Geometrischer Endpunkt Rechner

Created by Maciej Kowalski, PhD candidate
Reviewed by Bogna Szyk and Jack Bowater
Translated by Luise Schwenke and Marcelina Wiśniewska
Last updated: Jan 18, 2024


Willkommen bei Omni's Endpunkt-Rechner. Du lernst hier, wie du den Endpunkt eines Geradenabschnitts bei bekanntem Anfangs- und Mittelpunkt berechnest. Wie du vielleicht schon vermutet hast, hängt dieses Thema mit der Berechnung des Mittelpunkts zusammen, weshalb die Formel des Mittelpunktrechners sehr ähnlich ist. Bevor wir uns die Details anschauen, gehen wir die Endpunktdefinition in der Geometrie durch, um besser zu verstehen, womit wir es hier zu tun haben.

Also, lehne dich zurück, koche dir eine Tasse Tee und lass uns loslegen!

Definition des Endpunktes in der Geometrie

Umgangssprachlich ausgedrückt ist ein Endpunkt ein Punkt, der am Ende liegt. Wir sind sicher, dass diese Aussage für dich genauso ein Schock war wie für uns, als wir sie zum ersten Mal hörten.

In ihrer einfachsten Form bezieht sich die Endpunkt-Definition in der Geometrie auf Geradenabschnitte, d. h. auf gerade Linien, die zwei Punkte verbinden. Ja, du hast es erraten – diese Punkte werden Endpunkte genannt. Beachte, dass nach dieser Definition jede Stecke zwei Endpunkte hat (es sei denn, es handelt sich um den speziellen Fall, dass sie derselbe Punkt sind, d. h. das Intervall ein einziger Punkt ist).

Eine Strecke hat zwei Endpunkte.

Der Einfachheit halber bezeichnen wir einen davon als Anfangspunkt. Bedenke aber, dass der Anfang genauso gut das Ende sein kann, wenn du die Gerade von der anderen Seite aus betrachtest.

Das klang jetzt gruselig philosophisch, findest du nicht auch? Aber lassen wir die „Wer sind wir und wer wollen wir sein?“ Fragen für schlaflose Nächte. Wir sollten uns auf die erwähnten Geradenabschnitte konzentrieren und darauf, wie wir ihre Endpunkte finden.

Wie wird der Endpunkt ermittelt?

Um den Endpunkt zu ermitteln, müssen wir zunächst einen Bezugspunkt definieren. Mit anderen Worten: Da wir es mit einer Strecke und einer ihrer Komponenten zu tun haben, müssen wir wissen, wie der Rest von der Strecke aussieht.

Die einfachste und häufigste Situation ist, dass uns der Endpunkt fehlt, während wir den Anfangs- und den Mittelpunkt kennen. Letzterer ist, wie der Name schon sagt, einfach der Punkt, der die Mitte der Strecke markiert. Das ist alles, was wir brauchen, um den Endpunkt zu finden; schließlich muss er am anderen Ende des Mittelpunkts als der Startpunkt liegen und vom Mittelpunkt gleich weit entfernt sein.

Intuitiv können wir also bereits geometrisch beschreiben, wie wir den Endpunkt finden.

  1. Ausgehend vom Startpunkt AA und dem Mittelpunkt BB, zeichne die Strecke, die die beiden Punkte verbindet.
  2. Ziehe eine Linie, die von BB weiter weg von AA und nach Gott-weiß-wohin führt.
  3. Miss den Abstand von AA zu BB und markiere den gleichen Abstand von BB in die andere Richtung.
  4. Führe einen Siegestanz auf.

🔎 Wenn es schneller gehen muss oder du gerade kein Lineal parat hast, kannst du natürlich, anstatt Linien zu zeichnen, unseren Abstandsrechner für zwei gegebene Punkte verwenden.

Das Zeichnen von Linien kann ohne die richtige Ausrüstung schwierig sein.

Wie auch immer, für Leute, die Zahlen und Berechnungen bevorzugen (und wir könnten tatsächlich behaupten, dass wir diese Leute sind), werden wir uns im nächsten Abschnitt darauf konzentrieren, wie der Endpunkt algebraisch ermittelt wird. Keine Angst vor dem Wort „algebraisch” - gleich wirst du sehen, dass es „einfach und mühelos” bedeutet – wie das Motto unseres Endpunktrechners.

