Calcolatore del Gradiente di una Funzione Lineare

Eccoti nel calcolatore del gradiente di una funzione lineare, dove potrai imparare a calcolare il gradiente, ovvero la pendenza, di una linea retta passante per due punti. "Che cos'è il gradiente?", ti chiederai. Beh, hai mai guardato una montagna dicendoti — "Wow, quella montagna è abbastanza ripida, ma non quanto quella accanto!"? Se questo tipo di domanda ti lascia a bocca aperta e ti chiedi quale sia la pendenza delle montagne, sei nel posto giusto! Continua a leggere per conoscere la definizione di gradiente.

Se vuoi trovare il gradiente di una funzione non lineare, ti consigliamo di consultare il calcolatore del tasso medio di variazione.

Prima di vedere cos'è il gradiente, torniamo al nostro esempio delle montagne e alla questione assolutamente cruciale della ripidità.

Supponiamo che tu stia sciando lungo una pendenza quando la grande domanda ti colpisce. Ti fermi a riflettere prima di proseguire. Come abbiamo detto sopra, tutto ciò di cui abbiamo bisogno sono due punti per trovare il gradiente, quindi perché non essere un po' egocentrici e scegliere se stessi come... beh, il centro, cioè il punto (x₁,y₁) = (0,0) sul piano.

Ora ci resta da trovare un secondo punto, (x₂,y₂), in alto o in basso rispetto alla pendenza. Ti guardi intorno per trovare un albero particolarmente folto o un altro sciatore.

Dì all'albero o allo sciatore di stare fermo mentre usi il tuo righello (che porti sempre con te, ovviamente) per contare quanto più in alto o in basso sono posizionati (che sarà y₂) e quanto sono lontani da te (che sarà x₂). Ricorda di contare la distanza tra voi due in orizzontale, non parallelamente alla pendenza. Ed ecco fatto! Il rapporto y₂ / x₂ è la pendenza della montagna in quel punto.

Per essere rimasto nei paraggi mentre eseguivi il tuo rapido esperimento, vai a comprare a quello sciatore una cioccolata calda o abbraccia l'albero. Se lo meritano.

Quando si tratta di una linea retta o di una montagna, è più facile parlare di pendenza, ma in realtà, ciò che stiamo trattando è il gradiente di una funzione lineare, ovvero la velocità con cui una retta sale o scende. Consideralo come un numero che assegni a una collina, una strada, un sentiero, ecc., e che ti dice quanto sforzo devi fare per percorrerla (in relazione alle calorie bruciate in bicicletta). Se stai andando in salita, devi faticare per raggiungere la vetta, quindi l'energia necessaria (cioè il gradiente) è elevato. Se stai andando in discesa, non devi nemmeno pedalare per prendere velocità, quindi lo sforzo è, di fatto, negativo. E se sei su un terreno pianeggiante, non ti aiuta né rende il lavoro più difficile, quindi è neutro — ha uno gradiente (una pendenza) pari a zero.

E cosa succede se stai affrontando una pendenza verticale? Beh, non è sempre chiaro se vuoi cadere (senza sforzo) o salire. Pertanto, in questo caso, il gradiente è indefinito.

Il gradiente di una funzione lineare viene calcolato nello stesso modo che il coefficiente angolare. Troviamo due punti e li indichiamo rispettivamente con le coordinate cartesiane (x₁,y₁) e (x₂,y₂). Questa è anche la notazione utilizzata nel calcolatore. Nota che abbiamo usato gli stessi simboli nell'esempio delle montagne. Vogliamo vedere qual è la loro relazione, ovvero qual è il rapporto tra la variazione orizzontale e quella verticale, cioè la lunghezza (variazione di x) e l'altezza della funzione (variazione di y per l'intervallo di x). Questo è descritto dalla formula del gradiente (in inglese, rise over run):

Gradiente = altezza / lunghezza,

con Altezza = y₂ - y₁ e Lunghezza = x₂ - x₁. L'altezza indica quanto il secondo punto è più alto/basso rispetto al primo, mentre la lunghezza indica la distanza (solo orizzontale, non obliqua) tra i due punti. Puoi approfondire questo argomento consultando il calcolatore di pendenza (rapporto dislivello/lunghezza).

Ora che conosciamo la definizione di gradiente e di pendenza, è il momento di vedere il calcolatore del gradiente di una funzione lineare in azione, e di scoprire insieme come usarlo, passo dopo passo:

1. Trova due punti arbitrari sulla linea che vuoi analizzare e trova le loro coordinate cartesiane. Supponiamo di voler calcolare il gradiente di una retta che passa per i punti (-2,1) e (3,11);

2. Prendi le coordinate del primo punto e inseriscile nel calcolatore come x₁ e y₁;

3. Fai lo stesso con il secondo punto, questa volta come x₂ e y₂;

4. Il calcolatore utilizzerà automaticamente la formula del gradiente di una funzione lineare e la calcolerà. In questo caso, (11 - 1) / (3 - (-2)) = 2; e

5. Goditi la consapevolezza del gradiente della tua linea e dillo a tutti i tuoi amici!

Potresti chiederti: "Aspetta, credo di averlo già visto altrove. Non succede qualcosa di simile quando si calcola il coefficiente angolare o il rapporto altezza/lunghezza?" Hai assolutamente ragione. Tutti e quattro i concetti — pendenza, gradiente, coefficiente angolare, e rapporto altezza/lunghezza (rise over run) — descrivono la stessa cosa, quindi non preoccuparti, perché non c'è alcuna differenza tra loro.

Potresti anche chiederti quanto sia "ripida" la pendenza, cioè cosa ci dice il passaggio 2 dell'esempio precedente. È molto o no? I tuoi amici sciatori rimarranno stupiti da questo numero? Beh, è tutta una questione di prospettiva e alcuni potrebbero dire una cosa, mentre altri direbbero il contrario. Come punto di riferimento, devi ricordare che una linea parallela all'orizzonte è considerata neutra, in quanto il gradiente è pari a zero. Quando sale (o scende), diventa sempre più perpendicolare 🇺🇸 all'orizzonte, dove il gradiente tende all'infinito quando sale (o a meno infinito quando scende).