Calcolatore per la Progressione Aritmetica

Questo calcolatore per la progressione aritmetica (chiamato anche calcolatore per la sequenza aritmetica) è un pratico strumento per analizzare una sequenza di numeri creata aggiungendo ogni volta un valore costante. Puoi usarla per trovare qualsiasi proprietà della sequenza — il primo termine, la differenza comune, il termine n^esimo o la somma dei primi n termini. Puoi iniziare subito a usarlo o continuare a leggere per scoprire come funziona.

In questo articolo, spieghiamo la definizione di progressione aritmetica, chiariamo l'equazione della sequenza utilizzata dal calcolatore, e ti forniamo il calcolatore per trovare le serie aritmetiche (somma di una progressione aritmetica). Forniamo anche una panoramica delle differenze tra progressioni aritmetiche e geometriche e un esempio facile da capire di applicazione del nostro strumento.

Per rispondere a questa domanda, devi prima sapere cosa significa il termine progressione. Per definizione, una progressione in matematica è una collezione di oggetti, come numeri o lettere, che si susseguono in un ordine specifico. Questi oggetti sono chiamati elementi o termini della sequenza. È abbastanza comune che lo stesso oggetto compaia più volte in una progressione o sequenza.

Anche una progressione aritmetica è un insieme di oggetti, nello specifico di numeri. Ogni numero consecutivo viene creato aggiungendo un numero costante (chiamato differenza comune) a quello precedente. Una progressione di questo tipo può essere finita quando ha un determinato numero di termini (ad esempio 20), oppure infinita se non si specifica il numero di termini.

Ogni progressione aritmetica è definita in modo univoco da due coefficienti — la differenza comune e il primo termine. Se conosci questi due valori, puoi scrivere l'intera progressione.

Quando inizierai ad approfondire l'argomento "Che cos'è una progressione aritmetica?", è probabile che incontrerai un po' di confusione. Questo accade a causa delle diverse convenzioni di denominazione in uso.

Due dei termini più comuni che puoi incontrare sono progressione aritmetica e serie. La prima viene spesso chiamata anche sequenza aritmetica, mentre la seconda viene chiamata anche somma parziale.

La differenza principale tra progressione e serie è che, per definizione, una progressione aritmetica è semplicemente l'insieme dei numeri creati aggiungendo ogni volta la differenza comune. La serie aritmetica, invece, è la somma di n termini di una progressione. Ad esempio, puoi indicare la somma dei primi 12 termini con $S_{12} = a_1 + a_2 + ... + a_{12}$.

Alcuni esempi di progressione aritmetica sono:

• $3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, ..$
• $6, 3, 0, -3, -6, -9, -12, -15, ..$
• $50, 50,\!1, 50,\!2, 50,\!3, 50,\!4, 50,\!5, ..$

Riesci a trovare la differenza comune di ognuna di queste progressioni? Suggerimento — prova a sottrarre un termine dal termine successivo.

Sulla base di questi esempi di progressione aritmetiche, puoi osservare che la differenza comune non deve necessariamente essere un numero naturale — può essere una frazione. Anzi, non deve nemmeno essere positiva!

Se la differenza comune di una progressione aritmetica è positiva, la chiamiamo progressione crescente. Naturalmente, se la differenza è negativa, la sequenza sarà decrescente. Cosa succede in caso di differenza zero? Si ottiene una progressione monotona o constante, in cui ogni termine è uguale al precedente.

Ora diamo un'occhiata da vicino a questa progressione:

$0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ..$

Riesci a dedurre qual è la differenza comune in questo caso?

In realtà, non dovresti essere in grado di farlo. Questo non è un esempio di progressione aritmetica, ma un caso speciale chiamato successione di fibonacci. Ogni termine si ottiene sommando i due termini che lo precedono. Interessante, vero? Se vuoi saperne di più, dai un'occhiata al calcolatore per la successione di Fibonacci. Vale la pena dedicarci un po' di tempo.

Una grande applicazione della successione di Fibonacci è la costruzione di una spirale. Se disegnassi dei quadrati con lati di lunghezza pari ai termini consecutivi di questa sequenza, otterresti una spirale perfetta.

I matematici hanno sempre amato la successione di Fibonacci! Se vuoi scoprire una progressione che li ha spaventati per quasi un secolo, dai un'occhiata al nostro calcolatore della congettura di Collatz 🇺🇸.

