Binärzahlen Rechner

Der Binärzahlen-Rechner macht das Ausführen von Rechenoperationen für Binärzahlen (Dualzahlen) einfach. Er erklärt, wie binäre Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchgeführt werden und führt alle Berechnungen in vorzeichenbehafteter und vorzeichenloser Darstellung aus.

Binäre Zahlen sind Zahlen zur Basis 2, die nur aus den Ziffern 0 und 1 bestehen. Sie sind eine Folge von Bits, die nur zwei logische Zustände darstellen können, z. B. ein oder aus; ja oder nein.

Da uns Rechenoperationen wie Addition und Subtraktion im Dezimalsystem beigebracht werden, können binäre Rechenoperationen anfangs etwas schwierig erscheinen. Nach diesem Artikel wirst du sehen, dass es gar nicht so anspruchsvoll ist! Binärzahlen haben zudem die großartige Eigenschaft, nur Operationen zulassen, die auf dieses Zahlensystem beschränkt sind, wie z. B. Bitverschiebungen und die bitweisen Operationen AND, OR und XOR.

Binärzahlen können in Dezimalzahlen umgewandelt werden und andersherum. Negative Werte von Binärzahlen stellen wir in einer sogenannten Zweierkomplementdarstellung mit Vorzeichen dar, bei der das erste Bit das Vorzeichen der Zahl angibt, wobei 0 negativ und 1 positiv bedeutet. Unser Zweierkomplement Rechner kann dir bei dieser Umrechnung helfen.

Die Grundlage für einen funktionierenden Binärzahlen-Rechner ist die binäre Addition. Sie funktioniert ganz ähnlich wie die dezimale Addition. Es gibt 4 Hauptregeln:

• 0 + 0 = 0,
• 0 + 1 = 1,
• 1 + 0 = 1, und
• 1 + 1 = 0 (übertrage 1 zum nächsten Bit).

Schaue dir das im Detail in unserem Binäre Addition Rechner an.

Wenn du diese Regeln anwendest, beginnst du mit dem ganz rechten (niederwertigsten) Bit und kannst so ganz einfach Binärzahlen addieren. Im folgenden Beispiel findest du eine weitere Erklärung:

Die binäre Subtraktion kann auf zwei verschiedene Arten ausgeführt werden:

• Die Borgen-Methode entspricht dem dezimalen Subtraktionsverfahren.
• Die Komplementmethode ersetzt den Subtrahenden durch sein Zweierkomplement und führt dann eine binäre Addition aus, wie oben gezeigt.

Dieser Artikel zeigt nur die Borgen-Methode, für die folgende Regeln gelten:

• 0 - 0 = 0,
• 0 - 1 = 1 (Borge 1 vom nächsten Bit),
• 1 - 0 = 1, und
• 1 - 1 = 0.

Schaue dir das im Detail in unserem Binäre Subtraktion Rechner an.

Auch hier fangen wir mit dem rechten, niederwertigsten Bit an und arbeiten uns nach links vor. Im folgenden Beispiel zeigen wir, wie man die binäre Subtraktion durchführt:

Die binäre Multiplikation ist der dezimalen schriftlichen Multiplikation sehr ähnlich, nur einfacher, da wir nur mit den Ziffern 0 und 1 arbeiten. Sie basiert auf dem Konzept der binären Addition. Auch hier gibt es vier Grundregeln:

• 0 ∙ 0 = 0,
• 0 ∙ 1 = 0,
• 1 ∙ 0 = 0, und
• 1 ∙ 1 = 1.

Im folgenden Beispiel zeigen wir, wie man die binäre Multiplikation durchführt:

Die binäre Division ist der dezimalen schriftlichen Division sehr ähnlich. Das Verfahren besteht aus binären Multiplikations- und Subtraktionsschritten. Beginnend mit dem linken (höchstwertigen Bit) wird untersucht, ob die aktuelle Ziffer des Quotienten durch den Divisor geteilt werden kann. Wenn ja, wird an dieser Stelle des Quotienten eine 1 notiert; wenn nicht, eine 0. Der Rest des Divisionsvorgangs wird beibehalten und die nächste Ziffer wird dazu addiert. Dieser Vorgang wird so lange wiederholt, bis das ganz Rechte (das niedrigst-wertige Bit) erreicht ist.