Formel für den geometrischen Endpunkt

In der Koordinatengeometrie befassen wir uns mit Objekten, die in den sogenannten euklidischen Raum eingebettet sind. Wir schauen uns seine mathematische Definition jetzt nicht im Detail an. Für unsere Zwecke reicht es, wenn wir wissen, dass in solchen Räumen Punkte, wie z. B. AA oder BB, zwei Koordinaten haben: A=(x1,y1)A = (x_1, y_1) und B=(x2,y2)B = (x_2, y_2).

Die Zahlen x1x_1 und x2x_2 kennzeichnen die Position der Punkte in Bezug auf die horizontale Achse (meist mit xx bezeichnet), während y1y_1 und y2y_2 für die vertikale Achse verwendet werden (meist mit yy bezeichnet). Zusammen definiert ein solches Zahlenpaar (x1,y1)(x_1, y_1) einen Punkt im Raum. Außerdem helfen uns die Koordinaten bei der Analyse von komplizierteren Objekten in unserem euklidischen Raum. Sie kommen zum Beispiel in der Endpunktformel vor.

Nehmen wir an, du hast eine Strecke, die von A=(x1,y1)A = (x_1, y_1) nach... na ja, wir wissen es noch nicht, geht. Schauen wir uns also an, wie du den Endpunkt B=(x2,y2)B = (x_2, y_2) findest, wenn der Mittelpunkt M=(x,y)M = (x, y) bekannt ist.

Aus der Definition des Mittelpunkts wissen wir, dass der Abstand von AA zu MM gleich sein muss wie der von MM zu BB, BB liegt nur auf der gegenüberliegenden Seite von AA. Um BB zu finden, reicht es also, MM entlang der Linie, die durch AA und MM geht, um die gleiche Länge wie die der Strecke AMAM, zu „verschieben”. Du kannst dich auch mathematisch ausdrücken und sagen, dass MM um den Vektor 🇺🇸 AMAM verschoben wird.

Wir erhalten:

x2=x+(xx1)=2xx1x_2 = x + (x - x_1) = 2x - x_1 und

y2=y+(yy1)=2yy1y_2 = y + (y - y_1) = 2y - y_1.

Du findest in diesem Absatz alle theoretischen Informationen, die du brauchst.

💡 Der Endpunkt eines Geradenabschnitts, der von A=(x1,y1)A = (x_1, y_1) zu einem Mittelpunkt M=(x,y)M = (x, y) führt, ist der Punkt B=(2xx1,2yy1)B = (2x - x_1, 2y - y_1).

Beachte, dass wir oben die Gerade erwähnt haben, die durch AA und MM verläuft. Solche Linien sind sehr hilfreich, wenn du lernst, den Endpunkt oder den Mittelpunkt zu finden. Schließlich befindet sich die Strecke ABAB auf dieser Linie.

Puh, das war viel Theorie! Wie wäre es, wenn wir diesen technischen Hokuspokus sein lassen und uns ein Rechenbeispiel ansehen?

Beispiel: Verwendung des Rechners für unbekannte Endpunkte

Angenommen, du hast vor vier Monaten angefangen, Videos auf YouTube zu veröffentlichen. Nichts Ausgefallenes, nur ein paar Kochrezepte, die in deiner Region traditionell sind. Es begann als Hobby, aber den Leuten scheint die Show zu gefallen, und du siehst, dass die Zahl der Zuschauer mit der Zeit linear steigt. Warum versuchen wir nicht, den fehlenden Endpunkt mit unserem Rechner zu finden, um zu überprüfen, wie viele Zuschauer du in vier Monaten erwarten kannst?

Beachte zunächst, dass das Problem zwar überhaupt nicht nach Geometrie aussieht, wir die Antwort aber tatsächlich mithilfe der Endpunktdefinition finden können. Der Startpunkt, also Monat Null, war der Zeitpunkt, an dem du angefangen hast, die Videos zu veröffentlichen. Wir hatten zu diesem Zeitpunkt 0 Zuschauer. Jetzt sind wir bei Monat vier, dem Mittelpunkt (denn wir wollen die Anzahl der Zuschauer in weiteren vier Monaten ermitteln). Mit anderen Worten: der Endpunkt wird unsere Antwort sein.

Nehmen wir an, dass du derzeit 54 000 Abonnenten hast, und versuchen wir, all diese Daten so zu übersetzen, dass der Endpunkt-Rechner versteht, was wir von ihm wollen.

Nach dem obigen Abschnitt brauchen wir, um die Antwort zu finden, den Startpunkt und den Mittelpunkt. Bezeichnen wir sie mit A = (x₁, y₁) und M = (x, y). Für uns bezeichnen die x die Nummer des Monats, in dem wir uns befinden, und die y die Anzahl der Zuschauer. Da unser Startpunkt der Monat Null war und wir derzeit bei 4 Monaten sind, haben wir (und können dies in den Endpunkt-Rechner eingeben):

x₁ = 0,

x = 4.

