Böjning av balk – Kalkylator

Denna kalkylator för böjning av balk hjälper dig att räkna ut den maximala nedböjningen för enkelstödda och konsolbalkar med enkla lastfall.

Du kan välja olika typer av laster som kan placeras var som helst längs balkens längd. Lastens storlek och placering påverkar hur mycket balken böjer sig.

I denna kalkylator för balkböjning får du också lära dig de olika formlerna för balkböjning som används för att räkna ut nedböjningen i enkelstödda och konsolbalkar. Du får även veta hur balkens modul för elasticitet och dess tröghetsmoment påverkar den maximala nedböjningen.

Böjning av balk är en viktig del av en balkanalys, men lika viktig är analysen av böjspänningar. Använd gärna vår sekantmodul kalkylator 🇺🇸 för att räkna ut dessa spänningar vid böjning.

Vid byggnation använder vi oftast stomkonstruktioner som förankras i markens grund. Dessa stommar fungerar som skelettet i byggnader, hus och till och med broar. I en sådan stomme kallas de vertikala delarna för pelare, och de horisontella för balkar. Balkar är de utsträckta bärande elementen i en konstruktion som tar upp lasten från de horisontella skivorna i byggnaden till exempel massiva betonggolv, träbjälkslag 🇺🇸 och tak.

När en balk utsätts för en för stor belastning börjar den böjas. Denna böjning kallas för balkens nedböjning. Balknedböjning är den vertikala förskjutningen av en punkt längs balkens tyngdlinje (centrumlinje). Man kan även använda balkens ovansida som referenspunkt, så länge höjden eller djupet på balken inte förändras under böjningen.

Vi har försett vår kalkylator för balkböjning med de formler som ingenjörer och ingenjörsstudenter använder för att snabbt räkna ut den maximala böjningen som en viss balk utsätts för beroende på lasten den bär. Dessa formler gäller dock endast för enkla laster och vissa kombinationer av dem. Nedan hittar du en tabell med dessa formler:

Formler för böjning av enkelstödda balkar

Formler för nedböjning av konsolbalkar

För att beräkna den maximala nedböjningen hos en balk som utsätts för en kombination av laster kan man använda superpositionsmetoden. Enligt denna metod kan man approximera balkens totala nedböjning genom att addera de enskilda nedböjningarna som orsakas av varje enskilt lastfall. Observera dock att superpositionsmetoden endast ger ett ungefärligt värde på den verkliga maximala nedböjningen. Vid mer komplexa laster behöver man istället använda den så kallade dubbelintegrationsmetoden för att få en mer exakt beräkning.

För att kunna beräkna en balks nedböjning behöver vi känna till dess böjstyvhet och vilken kraft eller last som påverkar böjningen. Vi kan definiera balkens böjstyvhet som produkten av dess elasticitetsmodul, E, och dess tröghetsmoment, I.

Elasticitetsmodulen beror på vilket material balken är tillverkad av. Ju högre ett materials elasticitetsmodul är, desto mer kan det böjas utan att gå sönder även vid stora laster. Betong har en elasticitetsmodul mellan 15–50 GPa (gigapascal), medan stål ofta ligger på omkring 200 GPa eller mer. Denna skillnad visar att betong endast klarar av små nedböjningar innan det börjar spricka, medan stål tål mycket mer.

Du kan läsa mer om elasticitetsmodulen i vår spänningskalkylator 🇺🇸. För att beräkna ett tvärsnitts tröghetsmoment kan du besöka vår tröghetsmoment kalkylator 🇺🇸. Tröghetsmomentet representerar materialets motstånd mot rotation och beror på tvärsnittets dimensioner.

