Gradient Rechner

Willkommen beim Gradient-Rechner. Hier erfährst du, wie du die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte berechnen kannst. Womöglich fragst du dich: „Was ist ein Gradient oder eine Steigung?” Oder wunderst du dich, wie steil zwei Berge im Vergleich zueinander sind? Dann bist du hier genau richtig! Lies weiter, um die Definition des Gradienten zu erfahren.

Wenn du die Steigung einer nicht-linearen Funktion ermitteln möchtest, empfehlen wir dir den Mittlere Änderungsrate Rechner.

Bevor wir uns ansehen, was der Gradient beziehungsweise die Steigung ist, kehren wir zu unserer Berglandschaft und der absolut entscheidenden Frage der Steigung zurück.

Nehmen wir an, du fährst einen Berg hinunter, als dir die große Frage in den Sinn kommt. Du hältst an und denkst darüber nach, bevor du weiterfährst. Wie wir bereits erwähnt haben, brauchst du nur zwei Punkte, um die Steigung zu bestimmen. Warum bist du also nicht ein wenig egozentrisch und wählst dich selbst als... nun ja, Mittelpunkt, also den Punkt (x₁,y₁) = (0,0) auf der Ebene.

Jetzt müssen wir noch einen zweiten Punkt, (x₂,y₂), auf der Steigung oder in der Ebene finden. Du schaust dich um, um einen besonders schönen Baum oder eine hübsche Skifahrerin oder Snowboarder zu finden.

Sag dem Baum oder der Skifahrerin, dass sie still stehen sollen, während du mit deinem Lineal (das du natürlich immer bei dir trägst) misst, wie viel höher/tiefer sie von dir entfernt sind (was y₂ darstellt) und wie weit sie von dir entfernt sind (was x₂ ist). Denke daran, die Entfernung zwischen euch beiden waagerecht zu zählen, nicht parallel zur Steigung. Und da hast du es! Das Verhältnis y₂ / x₂ ist dein Gefälle oder die Steigung des Berges an diesem Punkt.

Dafür, dass deine Referenzpunkte bei deinem kurzen Experiment still geblieben sind, kannst du der Skifahrerin eine heiße Schokolade ausgeben oder den Baum umarmen. Sie haben es sich verdient.

Wenn es um die Definition des Gradienten geht, so handelt es sich um eine mathematische Methode, die zur Messung der Steigung einer Geraden verwendet wird. Stell dir dies als eine Zahl vor, die du einem Hügel, einer Straße, einem Weg usw. zuordnest und die dir sagt, wie viel Anstrengung du beim Radfahren aufbringen musst (bezogen auf den Kalorienverbrauch beim Radfahren). Wenn du bergauf fährst, musst du dich etwas anstrengen, um den Gipfel zu erreichen, also ist die benötigte Energie (d. h. die Steigung) groß. Wenn du bergab fährst, musst du nicht einmal in die Pedale treten, um schneller zu werden, also ist die Anstrengung sogar negativ. Und wenn du auf ebenem Boden unterwegs bist, hilft es weder, noch macht es die Fahrt schwieriger, also ist sie neutral oder hat eine Steigung von null.

Und was, wenn du vor einer senkrechten Steigung stehst? Nun, es ist nicht immer klar, ob du hinunterfallen möchtest (was mühelos geht) oder ob du hinaufklettern möchtest. In diesem Fall ist das Gefälle also nicht definiert.

Wir berechnen den Gradienten auf die gleiche Weise wie die Steigung. Wir bestimmen zwei Punkte und bezeichnen sie mit den kartesischen Koordinaten (x₁,y₁) bzw. (x₂,y₂). Das ist auch die Notation, die im Rechner verwendet wird. Beachte, dass wir im realen Beispiel die gleichen Symbole verwendet haben. Wir möchten sehen, in welchem Verhältnis sie zueinander stehen, d. h. wie hoch der Anstieg auf einer Strecke ist. Dies wird durch die Gradientenformel beschrieben:

Gradient = Anstieg / Länge

wobei Anstieg = y₂ - y₁ und Länge = x₂ - x₁. Der Anstieg gibt an, um wie viel höher/tiefer der zweite Punkt vom ersten entfernt ist, und die Länge gibt an, wie weit (horizontal) sie voneinander entfernt sind. Mehr dazu erfährst du im Anstieg Rechner 🇺🇸.

Jetzt, da wir die Definition des Gradienten kennen, ist es an der Zeit, den Rechner in Aktion zu sehen und gemeinsam Schritt für Schritt durchzugehen, wie man ihn benutzt:

1. Finde zwei beliebige Punkte auf der Geraden, die du untersuchen möchtest, und bestimme ihre kartesischen Koordinaten. Nehmen wir an, wir möchten den Gradienten einer Geraden berechnen, die durch die Punkte (-2,1) und (3,11) verläuft.

2. Nimm die Koordinaten des ersten Punktes und gib sie als x₁ und y₁ in den Rechner ein.

3. Mache dasselbe mit dem zweiten Punkt, diesmal als x₂ und y₂.

4. Der Rechner wird automatisch die Gradientenformel verwenden und (11 - 1) / (3 - (-2)) = 2 berechnen.

5. Freue dich über das Wissen, wie steil der Gradient deiner Geraden ist, und erzähle begeistert deinen Freunden davon!

Du fragst dich vielleicht: „Warte mal, ich glaube, das habe ich schon woanders gesehen. Passiert nicht etwas Ähnliches, wenn du die Steigung oder den Anstieg auf einer Strecke berechnest?” Da hast du vollkommen Recht. Alle drei Begriffe – Gradient, Steigung und Anstieg einer Strecke – beschreiben dasselbe Konzept. Sei also unbesorgt, denn all diese Begriffe sind korrekt.

Du fragst dich vielleicht auch, wie steil die Steigung ist; also was genau uns die 2 im obigen Beispiel sagt. Ist sie sehr steil oder eher nicht? Wird die hübsche Skifahrerin von dieser Zahl beeindruckt sein? Nun, das ist alles eine Frage der Perspektive. Als Anhaltspunkt solltest du dir merken, dass eine Gerade, die parallel zum Horizont verläuft, hier als neutral gilt, da die Steigung gleich null ist. Wenn sie ansteigt (oder fällt), wird sie immer mehr zu einer senkrechten Gerade 🇺🇸 zum Horizont, bei der die Steigung bis ins Unendliche geht, wenn sie ansteigt (oder ins Unendliche sinkt, wenn sie fällt).