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Calcolatore per l'Area del Settore

Indice

Che cos'è il settore di un cerchio? Definizione di settoreFormula dell'area del settoreCasi speciali — area del semicerchio, area del quadranteCalcolatore per il settore — quando può essere utile?FAQ

Con questo calcolatore per l'area del settore, potrai trovare rapidamente l'area del settore di qualsiasi cerchio, ad esempio l'area di un semicerchio o di un quadrante. In questo breve articolo, ci occuperemo di:

  • Fornirti una definizione di settore e spiegare cos'è il settore di un cerchio;

  • Mostrarti la formula dell'area del settore e spiegare come ricavare l'equazione senza troppa fatica; e

  • Svelarti alcuni esempi reali in cui il calcolatore per l'area del settore può essere utile.

Che cos'è il settore di un cerchio? Definizione di settore

Iniziamo con la definizione di settore — cos'è un settore in geometria?

Un settore è una figura geometrica delimitata da due raggi e dall'arco incluso di un cerchio.

I settori di una circonferenza sono più comunemente visualizzati nei grafici a torta, dove una circonferenza viene divisa in diversi settori per mostrare il peso di ogni segmento. Le immagini qui sotto mostrano alcuni esempi di settori di cerchio — non è detto che assomiglino a una fetta di torta, ma a volte assomigliano al resto della torta dopo averne preso una fetta:

Settore con angolo centrale acuto.Settore con angolo centrale retto — quadranteSettore con angolo centrale ottusoSettore con angolo centrale retto - semicerchio.Settore con angolo centrale riflesso

Molto raramente si sente parlare del settore di un'ellisse, ma le formule sono molto, molto più difficili da usare rispetto alle equazioni dell'area del settore del cerchio.

🙋 Prima di continuare a leggere, dovresti già avere familiarità con i cerchi e le ellissi. Leggi i nostri calcolatore per cerchi 🇺🇸 e calcolatore per l'ellisse per assicurarti di avere una conoscenza approfondita di questi argomenti.

Formula dell'area del settore

La formula per l'area del settore è semplice — moltiplica l'angolo centrale per il raggio al quadrato e dividilo per 2:

  • Area del settore = r² × α / 2

Ma da dove deriva? Puoi trovarla utilizzando le proporzioni. Tutto ciò che devi ricordare è la formula dell'area del cerchio (e scommettiamo che la conosci!):

  1. L'area di un cerchio si calcola come A = πr². Questo è un ottimo punto di partenza;

  2. L'angolo completo è 2π in radianti o 360° in gradi, quest'ultima è l'unità di misura angolare più comune;

  3. Quindi, vogliamo calcolare l'area di una parte di un cerchio, espressa dall'angolo centrale;

    • Per angoli di 2π (cerchio completo), l'area è uguale a πr²:

      2π → πr²

    • Quindi, qual è l'area del settore di un cerchio:

      α → Area del settore; e

  4. Dalla proporzione, possiamo facilmente trovare la formula finale dell'area del settore:

    Area del settore = α × πr² / 2π = α × r² / 2

Lo stesso metodo può essere utilizzato per trovare la lunghezza dell'arco — basta ricordare la formula della circonferenza di un cerchio. Per saperne di più, leggi il nostro calcolatore della circonferenza e calcolatore per la lunghezza dell'arco.

💡 Nota che α deve essere espresso in radianti quando si utilizza la formula indicata. Se conosci l'angolo centrale del tuo settore in gradi, moltiplicalo prima per π/180° per trovare il suo valore equivalente in radianti. Oppure puoi usare questa formula, dove θ è l'angolo centrale in gradi:

Area del settore = r² × θ × π / 360

Casi speciali — area del semicerchio, area del quadrante

Trovare l'area di un semicerchio o di un quadrante dovrebbe essere un gioco da ragazzi. Basta pensare a quale parte di cerchio sono!

