Calculateur des extrémités d'un segment

Created by Maciej Kowalski, PhD candidate
Reviewed by Bogna Szyk and Jack Bowater
Translated by Claudia Herambourg and Agata Flak
Last updated: Jan 18, 2024


Bienvenue sur le calculateur des extrémités d'un segment d'Omni, où nous allons apprendre à trouver les coordonnées de l'extrémité d'un segment si nous connaissons les coordonnées de son autre extrémité et de son point médian. Comme vous l'avez peut-être deviné, ce sujet est lié au calcul du point médian – aussi appelé point milieu – ce qui explique pourquoi la formule des extrémités d'un segment est assez similaire à celle du calculateur du point médian. Mais avant d'aller plus en détails, nous allons passer en revue la définition de l'extrémité en géométrie pour mieux comprendre de quoi il en retourne.

Alors, installez-vous confortablement, préparez-vous une bonne tasse de thé, et entrons dans le vif du sujet !

Définition de l'extrémité en géométrie

Dans le langage courant, l'extrémité est le point qui se trouve à l'extrémité, c'est-à-dire, à la fin. Quelle surprise, n'est-ce pas ? Mais bon, après tout, une pomme de terre n'est pas une pomme, alors on n'est jamais trop prudent dans nos explications !

Dans sa forme la plus simple, la définition de l'extrémité en géométrie va de pair avec la notion de segment – une portion de droite limitée par deux points.
Notez que selon cette définition, chaque segment a deux extrémités (à moins que ce soit le cas dit cas dégénéré où les deux extrémités sont en fait le même point, et donc l'intervalle est un seul point).

Un segment a deux extrémités.

Pour simplifier les calculs, nous appellerons parfois l'une des extrémités le point de départ (comme le fait notre calculateur des extrémités). Gardez toutefois à l'esprit que le début peut tout aussi bien être la fin si vous le prenez dans l'autre sens.

Cela sonne étrangement philosophique n'est-ce pas ? Mais laissons les questions existentielles pour les moments où on a du mal à s'endormir. Nous devrions plutôt nous concentrer sur les segments que nous avons mentionnés plus haut et sur la façon de trouver leurs extrémités.

Comment trouver les coordonnées de l'une des extrémités ?

Pour déterminer l'une des deux extrémités, nous devons avoir un point de référence. En d'autres termes, nous ne pouvons pas savoir où se termine un segment si nous ne connaissons pas son point de départ.

La situation la plus simple et la plus courante est celle où il nous manque les coordonnées d'une extrémité alors que nous connaissons celles de l'autre extrémité et celles du point médian. Ce dernier est simplement, comme son nom l'indique, le point marquant le milieu du segment. C'est tout ce dont nous avons besoin pour trouver l'extrémité manquante ; après tout, elle se trouve forcément de l'autre côté de l'extrémité de départ par rapport au point médian, et à la même distance de ce point.

Par conséquent, intuitivement, nous pouvons déjà décrire géométriquement comment trouver cette autre extrémité.

  1. Étant donné l'extrémité,AA, et le point médian,BB, tracez le segment qui relie les deux points.
  2. Dessinez une droite qui s'éloigne de BB et de AA vers on ne sait où.
  3. Mesurez la distance de AA à BB et marquez la même distance à partir de BB dans l'autre sens.
  4. Faites une danse de la victoire.

Cependant, il y a des gens (et nous ne disons pas que nous sommes ces gens) qui n'aiment pas tellement tracer des droites. Déjà, il faut avoir une règle… Si vous n'en avez pas, vous pouvez toujours utiliser ce qui vous passe sous la main. Faites néanmoins attention à vos unités de mesure, car Lorde de grandeur n'est pas toujours idéal.
C'est pourquoi Omni Calculator est toujours là pour vous aider, « Royal(s) » n'est-ce pas ? » 😉

🔎 Au lieu de tracer des droites, vous pouvez utiliser notre calculateur de distance pour deux points donnés.

Tracer des droites peut être difficile sans le matériel adéquat.

Quoi qu'il en soit, pour les personnes qui préfèrent les chiffres et les calculs (et nous avouons effectivement que nous sommes ces personnes), nous nous concentrerons sur la façon de trouver les coordonnées des extrémités de manière algébrique dans la section suivante. Ne soyez pas effrayé·e par le mot « algébrique » – dans une seconde, vous verrez comment il se traduit par « facilement et sans effort », la devise même de notre calculateur d'extrémités.

