Log 2 Rechner

Willkommen bei Omni's Rechner für Logarithmen zur Basis 2 - ein Hilfsmittel zur Berechnung des Wertes von log₂(x) für beliebige (positive) x. Wenn die Basis des Logarithmus gleich 2 ist, wird der Logarithmus auch als binärer Logarithmus bezeichnet. Um den natürlichen oder dekadischen Logarithmus sowie jeden weiteren beliebigen Logarithmus zu berechnen, schaue dir unseren Logarithmusrechner an.

Was ist z. B. der Logarithmus von 8 zur Basis 2? Oder log₂(16)? Oder log₂(32)? Lass uns direkt in das Thema eintauchen und es herausfinden!

Sobald die Menschen entdeckten, wie Zahlen addiert werden, fand sie einen Weg, die Schreibweise für das mehrmalige Addieren der gleichen Zahl zu vereinfachen: die Multiplikation.

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 8 ∙ 5

Daraufhin tauchte die offensichtliche Frage auf: Wie kann die mehrmalige Multiplikation der gleichen Zahl mit sich selber ausgedrückt werden? Und wieder kamen einige kluge Mathematiker, die Exponenten einführten.

5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 = 5⁸

Natürlich gibt es immer noch neugierigere Menschen, die die wildesten Fragen stellen. In diesem Fall stellten sie sich die Frage, ob es eine Möglichkeit gibt, alle diese Operationen umzukehren. Zum Glück für uns, die Mathematik und die Wissenschaft im Allgemeinen, konnte darauf eine Antwort gefunden werden.

Für die Addition ist die Umkehroperation einfach zu finden: die Subtraktion. Auch für die Multiplikation ist es immer noch ziemlich einfach: Es ist die Division. Für die Exponenten wird die Sache jedoch komplizierter. Schließlich wissen wir, dass 5 + 8 = 8 + 5 und 5 ∙ 8 = 8 ∙ 5, aber 5⁸ ist etwas ganz anderes als 8⁵. Wie sollte die umgekehrte Operation also aussehen? Sollte die Umkehrung von 5⁸ 5 oder 8 ergeben?

Der Logarithmus (zur Basis 5) wäre die Operation, wenn wir 8 als die Antwort erhalten wollen: $5^8 = 390 625$ und $log_{5} 390 625 = 8$. Mit anderen Worten: es handelt sich bei einem Logarithmus um eine Funktion, die den Exponenten ergibt, mit dem eine Zahl potenziert werden muss, um auf einen bestimmten Wert zu kommen. Mathematisch lässt sich die Definition wie folgt darstellen:

Zum Vergleich: Die Umkehroperation, die 5 aus 5⁸ berechnet, wäre einfach die (8-te) Wurzel: $8\sqrt{390 625}=5$. Wenn wir ein bisschen technischer werden wollen, dann könnten wir sagen, dass im Allgemeinen für einen Ausdruck xʸ die Wurzel die Umkehroperation für x ist, während der Logarithmus die Umkehroperation für y ist. Und wenn wir noch technischer werden wollen, würden wir sagen, dass die erste Operation eine Polynomfunktion invertiert, während die zweite eine Exponentialfunktion invertiert.

Lass uns, bevor wir weitermachen, ein paar wichtige Informationen über unseren neuen Freund, die Logarithmusfunktion, ins Gedächtnis zurückrufen:

• Es gibt zwei sehr spezielle Fälle des Logarithmus, die eine eigene Schreibweise haben: der natürliche Logarithmus 🇺🇸, ausgedrückt als ln(x), mit der Eulerschen Zahl e = 2,718281 als Basis und den dekadischen Logarithmus, ausgedrückt als log(x), zur Basis 10.

  • Während der dekadische Logarithmus recht selbsterklärend ist, kann der natürliche Logarithmus einige Fragen aufwerfen. Wenn du dir nicht sicher bist, was mit der Basis e gemeint ist, schaue in unserem Eulersche Zahl Rechner nach.

