Calculadora de la suma de una serie

Con la calculadora de la suma de una serie puedes calcular la suma de una serie infinita que tenga convergencia geométrica, así como la suma parcial de una serie aritmética o geométrica. Este solucionador de sumas también puede ayudarte a calcular la convergencia o divergencia de una serie.

Muchas veces querremos calcular la suma 🇺🇸 de una serie, y para ello es útil saber primero si la serie es aritmética o geométrica. En una serie aritmética, la diferencia entre cada par de términos sucesivos es constante, mientras que en una serie geométrica, el cociente entre cada par de términos sucesivos es constante.

Por ejemplo, consideremos la siguiente serie de los 10 primeros números impares:

$\footnotesize 1\! +\! 3\! +\! 5\! +\! 7\! +\! 9\! +\! 11\! +\! 13\! +\! 15\! +\! 17\! +\! 19$

Se trata de una serie aritmética, ya que la diferencia entre dos pares de números sucesivos cualesquiera es 2. Podemos hallar la suma utilizando la siguiente fórmula:

$S_n = \frac{n}{2}\ [2a + (n - 1) d]$

donde:

• $n$ - Número de términos;
• $a$ - Primer término;
• $d$ - Diferencia común.

También podemos utilizar la fórmula anterior para calcular la suma parcial de una serie aritmética infinita. Así, en el ejemplo anterior, la suma a 10 términos será:

$S_{10} = \frac{10}{2}\ [2\times1 + (10 - 1)\times2]$

$S_{10} = 100$

Si tenemos una serie geométrica, utilizaremos una fórmula diferente para hallar la suma, que veremos a continuación.

Para saber cómo hallar la suma de una serie en progresión geométrica, podemos utilizar la fórmula de la suma finita o el cálculo de la suma infinita. Una serie geométrica puede converger o divergir en función del valor de la razón común $r$.

Para decidir la convergencia frente a la divergencia de una serie geométrica, seguiríamos la siguiente pauta basada en la razón común $r$:

• Si $|r| > 1$, entonces la serie geométrica diverge y su suma a infinitos términos no puede determinarse.

• Si $|r| < 1$, entonces la serie geométrica convierte en una suma infinita y podemos calcular la suma de la serie infinita.

• Si $|r| = 1$, entonces la serie geométrica es periódica y su suma a infinitos términos no puede determinarse.

Por otra parte, para calcular la suma parcial de una serie geométrica hasta un número determinado de términos, utilizaremos la fórmula:

$S_n = \frac{a_1\times (1-r^n)}{1-r}$

donde:

• $a_1$ - Primer término;
• $r$ - Razón común;
• $n$ - Número de términos.

Para calcular la suma infinita de una serie geométrica convergente, utilizaremos la fórmula:

$S = \frac{a}{1 - r}$

donde:

• $a$ - Primer término;
• $r$ - Razón común.

Por ejemplo, considera la siguiente serie geométrica:

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ...$

Aquí, $a = 1$ y $r = \frac{1}{2}$.

Por tanto, la suma a un número infinito de términos es:

$S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}}$

lo que nos da

$S = 2$

De este modo, podemos calcular la suma de una serie geométrica con un número infinito de términos si la razón común $r$ está comprendida entre $-1$ y $1$.