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Calcolatore per l'Angolo del Triangolo

Indice

Come si trova l'angolo di un triangolo?Teorema della somma degli angoli del triangoloTeorema degli angoli esterni del triangoloBisettrice dell'angolo di un triangolo — Teorema della bisettrice dell'angoloCome si trovano gli angoli mancanti nei triangoli — esempioFAQ

Il calcolatore per l'angolo del triangolo è una garanzia se vuoi sapere come trovare l'angolo di un triangolo. Che tu abbia tre lati di un triangolo, due lati e un angolo o solo due angoli, questo strumento è la soluzione ai tuoi problemi di geometria. Di seguito troverai anche la spiegazione delle leggi fondamentali sugli angoli dei triangoli — teorema della somma degli angoli del triangolo, teorema dell'angolo esterno del triangolo e teorema della bisettrice dell'angolo. Continua a leggere per capire come funziona il calcolatore e provalo — trovare gli angoli mancanti nei triangoli non è mai stato così facile!

Come si trova l'angolo di un triangolo?

Ci sono diversi modi per trovare gli angoli di un triangolo, a seconda dei dati che si hanno a disposizione:

Triangolo con lati a, b, c e angoli α, β, γ
  1. Dati tre lati di un triangolo

Usa le formule trasformate dalla legge dei coseni:

cos(α)=b2+c2a22bc\cos(\alpha)=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}

Quindi:

α=arccos(b2+c2a22bc)\alpha= \mathrm{arccos}\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)

Per il secondo angolo abbiamo:

cos(β)=a2+c2b22ac\cos(\beta)=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}

Quindi:

β=arccos(a2+c2b22ac)\beta = \mathrm{arccos}\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)

E alla fine, per il terzo angolo:

cos(γ)=a2+b2c22ab\cos(\gamma)=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

Quindi:

γ=arccos(a2+b2c22ab)\gamma = \mathrm{arccos}\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)
  1. Dati due lati e un angolo

Se l'angolo è compreso tra i lati dati, puoi usare direttamente la legge dei coseni per trovare il terzo lato sconosciuto e poi usare le formule precedenti per trovare gli angoli mancanti, ad esempio dati a, b, γ:

  • Calcola c=a2+b22ab×cos(γ)c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \times \cos(\gamma)};
  • Sostituisci cc in α=arccos((b2+c2a2)/(2bc))\alpha = \mathrm{arccos}\left((b^2 + c^2- a^2)/(2bc)\right);
  • Quindi trova β\beta dal teorema della somma degli angoli del triangolo: β=180°αγ\beta = 180\degree- \alpha - \gamma.

Se l'angolo non è compreso tra i lati indicati, puoi usare la legge dei seni. Ad esempio, supponiamo di conoscere aa, bb e α\alpha:

asin(α)=bsin(β)\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}

Quindi:

β=arcsin(b×sin(α)a)\beta = \mathrm{arcsin}\left(b\times\frac{\sin(\alpha)}{a}\right)
  • Come sai, la somma degli angoli di un triangolo è uguale a 180°180\degree. Da questo teorema possiamo trovare l'angolo mancante: γ=180°αβ\gamma = 180\degree- \alpha - \beta.
  1. Dati due angoli

Questa è l'opzione più semplice. Basta utilizzare il teorema della somma degli angoli del triangolo per trovare l'angolo mancante:

  • α=180°βγ\alpha = 180\degree- \beta - \gamma;
  • β=180°αγ\beta= 180\degree- \alpha - \gamma; e
  • γ=180°αβ\gamma = 180\degree- \alpha- \beta.

In tutti e tre i casi, puoi usare il nostro calcolatore per l'angolo del triangolo: non ti deluderà.

🙋 Scopri la legge dei seni e dei coseni con il nostro calcolatore per il teorema del coseno e calcolatore della legge dei seni! Dopo sarà tutto più chiaro. 😉

Teorema della somma degli angoli del triangolo

Illustrazione del teorema della somma degli angoli del triangolo.

Il teorema afferma che gli angoli interni di un triangolo si sommano a 180°180\degree:

α+β+γ=180°\alpha + \beta+\gamma = 180 \degree

Come facciamo a saperlo? Guarda l'immagine — gli angoli indicati con le stesse lettere greche sono congruenti perché sono angoli interni alterni. La somma dei tre angoli α\alpha β\beta , γ\gamma è uguale a 180°180\degree, poiché formano una linea retta. Ma questi sono tre angoli interni di un triangolo! Ecco perché α+β+γ=180°\alpha + \beta+ \gamma = 180\degree.

Teorema degli angoli esterni del triangolo

Illustrazione del teorema degli angoli esterni del triangolo.

L'angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma degli angoli interni opposti.