• Die Logarithmusfunktion ist nur für positive Zahlen definiert. Mit anderen Worten, wenn wir logₐ(b) schreiben, muss b positiv sein.

• Unabhängig von der Basis ist der Logarithmus von 1 immer = 0. Welchen Wert auch immer wir mit 0 potenzieren, wir erhalten 1.

Logarithmen sind EXTREM wichtig. Außerhalb der Mathematik werden sie in der Statistik (z. B. die logarithmische Normalverteilung), in der Wirtschaft (z.B. der BIP-Index), in der Medizin (z. B. der QUICKI-Index für Insulin) und in der Chemie (z. B. die Halbwertszeit) verwendet. Auch einige physikalische Einheiten wie die Richterskala, die pH-Skala und die dB-Skala basieren auf Logarithmen.
Heute werden wir uns mit einem sehr speziellen Fall des Logarithmus beschäftigen, nämlich dem zur Basis 2, auch binärer Logarithmus genannt. Im Wesentlichen werden wir uns darauf konzentrieren, die Potenzen von 2 zu nehmen und... Na ja, wenn ich so darüber nachdenke, warum widmen wir ihm nicht einen ganzen Abschnitt?

Wie am Ende des obigen Abschnitts erwähnt, ist der binäre Logarithmus ein Spezialfall der logarithmischen Funktion zur Basis von 2. Das bedeutet, dass wir Ausdrücke der Form log₂(x) haben, und uns fragen, auf welche Potenz wir 2 erhöhen müssen, um einen Wert x zu erhalten. Wir können zum Beispiel leicht feststellen, dass log₂(4) = 2 ist.

Scheinbar ist 2 eine Zahl wie jede andere. Sie hat jedoch einige interessante Eigenschaften. So ist sie z. B. die kleinste und einzige gerade Primzahl. Außerdem ist sie die Basis für alle Computeroperationen, die die binäre Darstellung verwenden.

Da der Logarithmus zur Basis von 2 so wichtig ist, wollen wir uns einige grundlegende Potenzen von 2 ins Gedächtnis rufen. Denke daran, dass der Exponent auch 0 oder sogar negativ sein kann.

Jetzt können wir einige weitere Beispiele für ganzzahlige Exponenten sehen als nur den log₂(4) = 2 von oben. Zum Beispiel können wir sagen, dass der Logarithmus von 8 zur Basis 2 = 3 ist, log₂(16) = 4 oder log₂(32) = 5.

Aber was ist, sagen wir mal, log₂(5)? Sicherlich ist 5 keine Potenz von 2.

Um genau zu sein, ist es keine ganzzahlige Potenz von 2. Wir müssen bedenken, dass es auch gebrochene Exponenten gibt, und in der Tat brauchen wir hier einen solchen. Leider sind sie nicht so einfach zu berechnen. In einigen Fällen können wir versuchen, Tricks wie den Basiswechsel anzuwenden, aber im Allgemeinen ist es am besten, einen geeigneten Rechner wie unseren log-2-Rechner oder den Basiswechsel Rechner 🇺🇸 zu verwenden.

Du siehst in unserem Rechner zwei Variablenfelder: x und log₂(x). Die Notation ist hoffentlich selbsterklärend. Wenn du zum Beispiel log₂(16) finden möchtest, gib 16 in das Feld für x ein und der Taschenrechner berechnet dir den Logarithmus zur Basis von 2 im zweiten Feld. Wenn du log₂(32) berechnen möchtest, gib anstatt 16 32 ein. Beachte auch, dass der Log-2-Rechner von Omni in beide Richtungen funktioniert: Du kannst entweder den Wert von x eingeben und log₂(x) erhalten oder andersherum.

Das ist genug für die heutige Lektion! Geh, mein junger Padawan, und probiere dich mit diesem Taschenrechner oder einem anderen algebraischen Rechner, den wir anbieten, herum.