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Verdopplungszeit Rechner

Created by Marcin Manias
Reviewed by Dominik Czernia, PhD and Jack Bowater
Translated by Luise Schwenke and Julia Kopczyńska, PhD candidate
Last updated: Jan 18, 2024


Der Verdoppelungszeit-Rechner ist ein einfaches Werkzeug, mit dem du berechnen kannst, wie lange es dauert, bis sich ein Wert bei einer konstanten Wachstumsrate verdoppelt. Ein anderer Name für dieses Konzept ist die 72er-Regel 🇺🇸. Da die Verdopplungszeit misst, wie schnell etwas wächst, ist sie eine Einheit des exponentiellen Wachstums. Das Gegenteil davon ist die Halbwertszeit, eine Einheit zur Messung des exponentiellen Verfalls. Der Begriff Halbwertszeit gibt an, wie lange es dauert, bis etwas auf die Hälfte seines Ausgangswerts reduziert ist und wird zur Beschreibung des radioaktiven Zerfalls oder der Medikamentenwirkung verwendet.

Lies weiter, wenn du wissen möchtest, wie die Verdopplungszeit definiert ist. Wir gehen zudem auf ihre realen Anwendungen und Grenzen ein. Die Verdopplungszeit kommt häufiger vor, als du denkst! In diesem Artikel findest du die Formel für die Verdopplungszeit und lernst anhand eines Beispiels, wie du sie berechnen kannst.

Definition der Verdopplungszeit

Wie der Name schon sagt, beschreibt die Verdopplungszeit die Zeit, die eine Menge braucht, um ihren Wert zu verdoppeln. Damit sich eine Menge irgendwann verdoppelt, muss sie in jedem Zeitraum um einen bestimmten Betrag zunehmen. Dieser Zuwachs wird als Wachstumsrate bezeichnet. Wenn dieser Anstieg über alle Perioden hinweg gleich bleibt, können wir sagen, dass die Wachstumsrate konstant ist. Es gibt zwei Gründe, warum eine konstante Wachstumsrate wichtig ist:

  • Die konstante Wachstumsrate führt zu einer konstanten Verdopplungsperiode. Wenn sich die Wachstumsrate von Periode zu Periode nicht ändert, ändert sich auch der Verdopplungszeitraum nicht. Das bedeutet, dass die Zeit, unabhängig von der Menge, die der Wert braucht, um sich zu verdoppeln, die gleiche ist. Es dauert genauso lange, bis aus 1 2 wird, wie es braucht, bis aus 2 4 wird, oder aus 400 800 werden, solange die Wachstumsrate konstant ist.
  • Noch wichtiger ist, dass mit einer konstanten Wachstumsrate die Verdopplungszeit direkt aus der Wachstumsrate berechnet werden kann, sodass unser Verdopplungszeit-Rechner seine Arbeit tun kann.

Interessanterweise ist die Verdoppelungszeit eine Anwendung des Zinseszinses, bei der die prozentuale Steigerung auch auf alle anderen vorherigen Zinserhöhungen berechnet wird. In diesem Fall wird nach der Zeit gesucht, die benötigt wird, um genau 100% zu steigen. Mehr zu diesem Thema erfährst du im Zinseszins Rechner.

Die Verdoppelung der Zeit ist in vielen Bereichen nützlich, z. B. im Finanzwesen (Geldwachstum, Zinseszins, Inflation), in der Medizin (Bestimmung des Zellwachstums), in der Demografie (Bevölkerungsentwicklung) und sogar im Bergbau (Gewinnung natürlicher Ressourcen). Wenn du die konstante Wachstumsrate kennst, kannst du sie verwenden, um herauszufinden, wie lange es dauert, bis sich die Größe einer Bevölkerung verdoppelt.

Wie du wahrscheinlich schon gemerkt hast, ist das Konzept der Verdopplungszeit ganz einfach. Warum brauchen wir also einen Verdopplungszeit-Rechner? Die Idee ist einfach, und die Gleichung für die Verdopplungsrate ist tatsächlich sehr kurz. Aber die Frage Wie berechnet man die Verdopplungszeit schriftlich? ist nicht so einfach zu beantworten. Finde unten heraus, warum!

Formel für die Verdopplungszeit

Da du nun die Definition der Verdopplungszeit kennst, lass uns die Gleichung der Verdopplungszeit anschauen! Unter der Voraussetzung, dass der Anstieg der Menge von einer Periode zur nächsten gleich ist (er bleibt konstant), lautet die Gleichung wie folgt:

Verdopplungszeit=log(2)log(1+Anstieg)\footnotesize \text{Verdopplungszeit} = \frac{\log{(2)}}{\log{(1 + \text{Anstieg})}}

wobei:

  • Anstieg die konstante Wachstumsrate in Prozent ist, und
  • Verdopplungszeit die Zeit ist, die die Menge braucht, um ihren Wert bei einer bestimmten konstanten Wachstumsrate zu verdoppeln.

Du kannst in der Formel für die Verdopplungszeit einen Logarithmus (log in der obigen Formel) mit einer beliebigen Basis verwenden. Das spielt keine Rolle. Alternativ kannst du das gleiche Ergebnis auch mit der untenstehenden Gleichung erhalten:

Verdopplungszeit=1log2(1+Anstieg)\footnotesize\text{Verdopplungszeit} = \frac{1}{\log{}_2(1 + \text{Anstieg})}

Hier wird der Logarithmus mit der Basis zwei verwendet. Im Logarithmusrechner sprechen wir im Abschnitt Wie berechne ich einen Logarithmus mit beliebiger Basis? über diese Beziehung.