1. Area del semicerchio: πr² / 2

Settore con angolo centrale retto - semicerchio.
  • Sapendo che è la metà del cerchio, dividi l'area per due:

    Area del semicerchio = area del cerchio / 2 = πr² / 2;

  • Naturalmente, otterrai lo stesso risultato utilizzando la formula dell'area del settore. Ricorda solo che l'angolo retto è π (180°):

    Area del semicerchio = α × r² / 2 = πr² / 2

2. Area del quadrante: πr² / 4.

Settore con angolo centrale retto — quadrante.
  • Poiché un quadrante è un quarto di cerchio, possiamo scrivere la formula come:

    Area del quadrante = area del cerchio / 4 = πr² / 4; e

  • L'angolo centrale del quadrante è un angolo retto (π/2 o 90°), quindi si ottiene rapidamente la stessa equazione:

    Area del quadrante = α × r² / 2 = πr² / 4

Calcolatore per il settore — quando può essere utile?

Lo sappiamo, lo sappiamo — "Perché dobbiamo impararlo? Non la useremo mai e poi mai". Ebbene, vogliamo dimostrarti che la geometria è sempre intorno a noi:

  • Se ti stai chiedendo quanto grande debba essere la torta che dovrai ordinare per la tua fantastica festa di compleanno — tombola! Usa la formula dell'area del settore per stimare le dimensioni di una fetta 🍰 per i tuoi ospiti, in modo che nessuno muoia di fame.

  • La stessa cosa vale per la pizza — hai notato che ogni fetta è un settore di un cerchio 🍕? Ad esempio, se non sei un grande fan della crosta, puoi calcolare per quale dimensione della pizza ti conviene di più.

  • C'è qualche appassionato di cucito qui? 👗 I calcoli per l'area del settore possono essere utili per preparare una gonna a cerchio (dato che non sempre si tratta di un cerchio completo ma, come sai, di un settore di un cerchio).

Oltre a questi semplici esempi di vita reale, la formula dell'area del settore può essere utile in geometria, ad esempio per trovare la superficie di un cono.

FAQ

Cos'è il settore di un cerchio?

Il settore di un cerchio è una fetta di un cerchio, delimitata da due raggi e un arco di circonferenza. Identifichiamo i settori di un cerchio utilizzando il loro angolo centrale. L'angolo centrale è l'angolo tra i due raggi. I settori con un angolo centrale uguale a 90° sono chiamati quadranti.

Come si calcola l'area del settore di un cerchio?

Per calcolare l'area del settore di un cerchio, puoi utilizzare due metodi.

  • Se conosci il raggio e l'angolo centrale:

    1. Converti l'angolo centrale in radianti:

      α [rad] = α [deg] - π/180°;

    2. Moltiplica il raggio al quadrato per l'angolo in radianti; e

    3. Dividi il risultato per 2.

  • Se conosci l'area del cerchio e l'angolo centrale:

    1. Calcola il rapporto tra l'angolo completo e l'angolo centrale; e

    2. Moltiplica il risultato per l'area del cerchio.

Qual è l'area del settore di 90° di un cerchio con r = 1?

L'area di un settore con angolo centrale α = 90° di un cerchio con raggio r = 1 è π/4. Per calcolare questo risultato, puoi utilizzare la seguente formula:

A = r² - α/2

sostituendo:

  • r = 1;
  • α = 90° - π/180° = π/2

Quindi:

A = (1² - π/2)/2 = π/4

Da notare che questo è anche un quarto dell'area dell'intero cerchio.

Come si trova l'angolo centrale di un settore?

Per trovare l'angolo centrale del settore di un cerchio, puoi invertire la formula della sua area:

A = r² - α/2

dove:

  • rRaggio; e
  • αAngolo centrale in radianti.

La formula di α è quindi:

α = 2 - A/r².

Per trovare l'angolo in gradi, moltiplica il risultato per 180°/π.

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