Calcolatore per il Lancio della Moneta

Eccoti nel calcolatore per il lancio della moneta, dove avrai l'opportunità di imparare a calcolare la probabilità di ottenere un determinato numero di teste (o croci) da un determinato numero di lanci. Si tratta di uno dei problemi fondamentali della probabilità classica, che in seguito si è trasformato in un argomento di grande interesse per la matematica.

Ad esempio, forse ti piace Batman e conosci uno dei suoi tanti cattivi, Due Facce? Si potrebbe pensare che il suo nome derivi dal fatto che metà del suo volto è bruciato, ma no! (Ok, forse un po'.) Ha una moneta fortunata che lancia sempre prima di fare qualsiasi cosa. Poiché questa moneta ha due facce, la sua probabilità di ottenere una testa è pari a 1. Meglio non mettersi dal suo lato (o faccia) sbagliata!

La probabilità che un evento si verifichi è una rappresentazione matematica (numerica) di quanto è probabile che si verifichi, dove una probabilità di 1 significa che un evento si verificherà sempre, mentre una probabilità di 0 significa che non si verificherà mai. I problemi classici di probabilità richiedono spesso di trovare la frequenza con cui si verifica un risultato rispetto a un altro e come un evento che si verifica influisce sulla probabilità che si verifichino eventi futuri. Quando si considerano tutte le cose che possono accadere, la formula (proprio come la nostra formula di probabilità del lancio di una moneta) afferma che:

Probabilità = (numero di risultati positivi) / (numero di tutti i risultati possibili).

Prendiamo come esempio il lancio di un dado. Se disponiamo di un dado standard a 6 facce, allora ci sono sei risultati possibili, ovvero i numeri da 1 a 6. Se il dado è equo, allora la probabilità di ciascuno di questi risultati è la stessa, cioè 1 su 6 o 1 / 6. Pertanto, la probabilità di ottenere 6 quando si lancia il dado è 1 / 6. La probabilità è la stessa per il 3. O 2. Hai capito bene. Se non mi credi, prendi un dado, lancialo un paio di volte e prendi nota dei risultati. Ricorda che più volte ripeti un esperimento, più i risultati sono affidabili. Quindi vai avanti, lancialo, diciamo, mille volte. Ti aspetteremo qui fino a quando non tornerai per dirci che abbiamo sempre avuto ragione. Vai al calcolatore di probabilità dei dadi se vuoi una scorciatoia.

Ma cosa succede se ripeti un esperimento cento volte e vuoi trovare le probabilità di ottenere un risultato fisso almeno 20 volte?

Vediamo un altro esempio. Supponiamo che tu sia un adolescente appena uscito dalle scuole medie e che tu decida di incontrare l'amore della tua vita quest'anno. Più precisamente, vuoi chiedere a dieci persone di uscire e andare ad un appuntamento solo con quattro di loro. Una di queste deve essere quella giusta, giusto? La prima cosa che devi fare in questa situazione è guardarti allo specchio e valutare la probabilità che una persona accetti di uscire con te quando inizi a parlarle. Se hai problemi a valutare il tuo aspetto in modo equo, scendi al piano di sotto e lascia che sia tua nonna a dirti che sei un bel giovanotto. Quindi un bel 9/10.

Dato che vuoi avere solo quattro appuntamenti, significa che vuoi che solo quattro dei tuoi tentativi di storia d'amore potrebbero andare a buon fine. Questo ha un risultato di 9 / 10. Ciò significa che vuoi che le altre sei persone ti rifiutino, cosa che, in base al tuo bell'aspetto, ha solo una probabilità di accadere di 1 / 10 (la somma di tutti gli eventi che accadono è sempre uguale a 1, quindi otteniamo questo numero sottraendo 9 / 10 da 1). Se moltiplichi la probabilità di ogni evento per il numero di volte che vuoi che si verifichi, otterrai la probabilità che il tuo scenario si realizzi. In questo caso, le probabilità sono 210 × (9 / 10)⁴ × (1 / 10)⁶ = 0,00013 7781, dove il 210 deriva dal numero di possibili quattro persone tra le dieci che sarebbero d'accordo. Non è molto probabile che accada, vero? Forse dovresti provare a essere meno bello!