Du siehst, je höher die konstante Wachstumsrate, desto kürzer die Verdopplungszeit. Mit der Gleichung für die Verdopplungsrate kannst du die Verdopplungszeit allein aus dem Anstieg berechnen, indem du den Logarithmus von 2 durch den Logarithmus des Exponenten der Wachstumsrate teilst: log ⁣(1+Anstieg)\log \! {(1+\text{Anstieg})}.

Gleichung der Verdopplungszeit – Einschränkungen

Die Gleichung der Verdopplungszeit eignet sich hervorragend, um die Zeit zu berechnen, die benötigt wird, um etwas zu verdoppeln, und sie kann auf viele Themen angewendet werden. Beachte aber, dass sie ihre Grenzen hat. In der Praxis ist es schwer, konstante Wachstumsraten zu finden. Wachstumsraten neigen dazu, zu schwanken und sich im Laufe der Zeit zu verändern, weshalb die Verdopplungszeit ein unzuverlässiger Maßstab sein kann.

Sei dir bewusst, dass es noch komplexer wird, wenn es um Geld geht. Es stimmt zwar, dass die Verdoppelung der Zeit dir zeigen kann, wann aus 1000€ 2000€ werden, aber Geld ändert seinen Wert im Laufe der Zeit. Deshalb sind deine zukünftigen 2000€ nicht dasselbe wert wie die 2000€ von heute. Eine gute Erklärung dieses Konzepts und eine Möglichkeit, es nicht selbst berechnen zu müssen, findest du in unserem Zeitwert des Geldes Rechner 🇺🇸.

Wie berechnet man die Verdopplungszeit? – ein Beispiel

Schauen wir uns an, wie die Gleichung der Verdopplungszeit in der Praxis funktioniert. Du hast ein Blumenfeld, das jedes Jahr mit einer konstanten Rate von 15% wächst, und möchtest herausfinden, wie lange es dauert, bis es sich verdoppelt. Setzen wir die Daten in die Formel ein:

Verdopplungszeit=log(2)log(1+15/100)=4,96 Jahre\footnotesize \begin{align*} \text{Verdopplungszeit} &= \frac{\log{(2)}}{\log{(1 + 15/100)}} \\ &= 4,\!96\ \text{Jahre} \end{align*}

Die umgekehrte Berechnung ist ebenfalls möglich. Du kannst die Gleichung für die Verdopplungsrate verwenden, um herauszufinden, mit welcher Rate du dein Kapital erhöhen musst, damit es sich in 5 Jahren verdoppelt. Die Antwort ist etwa 14,87% pro Jahr. Natürlich ist es besser, sich zurückzulehnen und unseren Rechner die Arbeit für dich machen zu lassen!

Du kannst auch den Exponentielles Wachstum Prognose Rechner 🇺🇸 ausprobieren, um zukünftige Werte zu schätzen, die durch eine Exponentialfunktion bestimmt werden.

FAQ

Was ist die Verdopplungszeit einer Population?

Die Verdopplungszeit einer Population ist die Zeit, die sie braucht, um ihre Größe zu verdoppeln. Die Verdopplungszeit wird durch die folgende Formel definiert:
Verdopplungszeit = log(2) / log(1 + r),
wobei r die Wachstumsrate ist.
Die Wachstumsrate muss konstant sein, wenn du möchtest, dass die Formel genaue Ergebnisse liefert.

Wie berechne ich die Verdopplungszeit?

So berechnest du die Verdopplungszeit einer Population:

  1. Miss die Wachstumsrate der Population. Achte darauf, dass sie konstant ist.
  2. Finde den Logarithmus von eins plus der Wachstumsrate.
  3. Dividiere den Logarithmus von zwei durch das Ergebnis.
  4. Das war's: Die Verdopplungszeit hängt von keinem anderen Parameter ab.

Wie lange dauert es, bis sich eine E. coli-Population verdoppelt?

Etwa 25 Minuten. Wenn wir die Wachstumsrate von E. coli unter Laborbedingungen betrachten, ist r = 4,3 pro Stunde. Dann können wir die Formel für die Verdopplungszeit anwenden:
Verdopplungszeit = log(2) / log(1 + 4,3) = 0,41 h
Das entspricht 24,6 Minuten.

Die Verdopplungszeit der Bakterien hängt stark von den Umgebungsbedingungen ab. Während wir in einem Labor in Minuten messen können, kann es in der realen Welt bis zu 15 Stunden dauern.

Wie lange dauert es, bis sich eine Investition mit einem Zinssatz von 2% pro Jahr verdoppelt?

35 Jahre. Um die Zeit zu berechnen, die benötigt wird, um eine Anfangsinvestition zu verdoppeln, wenn jedes Jahr ein Zinssatz von 2% angewandt wird, verwende die Verdopplungszeit-Formel:
Verdopplungszeit = log(2) / log(1 + 2/100) = 35,00

Wie du siehst, hat die Anfangsinvestition oder ein bestimmter Zeitraum keinen Einfluss auf das Ergebnis, solange der Zinssatz konstant bleibt.

Marcin Manias
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