Jetzt ist es Zeit für die Abonnenten. Auch hier war der Startpunkt 0, während wir jetzt, nach vier Monaten, bei 54 000 sind. Wir haben also:

y₁ = 0,

y = 54 000.

Sobald wir all diese Daten in den Endpunktrechner eingegeben haben, rechnet er die Antwort aus. Aber wir möchten sie noch nicht verraten! Wie wäre es, wenn wir den Endpunkt mithilfe der Endpunktformel zusätzlich selbst ermitteln?

Nimm dir ein Blatt Papier und erinnere dich an die Informationen, die wir bereits oben erwähnt haben. Unser Startpunkt war im Monat Null mit null Abonnenten, was bedeutet, dass unser Startpunkt A = (0, 0) ist. Jetzt sind wir bei Monat vier mit 54 000 Abonnenten, das ist die Hälfte von dem, was wir berechnen möchten. Das bedeutet, dass unser Mittelpunkt bei (454 000) liegt.

Jetzt müssen wir nur noch die Endpunktformel aus dem obigen Abschnitt anwenden. Wenn wir die Koordinaten des Endpunkts mit B = (x₂, y₂) bezeichnen, dann ist:

x₂ = 2 ∙ 4 - 0 = 8,

y₂ = 2 ∙ 54 000 - 0 = 108 000.

Das bedeutet, dass wir, wenn der Trend anhält, in vier Monaten 108 000 Abonnenten erreichen sollten.

FAQ

Wie finde ich einen unbekannten Endpunkt?

Angenommen, du hast einen Endpunkt A = (x₁, y₁) und einen Mittelpunkt M = (x, y):

  1. Verdopple die Koordinaten des Mittelpunktes: 2x, 2y.

  2. Subtrahiere die x-Koordinate des bekannten Endpunkts von der x-Koordinate des Mittelpunktes, um die x-Koordinate des fehlenden Endpunkts zu erhalten: x₂ = 2x - x₁.

  3. Subtrahiere die y-Koordinate des bekannten Endpunkts von der y-Koordinate des Mittelpunktes, um die y-Koordinate des fehlenden Endpunkts zu erhalten: y₂ = 2y - y₁.

  4. Super, du hast den fehlenden Endpunkt gefunden: B = (x₂, y₂).

Können einer der Endpunkte und der Mittelpunkt dieselben Koordinaten haben?

Nein. Wenn der Endpunkt und der Mittelpunkt die gleichen Koordinaten haben, ist der Abstand zwischen ihnen gleich null. Folglich muss auch der zweite Endpunkt die exakten Koordinaten haben, und alle drei sind ein einziger Punkt, keine Strecke.

Was ist der andere Endpunkt eines Geradenabschnitts mit einem Endpunkt bei (1,3) und einem Mittelpunkt bei (3,5)?

Um den zweiten Endpunkt zu finden:

  1. Verdopple die Koordinaten des Mittelpunktes:
    2x = 6, 2y = 10.

  2. Subtrahiere die x-Koordinate des bekannten Endpunktes vom ersten Wert:
    6 - 1 = 5.

  3. Subtrahiere die y-Koordinate des bekannten Endpunktes vom zweiten Wert:
    10 - 3 = 7.

  4. Die resultierenden Differenzen ergeben die x- und y-Koordinaten des fehlenden Endpunkts:
    B = (5,7).

Wie groß ist der Abstand zwischen den beiden Endpunkten (3,5) und (6,6)?

Um den fehlenden Abstand zu ermitteln:

  1. Finde die Differenzen zwischen den entsprechenden Koordinaten:
    Δx = 6 - 3 = 3, Δy = 6 - 5 = 1.

  2. Quadriere beide Differenzen:
    (Δx)² = 3² = 9, (Δy)² = 1² = 1.

  3. Addiere diese beiden Werte:
    (Δx)² + (Δy)² = 9 + 1 = 10.

  4. Berechne die Quadratwurzel aus der Summe:
    √((Δx)² + (Δy)²) = √10.

  5. Gut gemacht! Die gesuchte Entfernung beträgt √10, das ist etwa 3,16.

Maciej Kowalski, PhD candidate
A graph showing how to find the endpoint of a segment on the Cartesian plane
Starting point coordinates
x₁
y₁
Midpoint coordinates
x
y
Endpoint coordinates
x₂
y₂
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