Formule des extrémités d'un segment

En géométrie des coordonnées, nous manipulons des objets qui sont intégrés dans ce que nous appelons l'espace euclidien. Il n'est pas très important pour l'instant de comprendre sa définition mathématique, mais pour nos besoins, il suffit de savoir que dans de tels espaces, les points, disons AA ou BB, ont deux coordonnées : A=(x1,y1)A = (x_1, y_1) et B=(x2,y2)B = (x_2, y_2).

Les nombres x1x_1 et x2x_2 indiquent la position des points par rapport à l'axe des abscisses (généralement désigné par les x)x), tandis que y1y_1 et y2y_2 sont utilisés pour l'axe des ordonnées (le plus souvent désigné par les yy). Ensemble, la paire (x1,y1)(x_1, y_1) définit un point dans l'espace. De plus, les coordonnées nous aident à analyser des objets plus complexes dans notre espace euclidien. Par exemple, elles apparaissent dans la formule des extrémités d'un segment.

Disons que vous avez un segment allant de A=(x1,y1)A = (x_1, y_1) à… eh bien, nous ne le savons pas encore. Nous allons maintenant expliquer comment trouver les coordonnées de l'autre extrémité B=(x2,y2)B = (x_2, y_2) si nous connaissons celles du point milieu M=(x,y)M = (x, y).

D'après la définition d'un point médian, nous savons que la distance entre AA et MM doit être la même que celle entre MM et BB. C'est juste que BB se trouve de l'autre côté. Cela signifie que pour trouver BB, il suffit de « déplacer » MM le long de la droite passant par AA et MM sur la même longueur que le segment AMAM. Ou, si vous voulez paraître plus chic, du vecteur 🇺🇸 AMAM.

En d'autres termes, nous avons :

x2=x+(xx1)=2xx1x_2 = x + (x - x_1) = 2x - x_1

y2=y+(yy1)=2yy1y_2 = y + (y - y_1) = 2y - y_1

En résumé, si vous préférez avoir toutes les informations dont vous avez besoin en un seul paragraphe, le voici.

💡 L'extrémité d'un segment allant de A=(x1,y1)A = (x_1, y_1) à un point médian à M=(x,y)M = (x, y) est le point B=(2xx1,2yy1)B = (2x - x_1, 2y - y_1).

Notez que ci-dessus, nous avons mentionné la droite passant par AA et MM. De telles droites sont très utiles lorsqu'on apprend à trouver l'extrémité ou le milieu d'un segment. Après tout, le segment ABAB est sur cette droite.

Ouf, nous avons passé beaucoup de temps sur la théorie ! Et si nous abandonnions ce charabia technique pour voir un exemple concret ? Le temps, c'est de l'argent, après tout !

Exemple : utilisation du calculateur des extrémités d'un segment

Disons qu'il y a quatre mois, vous avez commencé à publier des vidéos sur YouTube. Rien d'extravagant, juste quelques recettes de cuisine régionale. Cela a commencé comme un passe-temps, mais les gens semblent apprécier le contenu, et vous voyez le nombre de viewers augmenter de manière linéaire avec le temps. Pourquoi ne pas essayer de trouver l'extrémité manquante avec notre calculateur pour vérifier combien de viewers vous devriez avoir dans quatre mois ?

Tout d'abord, remarquez que, bien que le problème ne semble pas du tout géométrique, nous pouvons en effet trouver la réponse en utilisant la définition de l'extrémité d'un segment en géométrie. Après tout, le point de départ, c'est-à-dire le mois zéro, est le moment où vous avez commencé à poster les vidéos, nous étions donc à 0 viewers à ce moment-là. Maintenant, nous sommes au quatrième mois, ce qui sera notre point du milieu (puisque nous voulons savoir le nombre de viewers dans quatre mois). En d'autres termes, l'extrémité sera notre réponse.

Disons qu'actuellement, vous avez 54 000 abonnés. Essayons de traduire toutes ces données de manière que le calculateur des extrémités d'un segment comprenne ce que nous attendons de lui.

