Zweierkomplement Rechner

Der Zweierkomplement Rechner (oder 2-Komplement-Rechner) ist ein gutes Mittel zur Bestimmung der Gegenzahl einer beliebigen Binärzahl sowie zur Umwandlung eines Zweierkomplements in die entsprechende Dezimalzahl. Hier erfährst du, was die Zweierkomplementdarstellung ist und wie man mit negativen Binärzahlen umgeht. In diesem Text findest du ebenfalls heraus, wie dieser Zweierkomplement Rechner genau funktioniert und wie du selbstständig jede vorzeichenbehaft binär in dezimal umwandeln kannst.

Im Binärsystem sind alle Zahlen eine Kombination aus zwei Ziffern, $0$ oder $1$. Jede Ziffer einer binären Zahl entspricht einer aufeinanderfolgenden Potenz von 2, von rechts ausgehend.

Zum Beispiel ist $12$ im Binärsystem $1100$, da $12 = 8 + 4 = 1\cdot2^3 + 1\cdot2^2 + 0\cdot2^1 + 0\cdot2^0$ (in wissenschaftlicher Schreibweise). Das Hexadezimalsystem ist eine erweiterte Version des Binärsystems (welches die Basis 16 statt der Basis 2 verwendet). Es wird häufig in Computerprogrammen und -systemen verwendet. Wenn du mehr darüber erfahren möchtest, schau dir unseren Dezimal-Hexadezimal Umrechner 🇺🇸 an.

Wenn man sich mit dem Binärsystem beschäftigt, tauchen natürlich viele Fragen auf: Was ist mit negativen Binärzahlen? Oder wie subtrahiere ich Binärzahlen? Da wir nur $1$ verwenden können, um zu zeigen, dass etwas vorhanden ist, oder $0$, um zu sagen, dass etwas fehlt, gibt es zwei Hauptansätze:

1. Zweierkomplementdarstellung oder Notation mit Vorzeichen (signed notation auf Englisch) – das erste Bit gibt das Vorzeichen an. Die Konvention besagt, dass eine Zahl mit einer führenden $1$ negativ ist, während eine führende $0$ einen positiven Wert signalisiert. Mit der 8-Bit-Darstellung können wir alle Zahlen von -128 bis 127 repräsentieren. Der Name dieser Darstellung basiert darauf, dass eine negative Zahl das Zweierkomplement einer positiven Zahl ist.

2. Notation ohne Vorzeichen (unsigned notation auf Englisch) – eine Darstellung, die nur positive Werte erlaubt. Ihr Vorteil gegenüber der Notation mit Vorzeichen ist, dass wir in demselben 8-Bit-System alle Zahlen zwischen 0 und 255 darstellen können.

Die vorzeichenlose Notation ist ausreichend, wenn wir positive Zahlen addieren oder multiplizieren wollen. In der Regel ist es aber praktischer, auch mit negativen Zahlen zu rechnen. Das Nützliche an der Binär-Komplement-Darstellung ist, dass Subtraktion als Addition einer negativen Zahl ausgedrückt werden kann.

Wenn du eine Dezimalzahl in einen Binärwert in der Zweierkomplementdarstellung umwandeln willst, musst du folgende Schritte beachten:

1. Wähle die Anzahl der Bits in deiner Notation. Je höher der Wert, desto größer ist der Zahlenbereich, den du darstellen kannst.

2. Tippe eine beliebige ganze Dezimalzahl ein, welche innerhalb des Bereichs liegt, der unter dem Feld Dezimal zu Binär angezeigt wird.

3. ... und das war's – der 2-Komplement-Rechner übernimmt den Rest! Er zeigt die entsprechende Binärzahl und ihr Zweierkomplement an.

Willst du das Ergebnis selber ausrechnen? Wir verraten dir, wie das der „Zweierkomplement Rechner“ macht:

1. Wähle die Anzahl der Bits in der Binärdarstellung. Nehmen wir an, wir wollen Werte im 8-Bit-System darstellen.

2. Schreibe deine Zahl auf, z.B. 16. Im Binärsystem ist 16 gleich $1\ 0000$.

3. Füge ein paar führende $0$ hinzu, sodass die Zahl acht Ziffern hat, $0001\ 0000$. So sieht 16 als Zweierkomplement aus.

Und was ist mit dem Gegenteil, $-16$?

4. Ersetze jede Ziffer durch ihr Gegenteil ($0\rightarrow1$ und $1\rightarrow0$). Für unser Beispiel erhalten wir $0001 \ 0000 \rightarrow 1110\ 1111$.

