le formule:

• h = -b/(2a); e
• k = c - b²/(4a).

In alternativa, puoi valutare il valore della parabola in corrispondenza dell'argomento h, cioè k = ah² + bh + c.

La forma del vertice è y = a(x - 2)² + 5, dove a è lo stesso parametro non nullo della forma standard. Per ogni valore di a, si ottiene una parabola diversa, quindi è necessario specificare a per ottenere un risultato certo.