Supponiamo di voler trovare il 30^esimo termine di una qualsiasi delle sequenze sopra menzionate (ad eccezione della successione di fibonacci, ovviamente). Scrivere i primi 30 termini sarebbe noioso e richiederebbe molto tempo. Avrai notato, però, che non è necessario scriverli tutti! È sufficiente aggiungere 29 differenze comuni al primo termine.

Generalizziamo questa affermazione per formulare l'equazione della progressione aritmetica. Si tratta della formula per qualsiasi n^esimo termine della sequenza:

$a_n = a_1 + (n-1)d$,

dove:

• $a_n$ — Termine n^esimo della progressione;
• $d$ — Differenza comune; e
• $a_1$ — Primo termine della progressione.

La formula della progressione aritmetica si applica a tutte le differenze comuni, siano esse positive, negative o uguali a zero. Naturalmente, nel caso di una differenza pari a zero, tutti i termini sono uguali, rendendo superfluo qualsiasi calcolo.

Il nostro calcolatore per la progressione aritmetica può anche trovare la somma della progressione (chiamata serie aritmetica) per te. Fidati di noi, puoi farlo a mano — non è così difficile!

Guarda il primo esempio di progressione aritmetica: $3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21$. Potremmo sommare tutti i termini a mente, ma non è necessario. Proviamo a sommare i termini in modo più organizzato. Sommiamo il primo e l'ultimo termine, poi il secondo e il penultimo, il terzo e il terzultimo e così via. Noterai subito che:

• $3 + 21 = 24$
• $5 + 19 = 24$
• $7 + 17 = 24$

La somma di ogni coppia è costante e uguale a $24$. Ciò significa che non è necessario sommare tutti i numeri. Basta sommare il primo e l'ultimo termine della progressione e moltiplicare la somma per il numero di coppie (cioè per $\large\frac{n}{2}$).

Matematicamente, questo si scrive come:

$S = \large\frac{n}{2}\normalsize\times (a_1 + a)$.

Sostituendo l'equazione della progressione aritmetica per il termine n^esimo:

$S = \large\frac{n}{2}\normalsize\times [a_1 + a_1 + (n-1)d]$, e

Dopo la semplificazione:

$S = \large\frac{n}{2}\normalsize\times [2a_1 + (n-1)d]$.

Questa formula ti permetterà di trovare la somma di una progressione aritmetica.

Quando cerchi la somma di una progressione aritmetica, avrai probabilmente notato che devi scegliere il valore di n per calcolare la somma parziale. E se volessi sommare tutti i termini della progressione?

Intuitivamente, la somma di un numero infinito di termini sarà uguale a infinito, sia che la differenza comune sia positiva, negativa o addirittura uguale a zero. Tuttavia, non è così per tutti i tipi di progressione. Se ne scegli un'altra, ad esempio una progressione geometrica, la somma all'infinito potrebbe risultare un termine finito.

Ovviamente, il nostro calcolatore per la progressione aritmetica non è in grado di analizzare nessun altro tipo di progressione. Ad esempio, la progressione $2, 4, 8, 16, 32, ...$, non ha una differenza comune. Si tratta infatti di un altro tipo di progressione, la progressione geometrica.

Qual è la principale differenza tra una progressione aritmetica e una geometrica? Mentre una progressione aritmetica utilizza una differenza comune per costruire ogni termine consecutivo, una progressione geometrica utilizza una ragione comune. Ciò significa che moltiplichiamo ogni termine per un certo numero ogni volta che vogliamo creare un nuovo termine.

Un esempio interessante di progressione geometrica è il cosiddetto universo digitale. Probabilmente avrai sentito dire che la quantità di informazioni digitali raddoppia ogni due anni. Ciò significa che è possibile scrivere i numeri che rappresentano la quantità di dati in una progressione geometrica, con una ragione comune pari a due.

Puoi anche analizzare un tipo speciale di progressione, chiamata progressione aritmetico-geometrica. Si crea moltiplicando i termini di due progressioni — una aritmetica e una geometrica.