  • Ogni triangolo ha sei angoli esterni (due per ogni vertice sono di misura uguale);
  • Gli angoli esterni, presi uno per ogni vertice, si sommano sempre a 360°360\degree; e
  • Un angolo esterno è supplementare all'angolo interno del triangolo adiacente.
Angoli esterni di un triangolo

Bisettrice dell'angolo di un triangolo — Teorema della bisettrice dell'angolo

Illustrazione del teorema della bisettrice dell'angolo

Il teorema della bisettrice dell'angolo afferma che:

La bisettrice dell'angolo di un triangolo divide il lato opposto in due segmenti che sono proporzionali agli altri due lati del triangolo.

O, in altre parole:

Il rapporto tra la lunghezza di BD\overline{BD} e la lunghezza di DC\overline{DC} è uguale al rapporto tra la lunghezza del lato AB\overline{AB} e la lunghezza del lato AC\overline{AC}:

BDDC=ABAC\frac{\left|\overline{BD}\right|}{\left|\overline{DC}\right|}=\frac{\left|\overline{AB}\right|}{\left|\overline{AC}\right|}

Come si trovano gli angoli mancanti nei triangoli — esempio

Ok, allora mettiamo in pratica quello che abbiamo appena letto. Supponiamo di voler trovare gli angoli mancanti del nostro triangolo. Come si fa?

  1. Scopri quali formule devi usare. Nel nostro esempio abbiamo due lati e un angolo. Scegli l'opzione angolo e 2 lati;
  2. Digita i valori indicati. Ad esempio, sappiamo che a=9 cma = 9\ \mathrm{cm}, b=14 cmb = 14\ \mathrm{cm}, e α=30°\alpha = 30\degree. Se vuoi calcolarlo manualmente, usa la legge dei seni:
asin(α)=bsin(β)\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)}

Quindi:

β=arcsin(b×sin(α)a)=arcsin(14 cm×sin(30°)9 cm)=arcsin(79)=51, ⁣06°\begin{split} \beta&=\mathrm{arcsin}\left(b\times\frac{\sin(\alpha)}{a}\right)\\ &=\mathrm{arcsin}\left(14\ \mathrm{cm}\times\frac{\sin(30\degree)}{9\ \mathrm{cm}}\right)\\ &=\mathrm{arcsin}\left(\frac{7}{9}\right)=51,\!06\degree \end{split}
  • Dal teorema sulla somma degli angoli in un triangolo, calcoliamo che γ=180°αβ=180°30°51, ⁣06°=98, ⁣94°\gamma = 180\degree- \alpha - \beta = 180\degree- 30\degree - 51,\!06\degree= 98,\!94\degree;
  1. Il calcolatore per l'angolo del triangolo trova gli angoli mancanti nel triangolo. Sono uguali a quelli calcolati manualmente:β=51, ⁣06°\beta = 51,\!06\degree, γ=98, ⁣94°\gamma = 98,\!94\degree; inoltre, lo strumento ha determinato la lunghezza dell'ultimo lato: c=17, ⁣78 cmc = 17,\!78\ \mathrm{cm}.

Un ragionamento simile a quello che abbiamo applicato in questo calcolatore compare in altri calcoli di triangoli, ad esempio quelli utilizzati nel calcolatore per triangoli con due angoli e un lato 🇺🇸 e nel calcolatore per triangoli con due lati e un angolo 🇺🇸!

FAQ

Come si trovano gli angoli di un triangolo?

Per determinare l'angolo o gli angoli mancanti in un triangolo, puoi ricorrere ai seguenti teoremi matematici:

  • Il fatto che la somma degli angoli di un triangolo è sempre 180°;
  • La legge dei coseni; e
  • La legge dei seni.

Quale serie di angoli può formare un triangolo?

Ogni insieme di tre angoli che sommano a 180° può formare un triangolo. Questa è l'unica regola quando si tratta di formare un triangolo a partire da un determinato insieme di angoli.

Perché un triangolo non può avere più di un angolo ottuso?

È perché la somma degli angoli in un triangolo è sempre uguale a 180°, mentre un angolo ottuso ha più di 90° gradi. Se ci fossero due o più angoli ottusi, la loro somma supererebbe i 180° e quindi non potrebbero formare un triangolo. Per lo stesso motivo, un triangolo non può avere più di un angolo retto!

Come si trovano gli angoli del triangolo 3 4 5?

Indichiamo a = 5, b = 4, c = 3.

  1. Scrivi la legge dei coseni 5² = 3² + 4² - 2×3×4×cos(α). Riorganizzala per trovare α, che è α = arccos(0) = 90°;
  2. Puoi ripetere il calcolo precedente per ottenere gli altri due angoli;
  3. In alternativa, dato che sappiamo di avere un triangolo rettangolo, abbiamo b/a = sin β e c/a = sin γ;
  4. In entrambi i casi, otteniamo β ≈ 53,13° e γ ≈ 36,87; e
  5. Verifichiamo subito che la somma degli angoli ottenuti è uguale a 180°, come previsto.
Triangle with sides a,b,c and angles α, β, γ.

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