5. Addiere 1 dazu, $1110\ 1111 + 1 = 1111\ 0000$.

6. In der Zweierkomplementdarstellung und Dezimalschreibweise ist $1111\ 0000$ gleich $-16$ und stellt das 2-Komplement von $0001\ 0000$ dar.

Wie du siehst, ist das Auswerten negativer Binärzahlen keine große Sache, solange du das Ersetzen von Ziffern und das Addieren einer Eins zu einem Binärwert beherrschst!

Unser Zweierkomplement Rechner funktioniert auch andersrum – er wandelt jedes 2er-Komplement in seinen Dezimalwert um. Versuchen wir $1011\ 1011$, eine vorzeichenbehaftete Binärzahl, in eine Dezimalzahl umzuwandeln. Zwei nützliche Methoden können dabei behilflich sein:

Methode 1

Wandle diese vorzeichenbehaftete Binärzahl wie üblich in eine Dezimalzahl um, aber multipliziere die Zweierpotenz, die der führenden Ziffer entspricht, mit $-1$ statt mit $1$. Beginne von rechts:

Methode 2

Wir sehen, dass die erste Ziffer $1$ ist, also ist unsere Zahl negativ. Finde zunächst ihr 2er-Komplement, wandle den Wert in eine Dezimalzahl um und komme dann auf den ursprünglichen Wert zurück:

1. Ersetze die Ziffern, $1011\ 1011 \rightarrow 0100\ 0100$.
2. Addiere eine Eins, $0100\ 0100 + 1 = 0100\ 0101$.
3. Konvertiere die Binärzahl in eine Dezimalzahl (von rechts ausgehend),

4. $\rm{dezimal} = 1 + 4 + 64 = 69$.
5. Da $69$ der absolute Wert unserer ursprünglichen (negativen) Binärzahl ist, setze ein Minuszeichen davor.
6. $1011\ 1011$ ist $-69$ in Zweierkomplement-Binärschreibweise.

Wenn du das 2er-Komplement einer ganzen Zahl in der 8-Bit-Darstellung suchst, kann diese Tabelle hilfreich sein. Du kannst sowohl den Wert als auch seine Zweierkomplementdarstellung in der gleichen Zeile sehen.

Wenn du mit einer anderen Anzahl von Bits rechnen möchtest, benutze einfach unseren Zweierkomplement-Rechner, um dir Zeit und Mühe zu sparen!

Das Zweierkomplement ist eine Art der Binärdarstellung von negative Zahlen, wenn kein Minuszeichen zur Verfügung steht. Das Minuszeichen wird in der Zweierkomplementdarstellung durch eine Ziffer ersetzt, was normalerweise an der führenden Stelle der Binärzahl geschieht.

• Wenn die führende Ziffer 0 ist, ist die Zahl positiv.
• Wenn die führende Ziffer 1 ist, ist die Zahl negativ.

So berechnest du das Zweierkomplement einer Zahl:

1. Wenn die Zahl negativ ist, subtrahiere sie von der Zweierpotenz mit der Anzahl der Bits deiner gewählten Darstellung als Exponenten.
2. Wandle die Zahl in ihre Binärform um.
3. Wenn die Zahl negativ war, füge an der richtigen Stelle eine 1 hinzu und hänge so oft 0 vorne an, bis du die gewünschte Länge erreicht hast.
4. Wenn die Zahl positiv war, hänge ebenfalls die nötigen 0 vorne an.

Bei der Zweierkomplement-Notation fällt eine Stelle für unsere Binärdarstellung weg. Das bedeutet, dass wir mit einer 8-Bit-Darstellung Zahlen von -2⁷ = -128 bis 2⁷-1 = 127 abbilden können. Hätten wir auf die Verwendung negativer Zahlen verzichtet, könnten wir mit 8-Bits-Zahlen von 0 bis 2⁸-1 = 255 repräsentieren.

Die 8-Bit-Zweierkomplementdarstellung von -37 ist 11011011₂. Um dieses Ergebnis zu finden:

1. Subtrahiere 37 von 2⁷: 128 - 37 =91.
2. Finde die binäre Darstellung von 91:
   91 = 64 + 16 + 8 + 2 + 1
   = 1-2⁶ + 0-2⁵ + 1-2⁴ + 1-2³ + 0-2² + 1-2¹ + 1-2⁰
   =1011011
3. Setze 1 an der richtigen Stelle ein, um zu kennzeichnen, dass es sich um eine negative Zahl handelt:
   -37₁₀ = 11011011₂