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Einheitsvektor Rechner

Created by Bogna Szyk and Hanna Pamuła, PhD
Reviewed by Steven Wooding
Translated by Luise Schwenke and Karolina Kopczyński
Last updated: Jun 29, 2024


Dieser Einheitsvektor-Rechner hilft dir, jeden beliebigen Vektor in einen Vektor der Länge 1 umzuwandeln, ohne seine Richtung zu ändern. Wenn du wissen möchtest, wie man die Koordinaten eines Einheitsvektors berechnet, bist du hier genau richtig! Du erhältst das Ergebnis, indem du die Koordinaten eines beliebigen Vektors durch seinen Vektorbetrag teilst. Mach dir aber keine Sorgen, wenn du nicht weißt, wie man den Vektorbetrag berechnet. In diesem Artikel wird es dir Schritt für Schritt erklärt.

🔎 Um die Länge eines anderen Vektors zu berechnen, probiere unseren Vektorbetrag Rechner 🇺🇸 aus.

Was ist ein Einheitsvektor?

Ein Einheitsvektor ist ein Vektor der Länge 1. Wenn wir einen Einheitsvektor verwenden, um eine Raumrichtung zu beschreiben, nennen wir ihn einen Richtungsvektor. In einem kartesischen Koordinatensystem sind die drei Einheitsvektoren, die die Grundlage des dreidimensionalen Raums bilden, folgende:

  • (1, 0, 0) — Beschreibt die x-Richtung;
  • (0, 1, 0) — Beschreibt die y-Richtung; und
  • (0, 0, 1) — Beschreibt die z-Richtung.

Jeder Vektor in einem dreidimensionalen Raum ist gleich einer Summe von Einheitsvektoren.

Formel für den Einheitsvektor

Wenn du einen beliebigen Vektor erhältst, kannst du berechnen, was der Einheitsvektor entlang der gleichen Richtung ist. Dazu musst du die folgende Formel anwenden:

  • û = u / |u|,

wobei:

  • û — Einheitsvektor;
  • u — Beliebiger Vektor in der Form (x, y, z); und
  • |u| — Vektorbetrag des Vektors u.

Du kannst den Vektorbetrag eines Vektors mit unserem Entfernungsrechner oder einfach mit der folgenden Gleichung berechnen:

  • |u| = √(x² + y² + z²).

Das Berechnen des Vektorbetrags ist auch wichtig, um den Mittelpunkt eines Segments zu finden.

Der Einheitsvektor ist ein nützliches Konzept zur Beschreibung von linearen Transformationen. Die Matrixnorm beschreibt zum Beispiel, wie sehr ein Einheitsvektor gestreckt wird, wenn er mit einer Matrix multipliziert wird.

🙋 Wenn du dich näher mit der Vektor-Algebra befassen möchtest, hilft dir vielleicht unser Vektoraddition Rechner.

So berechnest du den Einheitsvektor

Betrachten wir ein Beispiel für einen Vektor u = (8, -3, 5). Um den Einheitsvektor in der gleichen Richtung zu berechnen, führe folgende Schritte aus:

  1. Schreibe die x-, y- und z-Koordinaten des Vektors auf. In diesem Fall ist x₁ = 8, y₁ = -3 und z₁ = 5.

  2. Berechne den Vektorbetrag des Vektors u:

    |u| = √(x₁² + y₁² + z₁²)

    |u| = √(8² + (-3)² + 5²)

    |u| = √(64 + 9 + 25)

    |u| = √98

    |u| = 9,9

  3. Da du nun den Vektorbetrag u kennst, möchtest du wahrscheinlich wissen, wie man den Einheitsvektor berechnet. Alles, was du tun musst, ist, jede Koordinate des Ausgangsvektors durch |u| zu dividieren.

    x₂ = x₁ / |u| = 8 / 9,9 = 0,8081

    y₂ = y₁ / |u| = -3 / 9,9 = -0,3031

    z₂ = z₁ / |u| = 5 / 9,9 = 0,5051

  4. Schreibe diese Ergebnisse nun in Vektorform, um den Vektor û = (0,8081, -0,3031, 0,5051) zu finden.

  5. Du kannst überprüfen, ob das Ergebnis richtig ist. Wenn ja, sollte der Vektorbetrag deines Einheitsvektors gleich 1 sein.

FAQ

Wie berechne ich einen Einheitsvektor in der gleichen Richtung?

Dividiere den ursprünglichen Vektor durch seinen Vektorbetrag. Zum Beispiel hat der Vektor u = (2, 3) einen Vektorbetrag von √(2² + 3²) = √13. Der Einheitsvektor, der die gleiche Richtung hat, ist also û = (2/√13, 3/√13) = (0,5547, 0,832).

Ist (1, 1) ein Einheitsvektor?

Nein. Die Länge eines Einheitsvektors muss gleich 1 sein. Wenn wir die Länge von (1, 1) berechnen, ergibt sich √(1² + 1²) = √2 = 1,414, was nicht gleich 1 ist.

Was ist der Vektorbetrag eines Einheitsvektors?

Der Vektorbetrag bzw. die Länge eines Einheitsvektors ist 1.

Was ist die Einheitsvektor-Notation?

Die Notation, die du zur Bezeichnung eines Einheitsvektors verwendest, setzt einen Zirkumflex oder einen „Hut” über den Kleinbuchstaben, der den Vektor darstellt. Für den Vektor u zum Beispiel wird sein Einheitsvektor als û geschrieben.

Bogna Szyk and Hanna Pamuła, PhD
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Dimension
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Original vector
x
y
Direction angle θ
deg
Magnitude
💡 The x and y components are squared in the formula for the vector magnitude. Because of this, you can use either negative or positive values and still get the same magnitude.
Unit vector
x
y
Magnitude
1
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