D'après la section ci-dessus, pour trouver la réponse, nous avons besoin d'une des extrémités et du point médian. Désignons-les respectivement par A = (x₁, y₁) et M = (x, y). Pour nous, les x désigneront le nombre de mois, et les y seront le nombre de viewers. Puisque notre extrémité de départ était le mois zéro et que nous en sommes actuellement à 4 mois, nous avons (et pouvons entrer dans notre calculateur Omni d'extrémités) :

x₁ = 0

x = 4

Il est maintenant temps de s'intéresser aux abonnés. Encore une fois, le point de départ était quand nous n'avions personne, alors qu'à l'heure actuelle, après quatre mois, nous sommes à 54 000. Par conséquent, nous avons :

y₁ = 0

y = 54 000

Une fois que nous aurons entré toutes ces données dans le calculateur des extrémités d'un segment, il nous donnera la réponse. Mais ne la révélons pas tout de suite ! Voyons à présent comment trouver les coordonnées des extrémités nous-mêmes en utilisant la formule des extrémités d'un segment.

Prenons une feuille de papier et rappelons les informations que nous avons déjà mentionnées plus haut. Notre point de départ était au mois zéro avec zéro abonné, donc A = (0, 0). Désormais, nous sommes au quatrième mois avec 54 000 abonnés, ce qui est à mi-chemin de ce que nous aimerions calculer. Cela signifie que notre point médian est (4, 54 000).

Il ne nous reste plus qu'à utiliser la formule des extrémités d'un segment de la section ci-dessus. Si nous désignons les coordonnées de l'extrémité par B = (x₂, y₂), alors :

x₂ = 2×4 - 0 = 8

y₂ = 2×54 000 - 0 = 108 000

Cela signifie que si la tendance se poursuit, nous devrions arriver à 108 000 abonnés dans quatre mois.

FAQ

Comment trouver les coordonnées de l'extrémité manquantes ?

Supposons que vous ayez une extrémité A = (x₁, y₁) et un point médian M = (x, y).

  1. Doublez les coordonnées du point médian : 2x, 2y.

  2. Soustrayez la coordonnée x de l'extrémité connue de la première valeur pour obtenir la coordonnée x de l'extrémité manquante : x₂ = 2x - x₁.

  3. Soustrayez la coordonnée y de l'extrémité connue de la deuxième valeur pour obtenir la coordonnée y de l'extrémité manquante : y₂ = 2y - y₁.

  4. Bravo, vous avez trouvé l'extrémité manquante : B = (x₂, y₂).

Est-ce que l'une des extrémités et le point du milieu peuvent avoir les mêmes coordonnées ?

Non. Si l'une des extrémités et le point du milieu ont les mêmes coordonnées, la distance qui les sépare est nulle. Par conséquent, l'autre extrémité doit également avoir exactement les mêmes coordonnées, et les trois constituent un seul point, et non un segment.

Quel est l'extrémité d'un segment dont l'une des extrémités est à (1,3) et le milieu à (3,5) ?

Pour trouver l'autre extrémité, faites comme ceci !

  1. Doublez les coordonnées du milieu :
    2x = 6, 2y = 10

  2. Soustrayez la première valeur et la coordonnée x de l'extrémité connue :
    6 - 1 = 5

  3. Soustrayez la deuxième valeur et la coordonnée y de l'extrémité connue :
    10 - 3 = 7

  4. Les différences obtenues sont respectivement les coordonnées x et y de l'extrémité manquante :
    B = (5,7)

Quelle est la distance entre les deux extrémités (3,5) et (6,6) ?

Pour évaluer la distance recherchée, suivez ces étapes.

  1. Trouvez les différences entre les coordonnées correspondantes :
    Δx = 6 - 3 = 3, Δy = 6 - 5 = 1

  2. Élevez au carré les deux différences :
    (Δx)² = 3² = 9, (Δy)² = 1² = 1

  3. Ajoutez ces deux valeurs :
    (Δx)² + (Δy)² = 9 + 1 = 10

  4. Calculez la racine carrée de la somme :
    √((Δx)² + (Δy)²) = √10

  5. Bravo ! La distance recherchée est de √10, soit environ 3,16.

Maciej Kowalski, PhD candidate
A graph showing how to find the endpoint of a segment on the Cartesian plane
Starting point coordinates
x₁
y₁
Midpoint coordinates
x
y
Endpoint coordinates
x₂
y₂
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