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Träger Durchbiegung Rechner

Created by Kenneth Alambra and Nicholas Swanson
Reviewed by Bogna Szyk and Steven Wooding
Translated by Luise Schwenke and Julia Kopczyńska, PhD candidate
Last updated: Apr 17, 2024


Dieser Träger-Durchbiegung-Rechner hilft dir, die maximale Trägerdurchbiegung von einfach gestützten Trägern oder Balken und Kragträgern mit einfachen Lastkonfigurationen zu bestimmen.

Du kannst aus einer Reihe von Lastarten wählen, die auf eine beliebige Länge des Trägers wirken können. Die Größe und die Position dieser Lasten beeinflussen, wie stark sich der Träger durchbiegt.

In diesem Träger-Durchbiegung-Rechner lernst du die verschiedenen Formeln zur Balkendurchbiegung kennen und erfährst, wie sich der Elastizitätsmodul und das Trägheitsmoment des Trägers auf die berechnete maximale Trägerdurchbiegung auswirken.

Neben der Durchbiegung ist die Spannungsanalyse ein wichtiger Bestandteil der Trägeranalyse. Zur Untersuchung und Berechnung der Biegespannungen von Trägern kannst du unseren Widerstandsmoment Rechner verwenden.

Was ist die Durchbiegung eines Trägers?

Bild eines strukturellen Rahmens eines Hauses in der Mitte der Konstruktion

Beim Bau von Gebäuden verwenden wir normalerweise Rahmenkonstruktionen, die von den Fundamenten im Boden gehalten werden. Diese Rahmenkonstruktionen sind wie das Skelett der Gebäude, Häuser und sogar Brücken. In diesen Rahmenkonstruktionen nennen wir die vertikalen Rahmen Stützen und die horizontalen Rahmen Träger. Träger sind die verlängerten Teile einer Struktur, die die Lasten der horizontalen Platten wie massiven Betonböden, hölzernen Deckenträger Systemen und Dächern, tragen.

Wenn Träger zu schwerer Lasten ausgesetzt sind, beginnen sie, sich zu biegen. Das Ausmaß der Durchbiegung eines Trägers nennen wir Trägerdurchbiegung. Sie ist die vertikale Verschiebung eines Punktes entlang des Schwerpunkts eines Trägers. Wir können auch die Oberfläche des Trägers als Bezugspunkt nehmen, solange sich die Höhe oder Tiefe des Trägers während der Biegung nicht ändert.

So berechnest du die maximale Durchbiegung des Trägers

Wir haben unseren Träger-Durchbiegung-Rechner mit den Formeln ausgestattet, die Ingenieure verwenden, um schnell die maximale Durchbiegung zu bestimmen, die ein bestimmter Träger aufgrund der Last, die er trägt, erfahren wird. Wir haben diese Formeln für dich tabellarisch zusammengestellt, wie unten gezeigt:

Formeln für die Durchbiegung einfach gestützter Träger

Tabelle der maximalen Durchbiegung für einfach gestützte Balken, die einfachen Lastkonfigurationen ausgesetzt sind.

Formeln für die Durchbiegung von Kragträgern

Tabelle der maximalen Durchbiegung für einen Kragträger, der einfachen Lastkonfigurationen ausgesetzt ist.

Methode der Überlagerung

Um die maximale Durchbiegung eines Trägers mit einer Kombination von Lasten zu berechnen, können wir die Methode der Überlagerung anwenden. Die Überlagerungsmethode besagt, dass wir die Gesamtdurchbiegung eines Trägers annähernd bestimmen können, indem wir alle Durchbiegungen addieren, die durch die einzelnen Lastkonfigurationen verursacht werden. Diese Methode liefert uns jedoch nur einen Näherungswert für die tatsächliche maximale Durchbiegung. Um komplizierte Lasten zu berechnen, müssen wir in der Berechnung die doppelte Integration anwenden.

Steifigkeit des Trägers

Um die Durchbiegung eines Trägers zu berechnen, muss man seine Steifheit und die Kraft oder Last kennen, die seine Biegung beeinflussen würde. Wir können die Steifheit des Trägers bestimmen, indem wir den Elastizitätsmodul des Trägers mit seinem Trägheitsmoment multiplizieren.

Der Elastizitätsmodul hängt vom Material des Trägers ab. Je höher dieser Wert ist, desto größer ist die Durchbiegung, die enormen Belastungen standhalten kann, bevor der Balken seine Bruchstelle erreicht. Der Elastizitätsmodul von Beton liegt zwischen 15 - 50 GPa (Gigapascal), während Stahl in der Regel 200 GPa und mehr aufweist. Dieser Unterschied im Elastizitätsmodul zeigt, dass Beton nur einer geringen Durchbiegung standhalten kann und früher zu reißen beginnt, als Stahl.