Tröghetsmomentet varierar också beroende på vilken axel materialet roterar kring. För att förstå detta bättre kan vi titta på ett rektangulärt balktvärsnitt med en bredd på 20 cm och en höjd på 30 cm. Med hjälp av formlerna som finns i vår tröghetsmomentkalkylator kan vi räkna ut tröghetsmomentet för detta tvärsnitt:

Iₓ = bredd × höjd³ / 12
Iₓ = 20 × (30³)/12
Iₓ = 45 000 cm⁴

Iᵧ = höjd × bredd³ / 12
Iᵧ = 30 × (20³)/12
Iᵧ = 20.000 cm⁴

Lägg märke till att vi får två olika värden för tröghetsmomentet. Det beror på att balken kan böjas vertikalt längs med spannet (vilket ger ett böjmoment kring x-axeln) och lateralt längs med spannet (vilket ger ett böjmoment kring y-axeln). Eftersom vi tittar på hur balken böjs vertikalt använder vi Iₓ i våra beräkningar.

De värden vi får visar att balken är svårare att böja med en vertikal last, men böjer sig lättare med en horisontell sidolast. Denna skillnad i tröghetsmoment förklarar varför balkar ofta har en form där höjden är större än bredden.

Nu när vi har gått igenom begreppen elasticitetsmodul och tröghetsmoment kan vi förstå varför dessa variabler hamnar i nämnaren i formlerna för balkens nedböjning. Formlerna visar att ju styvare balken är, desto mindre blir dess nedböjning. Men om vi tittar närmare på formlerna ser vi också att balkens längd påverkar nedböjningen direkt. Ju längre balken är, desto mer kan den böjas och desto större blir nedböjningen.

Lasterna påverkar å andra sidan balkens nedböjning på två sätt: genom att bestämma riktningen på nedböjningen och storleken på nedböjningen. Nedåtriktade laster får balken att böjas nedåt. Lasterna kan vara punktlaster, linjära tryck eller momentlaster. Formlerna i denna kalkylator fokuserar endast på antingen uppåtriktade eller nedåtriktade laster, både när det gäller punktlaster och fördelade laster. Fördelade laster liknar tryck, men tar endast hänsyn till balkens längd – inte dess bredd.

Formlerna i kalkylatorn inkluderar även moment- eller vridmomentlaster, antingen med- eller moturs. För att se vilken riktning som motsvarar ett positivt lastvärde, titta på pilarna i bilden som hör till respektive formel.

Låt oss titta på ett exempel där vi räknar ut nedböjningen för en enkel träbänk. Anta att bänken har ben som står 1,5 meter från varandra, mätt från mitten av varje ben. Sittdelen består av en planka av östlig vit tall, som är 4 cm tjock och 30 cm bred. Denna planka fungerar som en balk som böjer sig när någon sätter sig på bänken. Utifrån dessa mått kan vi räkna ut tröghetsmomentet, på samma sätt som i tidigare exempel. Eftersom vi är ute efter att räkna ut Iₓ, skulle dess yttröghetsmoment vara:

Iₓ = bredd × höjd³ / 12
Iₓ = 30 × (4³)/12
Iₓ = 160,0 cm⁴ eller 1,6×10-⁶ m⁴

Modulen för elasticitet (E) för östlig vit tall är 6 800 MPa (6,8×10⁹ Pa) enligt Wood Handbook. Du kan enkelt hitta värden för elasticitetsmodul för andra material som stål eller betong på nätet eller i teknisk litteratur. Nu när vi har dessa värden, antar vi att ett barn som väger 400 N sätter sig mitt på bänken. Vi kan då använda formeln för punktlast i mitten för att räkna ut maximal nedböjning:

δ_max = P × L³ / (48 × E × I)

δ_max = (400 N) × (1,5 m)³ / (48 × 6,8×10⁹ Pa × 1,6×10-⁶ m⁴)

δ_max = 0,002585 m = 2,5850 mm

Det betyder att plankan böjer sig ungefär 2,6 millimeter från sin ursprungliga position när barnet sätter sig i mitten av bänken.

Om du tyckte detta var intressant och vill lära dig mer om hållfasthetslära, kanske du också gillar vår säkerhetsfaktorkalkylator 🇺🇸.