Arithmetische Reihe Rechner

Mit diesem Rechner kannst du die Summe einer unendlichen Reihe, die eine geometrische Konvergenz hat, sowie die Teilsumme einer arithmetischen oder geometrischen Reihe berechnen. Dieser Arithmetische-Reihe-Rechner kann dir auch helfen, die Konvergenz oder Divergenz einer Folge zu berechnen.

Oft möchten wir die Summe 🇺🇸 einer Folge berechnen. Um das zu tun, ist es hilfreich zu wissen, ob es sich um eine arithmetische oder geometrische Folge handelt. Bei einer arithmetischen Folge ist die Differenz zwischen jedem Paar aufeinanderfolgender Terme konstant, während bei einer geometrischen Folge das Verhältnis zwischen jedem Paar aufeinanderfolgender Terme konstant ist.

Betrachten wir zum Beispiel die folgende Reihe mit den ersten 10 ungeraden Zahlen:
$\footnotesize 1\! +\! 3\! +\! 5\! +\! 7\! +\! 9\! +\! 11\! +\! 13\! +\! 15\! +\! 17\! +\! 19$

Dies ist eine arithmetische Reihe, da die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zahlenpaaren 2 ist. Wir können die Summe mit der folgenden Formel ermitteln:

$S_n = \frac{n}{2}\ [2a + (n - 1) d]$,

wobei:

• $n$ – die Anzahl der Terme ist;
• $a$ – der erste Term ist; und
• $d$ – die gemeinsame Differenz ist.

Mit der obigen Formel können wir auch die Teilsumme einer unendlichen arithmetischen Reihe berechnen. Im obigen Beispiel lautet die Summe von 10 Termen also:

$S_{10} = \frac{10}{2}\ [2\cdot+ (10 - 1)\cdot2]$

$S_{10} = 100$

Wenn wir eine geometrische Folge haben, verwenden wir eine andere Formel, um die Summe zu ermitteln.

Um zu wissen, wie man die Summe einer Reihe in geometrischer Progression findet, können wir entweder die Formel für die endliche oder die unendliche Summe verwenden. Eine geometrische Reihe kann konvergieren oder divergieren, je nach dem Wert des Standardverhältnisses $r$.

Um zu entscheiden, ob eine geometrische Reihe konvergiert oder divergiert, können wir die folgende Richtlinie auf der Grundlage des Standardverhältnisses $r$ anwenden:

• Wenn $|r| > 1$, dann divergiert die geometrische Reihe und ihre Summe zu unendlichen Termen kann nicht bestimmt werden.
• Wenn $|r| < 1$, dann geht die geometrische Reihe in eine unendliche Summe über und wir können die Summe der unendlichen Reihe berechnen.
• Wenn $|r| = 1$, dann ist die geometrische Reihe periodisch und ihre Summe zu unendlichen Termen kann nicht bestimmt werden.

Um die Teilsumme einer geometrischen Reihe bis zu einer bestimmten Anzahl von Termen zu berechnen, verwenden wir die Formel:

$S_n = \frac{a_1\cdot (1-r^n)}{1-r}$,

wobei

• $a_1$ – der erste Term ist;
• $r$ – das Standardverhältnis ist; und
• $n$ – die Anzahl der Terme ist.

Um die Summe einer Reihe mit geometrischer Konvergenz auf eine unendliche Anzahl von Termen zu berechnen, verwenden wir die Formel:

$S = \frac{a}{1 - r}$,

wobei:

• $a$ – der erste Term ist; und
• $r$ – das Standardverhältnis ist.

Betrachte zum Beispiel die folgende geometrische Reihe:

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ...$

Hier ist $a = 1$ und $r = \frac{1}{2}$.

Die Summe für eine unendliche Anzahl von Termen ist also:

$S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}}$,

$S = 2$.

Auf diese Weise können wir die Summe einer geometrischen Reihe mit einer unendlichen Anzahl von Termen berechnen, wenn das Standardverhältnis $r$ zwischen $-1$ und $1$ liegt.