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Calcolatore per Ottagoni

Indice

Definizione di ottagono — quanti lati ha un ottagono?Angoli dell'ottagono — cos'è un ottagono?Area di un ottagono — come si trova l'area di un ottagono regolare?Diagonali di un ottagono regolareRaggio circoscritto e inscrittoForma dell'ottagono — come si disegna un ottagono?Come usare il calcolatore per ottagoniOttagoni nella vita reale — La casa ottagonaleAltri usi pratici degli ottagoni — tessere ottagonali e aperture della fotocameraFAQ

Eccoti qui nel calcolatore per ottagoni, lo strumento completo per tutto ciò che è ottangolare. Qui troverai un ottimo strumento per calcolare le diagonali, il perimetro, la circonferenza, il raggio inscritto e l'area di un ottagono regolare. In questo calcolatore per l'area degli ottagoni troverai anche le risposte a queste domande — cos'è un ottagono, quanti lati ha un ottagono, come trovare l'area di un ottagono regolare e come disegnare un ottagono.

Ripasseremo la definizione di ottagono, discuteremo degli angoli dell'ottagono e di come influiscono sulla forma dell'ottagono. Inoltre, vedremo alcuni esempi di ottagoni del mondo reale tra cui piastrelle ottagonali, pavimenti e la celebre "Casa ottagonale".

Definizione di ottagono — quanti lati ha un ottagono?

La definizione standard di ottagono è come segue — "Un ottagono è un poligono con 8 lati che delimita un'area chiusa". Chiunque abbia una conoscenza di base del greco dovrebbe essere in grado di rispondere comodamente alla domanda "quanti lati ha un ottagono?" senza alcuna nozione di matematica. Dato che "Octo-" in greco significa otto, viene spontaneo pensare che un ottagono abbia otto lati.

Quanti lati ha un ottagono? 8 lati, secondo la definizione di ottagono
Fonte: Wikimedia

Ci addentreremo un po' di più nell'origine greca della forma dell'ottagono quando parleremo degli angoli dell'ottagono, ma, per il momento, limitiamoci ai lati dell'ottagono. Se qualcuno chiede — "Quanti lati ha un ottagono?", la risposta è sempre la stessa, ma se si chiede la lunghezza di questi lati, non possiamo dare una sola risposta. Ogni lato di un ottagono può avere lunghezze diverse e rimanere comunque un ottagono — non ci sono restrizioni in questo senso. Tuttavia, quando tutti gli angoli interni e le lunghezze dei lati di un ottagono sono uguali, viene chiamato ottagono regolare e ha delle proprietà speciali, come vedremo nelle prossime sezioni.

Angoli dell'ottagono — cos'è un ottagono?

Se guardiamo all'origine della parola "Ottagono", essa deriva dal greco e significa "otto angoli". Il risultato è un poligono composto da otto vertici uniti da otto linee rette. Gli otto lati sono una conseguenza necessaria della presenza di otto angoli. In realtà, la definizione standard di ottagono definisce l'ottagono come avente otto lati piuttosto che otto angoli, ma sai già che entrambe le definizioni sono praticamente uguali. Quindi alla domanda "che cos'è un ottagono?" si può rispondere correttamente dicendo anche — "Un poligono con otto lati" e "Un poligono con otto angoli".

Angoli e proprietà degli ottagoni

Mentre i lati di un ottagono possono avere quasi tutte le lunghezze, gli angoli dell'ottagono sono limitati. Non c'è una restrizione imposta su ogni angolo, ma sulla loro somma. Questa restrizione è geometrica poiché sarebbe impossibile unire tutti gli otto lati senza seguire questa regola. Per qualsiasi ottagono, la somma di tutti gli angoli interni è sempre 1080°.

Ciò significa che un ottagono regolare avrà angoli interni esattamente di 1080°/8 = 135° (se preferisci altre unità di misura, usa pure il nostro convertitore di angoli 🇺🇸). A nostro avviso, un ottagono regolare è molto più bello di tutti gli altri ottagoni. Più avanti nel testo vedremo come trovare l'area di un ottagono e i trucchi associati a un ottagono regolare.

Area di un ottagono — come si trova l'area di un ottagono regolare?

Se vuoi sapere come trovare l'area di un ottagono regolare a mano, la procedura più semplice è quella di applicare la formula standard per l'area di un poligono regolare. La formula è la seguente:

Area di un poligono regolare = perimetro × apotema / 2,

dove l'apotema è la distanza tra il centro del poligono e il punto medio di un lato.