Ein Beispiel: Teilen wir 101010 (den Dividend) durch 110 (den Divisor):

Nicht jede binäre Division funktioniert perfekt mit dem Rest 0. Deshalb wird der Binärzahl-Rechner dein binäres Divisionsergebnis mit dem Rest im Binär- und Dezimalsystem anzeigen.

Du weißt nun, wie binäre Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division funktionieren, aber diese Operationen können bei großen binären Zahlen ziemlich kompliziert und verwirrend werden. Keine Sorge, dafür gibt es ja den Rechner! Schauen wir uns also an, wie man ihn verwendet. Als Beispiel möchten wir das binäre Äquivalent der Dezimalzahl 38 von 115 subtrahieren. Um Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln und umgekehrt, verwende unseren Binärzahl-Dezimal Umrechner 🇺🇸.

1. Wähle deine Binärdarstellung. Das ist die Anzahl der Bits deiner Eingabe, in der dein Ergebnis dargestellt werden soll. Bedenke, dass die Operationen Addition und Multiplikation höchstwahrscheinlich ein Ergebnis mit mehr signifikanten Bits als die Eingangszahlen haben werden.

   • Unsere größere Eingangszahl, 1110011 (115 als Dezimalzahl), hat 7 signifikante Bits, und wir führen eine Subtraktion durch, also reichen 8 Bits aus.

2. Gib deine Binärzahlen in die entsprechenden Felder ein. Achte auf die Reihenfolge der Eingaben, denn Subtraktion und Division sind davon abhängig.

   • Wir möchten 38 von 115 subtrahieren, also ist die erste Eingabe 1110011, und die zweite Eingabe ist 100110.

3. Wähle die arithmetische Binäroperation aus.

   • In unserem Fall die Subtraktion.

4. Das Ergebnis deiner arithmetischen Binäroperation wird im Binär- und Dezimalsystem dargestellt.

   • Binär: 0100 1101
   • Dezimal: 77

Wenn dein binäres Ergebnis im höchstwertigen Bit den Wert 1 hat und als positives Ergebnis in vorzeichenloser Notation oder als negatives Ergebnis in vorzeichenbehafteter Notation verstanden werden kann, werden beide Ergebnisse angezeigt.

Binärzahlen (Dualzahlen) ermöglichen die gleichen arithmetischen Berechnungen wie Zahlen des Dezimalsystems. Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division lassen sich mit Binärzahlen leicht durchführen. Außerdem können bitweise Operationen wie Bitverschiebungen, logisches AND, OR und XOR durchgeführt werden.

Die Binäraddition funktioniert ähnlich wie die Dezimaladdition. Beginnend mit dem niedrigst-wertigen Bit addierst du die Werte der Bits von jedem Summanden. Wenn beide Summanden den Wert 1 auf diesem Bit haben, trage eine 1 in das nächsthöhere Bit des Ergebnisses ein.

Die binäre Subtraktion kann auf zwei Arten durchgeführt werden:

• Die Borgen-Methode ist ähnlich wie die Dezimal-Subtraktion. Beginnend mit dem niedrigst-wertigen Bit, ziehst du den Wert des Subtrahenden vom niedrigsten Bit ab. Ist Ersteres 1 und Letzteres 0, leihe dir eine 1 vom nächsthöheren Bit.
• Die Komplementmethode führt eine Addition des Minuends und des Zweierkomplements des Subtrahend durch.

Binäre und bitweise Operationen werden aufgrund ihrer Vorteile bei der Leistung und dem Speicherbedarf häufig eingesetzt. Dazu gehören zum Beispiel Register in Prozessoren, eingebettete Systeme, Datenübertragung und Video- und Audiocodecs.

Um die Binärzahlen 3 und 10 zu addieren, befolge diese Schritte:

1. Wandle die Zahlen von Dezimal- in Binärzahlen um: 0011 und 1010.

2. Addiere die Werte des vierten Bits:

   1 + 0 = 1

3. Addiere die Werte des dritten Bits:

   1 + 1 = 0, übertrage 1 zum nächsten Bit.

4. Addiere die Werte des zweiten Bits:

   0 + 0 + 1 übertragen = 1.

5. Addiere die Werte des ersten Bits:

   0 + 1 = 1

6. Deine Summe ist 1101, oder 13 im Dezimalsystem.