Mehr über den Elastizitätsmodul kannst du in unserem Mechanische Spannung Rechner erfahren. Um das Trägheitsmoment für einen bestimmten Balkenquerschnitt zu bestimmen, kannst du unseren Trägheitsmoment Rechner verwenden. Das Trägheitsmoment gibt an, wie groß der Widerstand ist, den ein Material gegenüber einer Rotationsbewegung hat und hängt von den Abmessungen des Materialquerschnitts ab.

Das Trägheitsmoment ist auch davon abhängig, um welche Achse sich das Material dreht. Um dieses Konzept besser zu verstehen, betrachten wir den Querschnitt eines rechteckigen Trägers mit einer Breite von 20 cm und einer Höhe von 30 cm. Mit den Formeln, die du auch in unserem Trägheitsmoment-Rechner findest, können wir die Werte für das Trägheitsmoment dieses Trägerquerschnitts wie folgt berechnen:

Iₓ = Breite × Höhe³ / 12
Iₓ = 20 × (30³)/12
Iₓ = 45 000 cm⁴

Iᵧ = Höhe × Breite³ / 12
Iᵧ = 30 × (20³)/12
Iᵧ = 20 000 cm⁴

Beachte, dass es zwei Werte für das Trägheitsmoment gibt. Das liegt daran, dass wir davon ausgehen können, dass sich der Balken vertikal entlang der Balkenspannweite biegt (oder ein Biegemoment um die x-Achse erfährt) und seitlich entlang der Balkenspannweite (um die y-Achse) biegt. Da wir die Durchbiegung des Balkens betrachten, wenn er sich vertikal (um die x-Achse) biegt, müssen wir Iₓ für unsere Berechnungen verwenden.

Die ermittelten Trägheitsmomente zeigen uns, dass sich der Balken bei einer vertikalen Belastung schwerer und bei einer horizontalen Belastung leichter biegen lässt. Dieser Unterschied bei den Trägheitsmomenten ist der Grund, warum die Höhe der Träger oft größer ist als ihre Breite.

Formeln für die Durchbiegung von Trägern verstehen

Da wir nun die Begriffe Elastizitätsmodul und Trägheitsmoment kennen, können wir verstehen, warum diese Variablen die Nenner in unseren Formeln für die Durchbiegung von Balken sind. Sie zeigen, dass die Durchbiegung umso geringer ist, je steifer der Balken ist. Wenn wir uns unsere Formeln ansehen, können wir aber auch feststellen, dass die Länge des Balkens seine Durchbiegung direkt beeinflusst. Je länger der Balken ist, desto mehr kann er sich durchbiegen und desto größer ist die Durchbiegung.

Lasten hingegen beeinflussen die Durchbiegung des Balkens auf zwei Arten: die Richtung der Durchbiegung und die Größe der Durchbiegung. Lasten, die nach unten wirken, neigen dazu, den Balken nach unten zu biegen. Die Lasten können in Form einer Punktlast, eines linearen Drucks oder einer Momentlast auftreten. Die Formeln in diesem Rechner beziehen sich nur auf die Abwärts- oder Aufwärtsrichtung für Punkt- und Flächenlasten. Verteilte Lasten erzeugen einen ähnlichen Druck, es muss aber nur die Länge berücksichtigt werden und nicht die Breite des Trägers.

Die Formeln in diesem Rechner berücksichtigen auch die Moment- oder Drehmomentbelastung, entweder im oder gegen den Uhrzeigersinn. Schau dir einfach die Richtungen der Pfeile im entsprechenden Bild der Formel an, um herauszufinden, welche Richtung einen positiven Belastungswert hat.

Beispiel für die Berechnung der Durchbiegung eines Trägers

Eine einfache Holzbank, die das Problem der Durchbiegung eines Trägers darstellt.

Als Beispiel für die Berechnung der Durchbiegung eines Trägers nehmen wir eine einfache Holzbank, deren Standbeine 1,5 Meter voneinander entfernt sind. Nehmen wir an, wir haben ein 4 cm dickes, 30 cm breites Brett aus östlicher Weißkiefer, das als Sitzfläche für diese Bank dient. Wir können diese Sitzfläche als einen Balken betrachten, der sich durchbiegt, wenn sich jemand auf die Bank setzt. Anhand der Abmessungen dieser Sitzfläche können wir ihr Trägheitsmoment berechnen, ähnlich wie im obigen Beispiel. Da wir Iₓ berechnen müssen, wäre das Trägheitsmoment gleich:

Iₓ = Breite × Höhe³ / 12
Iₓ = 30 × (4³)/12
Iₓ = 160,0 cm⁴ oder 1,6×10-⁶ m⁴

Die östliche Weißkiefer hat einen Elastizitätsmodul von 6800 MPa (6,8∙10⁹ Pa), diesen Wert haben wir dem Handbuch für Holz (englisch) entnommen. Du kannst den Wert des Elastizitätsmoduls für andere Materialien wie Stahl und Beton auch leicht im Internet oder in deiner örtlichen Bibliothek finden. Da wir diese Werte nun kennen, möchten wir uns die Last ansehen, die diese Bank tragen wird. Nehmen wir an, ein Kind sitzt mit 400 N mitten auf der Bank. Jetzt können wir die Durchbiegung der Sitzfläche der Bank berechnen, die durch eine Punktlast in der Mitte der Bank verursacht wird:

δmax = P × L³ / (48 × E × I)

δmax = (400 N) × (1,5 m)³ / (48 × 6,8×10⁹ Pa × 1,6×10-⁶ m⁴)

δmax = 0,002585 m = 2,5850 mm

Das bedeutet, dass sich die Sitzbank etwa 2,6 Millimeter von ihrer ursprünglichen Position durchbiegt, wenn das Kind in der Mitte der Bank sitzt.

Wenn du dieses Thema interessant fandest und gerne mehr über die Festigkeit von Materialien erfahren möchtest, könnte dir auch unser Sicherheitsfaktor Rechner 🇺🇸 gefallen.

FAQ

Was ist Durchbiegung in der Technik?

Die Durchbiegung im Ingenieurwesen bezieht sich auf die Bewegung eines Trägers relativ zu seiner ursprünglichen Position. Diese Bewegung kann durch Baukräfte verursacht werden, entweder durch das Bauteil selbst oder durch eine externe Quelle wie das Gewicht der Wände oder des Daches. In der Technik ist die Durchbiegung ein Maß für die Länge, denn wenn du die Durchbiegung eines Trägers berechnest, erhältst du einen Winkel oder eine Strecke, die sich auf die Länge der Bewegung des Trägers bezieht.

Wie lautet die allgemeine Formel für die Durchbiegung von Trägern?

Die allgemeinen Formeln für die Durchbiegung von Trägern sind PL³/(3EI) für Kragträger und 5wL⁴/(384EI) für einfach gestützte Träger, wobei P die Punktlast, L die Trägerlänge, E den Elastizitätsmodul und I das Trägheitsmoment bezeichnet. Mit vielen anderen Durchbiegungsformeln können jedoch verschiedene Arten von Trägern und Durchbiegungen berechnet werden.

Wie kann ich die Durchbiegung eines Trägers berechnen?

Um die Durchbiegung eines Balkens zu berechnen, gehe folgendermaßen vor:

  1. Bestimme, ob es sich um einen Kragträger oder einen einfach gestützten Balken handelt.
  2. Miss die Trägerdurchbiegung anhand der Strukturverformung.
  3. Wähle die passende Formel für deinen Trägertyp.
  4. Setze deine Daten ein, einschließlich der Trägerlänge, des Trägheitsmoments, des Elastizitätsmoduls und der wirkenden Kraft.

Was verursacht die Durchbiegung von Balken?

Die Hauptursachen für die Durchbiegung sind das Gewicht, das auf der Struktur lastet und das Trägheitsmoment, das sich aus der Größe des Querschnitts, der Länge der nicht gestützten Struktur und dem Material der Struktur ergibt.

Wie groß ist die mittlere Durchbiegung eines einfach gestützten Balkens mit einer Spannweite von 4 m?

3,47 mm, wenn die Länge (L) 4 m = 4 × 10³ mm, die Punktlast (P) 45 ∙ 10³ N, der Elastizitätsmodul (E) 2,4 ∙ 10⁵ N/mm² und das Trägheitsmoment (I) 72 ∙ 10⁶ mm⁴ beträgt. Um dies zu berechnen:

  1. Wähle die Formel: PL³/(48EI).
  2. Gib die Werte ein:
    45 ∙ 10³ ∙ (4 ∙ 10³)³/(48 ∙ 2,4 ∙ 10⁵ ∙ 72 ∙ 10⁶) = 3,47 mm.
Kenneth Alambra and Nicholas Swanson
Beam type
Simply-supported beam
Load type
Midspan load
Illustration of a simply-supported beam subjected to a point load at the middle of the beam
Input Values
Span length (L)
ft
Point load (P)
kip
Modulus of elasticity (E)
psi
Moment of Inertia (Ix)
in⁴
Stiffness of the beam, EIx
MN·m²
Output value
Maximum deflection (δmax)
in
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