💡 Possiamo calcolare il perimetro in diversi modi — sommando la lunghezza di ogni lato, moltiplicando la lunghezza di un lato per il numero di lati o, se svolgere calcoli ti stufa, puoi anche usare il nostro calcolatore per il perimetro di un poligono 🇺🇸.

Ottagono regolare
Fonte: Wikimedia

Il trucco per ricordare questa formula è capire da dove deriva. Se guardi l'apotema, puoi vedere che è l'altezza di un triangolo fatto prendendo una linea dai vertici del poligono o dell'ottagono al centro di esso. Il triangolo risultante è quello che viene chiamato triangolo isoscele e la sua area è:

Area del triangolo = base × altezza / 2,

come abbiamo spiegato nel calcolatore per l'area del triangolo. Nota che la base del triangolo è la lunghezza di un lato dell'ottagono. Poiché esistono tanti triangoli quanti sono i lati del poligono (otto per un ottagono), devi moltiplicare l'area di questo triangolo per il numero di lati. Otterrai così l'area totale dell'ottagono:

Area dell'ottagono = 8 × base × altezza / 2 = perimetro × apotema / 2.

Questi trucchi funzionano per qualsiasi poligono, ad esempio gli esagoni e qualsiasi altro poligono ti venga in mente, purché sia regolare. Oltre all'uso dei triangoli, ci sono altri trucchi che puoi utilizzare per calcolare l'area di un ottagono se non ricordi la formula, ma non funzionano per altri poligoni. Ad esempio, se immagini un ottagono all'interno di un quadrato, puoi vedere che la differenza è solo di quattro triangoli rettangoli. Potresti chiederti — "Come si trova l'area di un ottagono regolare con queste informazioni?". Beh, è molto semplice:

  1. Calcola l'area del quadrato (il lato è 2 × apotema);
  2. Calcola i lati dei triangoli rettangoli utilizzando il calcolatore per triangoli rettangoli speciali;
  3. Sottrai l'area di un triangolo rettangolo quattro volte dall'area del quadrato; e
  4. Goditi il successo!
Ottagono nel quadrato
Fonte: Wikimedia

In alternativa, puoi usare questo trucco. Se organizzi correttamente i triangoli rettangoli, puoi costruire un quadrato da tutti e quattro. In questo caso, l'ipotenusa è anche il lato dell'ottagono. A questo punto puoi calcolare l'area del parallelogramma che hai appena creato con i quattro triangoli rettangoli e sottrarla dall'area del quadrato grande.

Oltre a questo, puoi essere ancora più creativo. Ad esempio, immagina che l'ottagono sia composto da un rettangolo con due trapezi, uno sopra e uno sotto il rettangolo. In questo caso, sarà molto più facile calcolare l'area poiché dovrai solo sommare l'area del rettangolo più il doppio dell'area di uno dei trapezi, dato che entrambi i trapezi sono uguali.

Diagonali di un ottagono regolare

In totale, un ottagono ha 20 diagonali — le più lunghe si trovano sugli assi di simmetria e si incontrano nel punto centrale, O, che è anche l'origine della simmetria. Esistono tre tipi di diagonali (guarda l'immagine qui sopra nella sezione "Area di un ottagono" come riferimento):

  • Diagonali corte, ad esempio AG, FH o CE;
  • Diagonali medie, come AF o BE (chiamate anche altezza dell'ottagono); e
  • Diagonali lunghe, ad esempio AE o BF.

Puoi ricavare la formula per ognuna di esse con facilità utilizzando i principi base della geometria. Ecco le formule per la lunghezza delle diagonali:

  • Diagonale corta s = a × √(2 + √2);
  • Diagonale media m = a × (1 + √2); e
  • Diagonale lunga l = a × √(4 + 2√2).

Se sei di fretta, usa il calcolatore per ottagoni.

Raggio circoscritto e inscritto

Dovremmo anche parlare del raggio circoscritto e inscritto. Il nostro calcolatore per l'area dell'ottagono è in grado di trovare i raggi dei cerchi circoscritti e inscritti.

Puoi notare che quello circoscritto è semplicemente la metà della lunghezza della diagonale più lunga:

  • R = l/2 = a / 2 × √(4 + 2√2).

Allo stesso modo, quello inscritto è uguale all'apotema, che è semplicemente la metà dell'altezza dell'ottagono:

  • r = m/2 = a/2 × (1 + √2).

Forma dell'ottagono — come si disegna un ottagono?