Ad esempio, consideriamo le due progressioni seguenti:

• Progressione aritmetica: $1, 2, 3, 4, 5, ..$
• Progressione geometrica: $1, 2, 4, 8, 16, ..$

Per ottenere un termine n-esimo della serie aritmetico-geometrica, devi moltiplicare il termine n-esimo della progressione aritmetica per il termine n-esimo della progressione geometrica. In questo caso, il risultato sarà il seguente:

• Primo termine: $1 × 1 = 1$
• Secondo termine: $2 × 2 = 4$
• Terzo termine: $3 × 4 = 12$
• Quarto termine: $4 × 8 = 32$
• Quinto termine: $5 × 16 = 80$

Una progressione di questo tipo è definita da quattro parametri — il valore iniziale della progressione aritmetica $a$, la differenza comune $d$, il valore iniziale della progressione geometrica $b$ e la ragione comune $r$.

Analizziamo un semplice esempio che può essere risolto utilizzando la formula della progressione aritmetica. Analizzeremo da vicino l'esempio della caduta libera.

Un sasso sta cadendo liberamente in un pozzo profondo. Durante il primo secondo, percorre quattro metri di profondità. Ogni secondo, il sasso percorre $9,8 \text{metri}$ in più rispetto al secondo precedente. Qual è la distanza percorsa dal sasso tra il quinto e il nono secondo?

La distanza percorsa segue una progressione aritmetica con un valore iniziale $a = 4 \mathrm{m}$ e una differenza comune, $d = 9,8 \mathrm{m}$.

Per prima cosa, troveremo la distanza totale percorsa nei primi nove secondi di caduta libera calcolando la somma parziale $S_9 (n = 9)$:

$S_9 = \large\frac{n}{2} \normalsize × [2a_1 + (n-1)d] = \large\frac{9}{2} \normalsize × [2 × 4 + (9-1) × 9,\!8] = 388,\!8 \text{m}$

Durante i primi nove secondi, il sasso percorre un totale di $388,\!8 \text{m}$. Tuttavia, siamo interessati solo alla distanza percorsa dal quinto al nono secondo. Come calcoliamo questo valore? È facile — basta sottrarre la distanza percorsa nei primi quattro secondi, $S_4$, dalla somma parziale $S_9$.

$S_4 = \large\frac{n}{2} \normalsize × [2a_1 + (n-1)d] = \large\frac{4}{2} \normalsize × [2 × 4 + (4-1) × 9,\!8] = 74,\!8 \mathrm{m}$

$S_4$ è uguale a $74,\!8 \text{m}$. Ora possiamo trovare il risultato con una semplice sottrazione:

$\text{Distanza} = S_9 - S_4 = 388,\!8 - 74,\!8 = 314 \mathrm{m}$.

Esiste un metodo alternativo per risolvere questo esempio. Puoi utilizzare la formula della progressione aritmetica per calcolare la distanza percorsa nel quinto, sesto, settimo, ottavo e nono secondo e sommare questi valori. Prova a farlo — ti renderai subito conto che il risultato è esattamente lo stesso!

Per trovare il termine n^esimo di una progressione aritmetica, a_n:

1. Moltiplica la differenza comune d per (n-1);
2. Aggiungi questo prodotto al primo termine a₁;
3. Il risultato è il termine n^esimo. Ottimo lavoro! ; e
4. In alternativa, puoi utilizzare la formula: a_n = a₁ + (n-1) × d.

Sottrai due termini adiacenti per ottenere la differenza comune della progressione. Puoi prendere tutti i termini successivi, ad esempio a₂-a₁, a₇-a₆ o a₁₀₀-a₉₉. Se non ottieni lo stesso risultato per tutte le differenze, la tua progressione non è aritmetica.

La differenza comune è 11. Puoi valutarla sottraendo qualsiasi coppia di termini consecutivi, ad esempio a₂ - a₁ = -1 - (-12) = 11 oppure a₄ - a₃ = 21 - 10 = 11.

La differenza tra qualsiasi termine adiacente è costante per qualsiasi progressione aritmetica, mentre il rapporto di qualsiasi coppia di termini consecutivi è lo stesso per qualsiasi progressione geometrica.

Per ottenere il termine successivo della progressione aritmetica, devi aggiungere una differenza comune al termine precedente.

Per ottenere il termine successivo della progressione geometrica, devi moltiplicare il termine precedente per una ragione comune.

La differenza tra qualsiasi coppia di numeri consecutivi deve essere identica. Per verificare se una progressione è aritmetica, trova le differenze tra ogni coppia di termini adiacenti. Se uno qualsiasi dei valori è diverso, la progressione non è aritmetica.