All'inizio potrebbe sembrare facile disegnare un ottagono e, in linea di principio, lo è. Basta disegnare una qualsiasi forma con otto lati dritti e il gioco è fatto. Ma in genere non si vuole disegnare un ottagono qualsiasi, bensì un ottagono regolare, perché è la forma di ottagono che viene in mente per prima. Vediamo quindi come disegnare un ottagono nel modo più regolare e semplice possibile.

Il modo più preciso sarebbe quello di utilizzare strumenti di disegno adeguati e iniziare a disegnare la forma regolare dell'ottagono un lato alla volta, unendoli con i corrispondenti angoli regolari di 135°. Ma non tutti hanno a disposizione questi strumenti, quindi non è un metodo molto pratico. Per ottenere la forma di ottagono che stiamo cercando, è meglio iniziare dalla sua circonferenza, che può essere disegnata a mano (ma non è consigliabile) o utilizzando un bicchiere, una tazza o addirittura una moneta.

Come si disegna un ottagono? Usa la tua immaginazione

Una volta disegnata la circonferenza, inizia a dividere a metà l'area del cerchio corrispondente. Per prima cosa, segna i due semicerchi. Poi, dividili di nuovo a metà e otterrai quattro quarti di cerchio. Dimezza ancora una volta e otterrai otto ottavi di cerchio. Ora possiamo prendere i punti di divisione lungo la circonferenza e unire quelli adiacenti con una linea retta. Il risultato è un ottagono perfettamente regolare, al limite dell'errore umano che puoi commettere durante il disegno e la divisione.

Un altro trucco per disegnare un ottagono è quello di cui abbiamo già parlato quando abbiamo imparato a trovare l'area di un ottagono con i quadrati. Inizia disegnando un grande quadrato e poi "taglia" i suoi angoli. Il termine matematico per questa procedura è troncare il quadrato. Se lo fai bene, otterrai una forma regolare di ottagono. Questo metodo non è preciso come il precedente, ma è più facile da eseguire senza alcuno strumento.

Come usare il calcolatore per ottagoni

L'utilizzo del calcolatore per ottagoni non è troppo complicato, ma nel caso in cui qualcuno avesse dei dubbi e per completezza, esaminiamo le caratteristiche e gli usi di questo calcolatore per ottagoni. Prima di tutto, dobbiamo esaminare i diversi campi e il loro significato:

  • Lunghezza del lato — È la lunghezza di ogni lato dell'ottagono regolare;

  • Perimetro — Somma della lunghezza di tutti i lati dell'ottagono;

  • Area — Spazio racchiuso dall'ottagono stesso;

  • Diagonale più lunga — Lunghezza del segmento che unisce i due vertici più lontani;

  • Diagonale media — Lunghezza del segmento che unisce tra di loro 2 vertici;

  • Diagonale più corta — Lunghezza della linea che unisce 2 vertici con 1 vertice in mezzo;

  • Raggio circoscritto — Raggio della circonferenza che contiene tutti gli 8 vertici dell'ottagono regolare; e

  • Raggio inscritto — Raggio della circonferenza più piccola che è tangente a tutti gli 8 lati.

Ora che conosci il significato di ogni parametro, è il momento di vedere come utilizzare il calcolatore per ottagoni per ottenere facilmente i valori che stai cercando. La caratteristica migliore di questo calcolatore è che richiede un solo parametro per calcolare il resto dei valori. Questa innovazione rende il calcolatore per ottagoni il metodo più veloce per calcolare le proprietà di un ottagono con un margine significativo.

Ottagoni nella vita reale — La casa ottagonale

Finora abbiamo parlato della definizione di ottagono e di come disegnare un ottagono. Abbiamo visto immagini di ottagoni e abbiamo anche risposto alla domanda (ormai ovvia) di quanti lati ha un ottagono. Ora è arrivato il momento di vedere come gli ottagoni vengono utilizzati nella vita reale. La forma dell'ottagono è più facile da produrre e da utilizzare nei progetti rispetto al cerchio, grazie ai lati piatti e ai suoi angoli. Spesso si trovano piastrelle ottagonali per il pavimento oppure il bagno. Esistono anche case a forma ottagonale, come la famosa "Casa Ottagonale".

La famosa casa ottagonale

La casa ottagonale è stata costruita a Washington D.C., negli Stati Uniti, per il colonnello John Tayloe III. Per questo motivo è nota anche come La casa di Colonel John Tayloe III. Segue la "tradizione" americana di assegnare agli edifici il nome della loro forma, come hanno fatto con il Pentagono. Il Pentagono è la sede del Dipartimento della Difesa degli Stati Uniti ed è stato costruito a forma di pentagono regolare.

La casa ottagonale presenta molte interessanti caratteristiche architettoniche, come una scala di servizio triangolare, una scala ovale più grande e l'evidente forma ottagonale dell'edificio. Oltre a queste caratteristiche uniche, diverse storie di fantasmi circondano la casa, in parte perché il proprietario era una figura importante della storia americana.

Esistono esempi di elementi architettonici anche in Italia, come "Il Cortile ottagonale di Casa Rossi" e Castel del Monte costruito nel 1240 e posseduto da Federico II di Svevia.

Altri usi pratici degli ottagoni — tessere ottagonali e aperture della fotocamera

Come ogni poligono regolare, la forma dell'ottagono si rivela utile in molte applicazioni diverse. Abbiamo già parlato della costruzione di case a forma ottagonale e, rimanendo in tema di edifici, gli ottagoni sono particolarmente apprezzati quando si tratta di pavimenti, soprattutto sotto forma di piastrelle ottagonali. La forma di un ottagono regolare ci permette di combinare piastrelle ottagonali e piastrelle quadrate per riempire completamente il pavimento di qualsiasi stanza, indipendentemente dalla sua metratura.

Utilizzando un motivo diverso per ogni tipo di piastrella o utilizzando colori diversi, queste combinazioni ti permetteranno di creare un bellissimo pavimento per la tua cucina o il tuo bagno.

Apertura ottagonale in una fotocamera
Fonte: Wikimedia

Un altro interessante utilizzo degli ottagoni è all'interno delle fotocamere. In particolare, l'otturatore protegge il sensore dall'esposizione alla luce quando la fotocamera non viene utilizzata. Questo otturatore, o diaframma, è sempre realizzato seguendo una forma poligonale regolare, compresa quella dell'ottagono. Puoi saperne di più sull'apertura del diaframma e su come giocarci per ottenere immagini dall'aspetto più professionale con il nostro calcolatore per l'area del diaframma 🇺🇸.

Prima che tu vada a controllare il calcolatore, vogliamo darti un rapido suggerimento. Quando vedi una foto di una fonte luminosa, potresti aver notato che sembra una stella con un numero diverso di bracci appuntiti, a seconda della fotocamera. Questa osservazione è la chiave per capire se la tua fotocamera ha un'apertura a ottagono o meno — il numero di braccia appuntite è esattamente uguale al numero di lati del poligono che costituisce l'apertura. E quanti lati ha un ottagono? Esatto! Quindi basta cercare le "forme a stella" con 8 braccia appuntite e saprai che questa foto è stata scattata con un'apertura ottagonale. Funziona sempre — si tratta di fisica e, più precisamente, di uno schema di diffrazione.

FAQ

Quali sono gli ottagoni concavi e convessi?

Un ottagono convesso ha tutti i suoi angoli interni inferiori a 180°. Un ottagono concavo ha almeno un angolo interno maggiore di 180°. Un ottagono regolare è un ottagono convesso, poiché tutti i suoi angoli sono di 135°.

Qual è la somma degli angoli di un ottagono?

La somma degli angoli di un ottagono è 1080°. La somma degli angoli interni di un poligono con n lati è sempre (n - 2) × 180°. Quindi, la somma degli angoli di un ottagono è (8 - 2) × 180° = 1080°.

Come si calcola l'area di un ottagono di lato 5 cm?

La formula che stima l'area di un ottagono regolare è A = 2 × (1+√2) × a2, dove a è la lunghezza del lato. Quindi, il tuo ottagono con un lato lungo 5 cm ha un'area di 2 × (1+√2) × 52 = 120,71 cm2.

Qual è la lunghezza massima del lato di un ottagono regolare creato con un foglio A4?

La formula per calcolare la lunghezza del lato, a, utilizzando il diametro, d, è a = d × sin α, dove α è l'angolo di vertice del triangolo isoscele.
Le dimensioni di foglio A4 sono 21 cm × 29,7 cm. Quindi, possiamo tagliare un quadrato di lunghezza massima 21 × 2 cm. Quindi, il diametro massimo dell'ottagono, d, è di 21 cm. Quindi, la lunghezza del lato = 21 cm × sin 45° = 14,8 cm.

Images showing a labelled octagon

A labelled octagon.

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