"Ehi amico, chiedere ad una persona di uscire e lanciare una moneta sono due cose diverse! Dovrei saperlo, ho provato a fare entrambe!". Beh, lascia che ti spieghi che questi due problemi sono fondamentalmente uguali, cioè per quanto riguarda la matematica. Che tu voglia lanciare una moneta o chiedere a una persona di uscire, ci sono solo due possibilità che possono verificarsi. In altre parole, se assegni il successo del tuo esperimento, sia che si tratti di ricevere croce o che la persona che t'interessa accetti la tua proposta, a un lato della moneta e l'altra opzione al retro della moneta, la probabilità del lancio della moneta determinerà la risposta. Tutto si riduce a mettere le mani su una moneta pesata in modo appropriato. In termini matematici, si parla di distribuzione di probabilità binomiale.

Vediamo un esempio passo dopo passo per capire come calcolare la probabilità di un evento utilizzando il calcolatore per la probabilità del lancio della moneta:

1. Determina il tuo esperimento. Quali sono le due possibilità che possono verificarsi? Assegna testa a una di esse e croce all'altra;

2. Quante volte ripeterai l'esperimento? Indica questo numero come numero di lanci nel calcolatore;

3. Cosa vuoi ottenere? Un numero esatto di tentativi riusciti? Almeno un numero stabilito di tentativi riusciti? O non più di un certo numero di tentativi riusciti? Scegli l'opzione corretta dall'elenco;

4. Quanti tentativi di successo (esatti, almeno o al massimo) vuoi ottenere? Metti questo numero prima di testa;

5. (Opzionale) Se le tue teste e code non hanno la stessa probabilità di verificarsi, vai in Modalità avanzata e imposta il numero giusto nel nuovo campo. Ricorda che nella probabilità classica, la probabilità non può essere inferiore a 0 o superiore a 1; e

6. Il calcolatore per il lancio della moneta calcolerà automaticamente la probabilità che il tuo evento si verifichi.

Sai quando si dice che i soldi non possono comprare la felicità? Ebbene, è vero che a volte una moneta non è sufficiente se vuoi contare la probabilità che qualcosa accada. Se il tuo problema rientra ancora nell'ambito della probabilità classica —ovvero se puoi determinare quanti risultati di successo esistono e quante possibilità ci sono in generale — allora la formula della probabilità del lancio della moneta della prima sezione funzionerà benissimo.

Se stai cercando le probabilità di vincere la lotteria o di sopravvivere su un'isola deserta, allora le cose iniziano a complicarsi rispetto alla probabilità di un semplice lancio di una moneta. (Il primo caso è trattato nel calcolatore per la lotteria 🇺🇸 di Omni)

Se lanci una moneta giusta n volte, la probabilità di ottenere esattamente k teste è P(X=k) = (n su k)/2ⁿ, dove:

• (n su k) = n! / (k! × (n-k)!); e
• ! è il fattoriale, cioè n! sta per la moltiplicazione 1 × 2 × 3 × ... (n-1) × n.

Per calcolare la probabilità che escano 8 teste in 10 lanci:

1. Ricorda la formula per la probabilità di esattamente k teste in n lanci: P(X=k) = (n su k)/2ⁿ;
2. Quindi, la probabilità di avere esattamente 8 teste in 10 lanci è P(X=8) = (10 su 8)/2¹⁰ = 45/1024 ≈ 0,044;
3. Se hai bisogno della probabilità di almeno 8 teste, trova P(X=8) + P(X=9) + P(X=10);
4. Abbiamo P(X=9) = 10/1024 ≈ 0,0098 e P(X=10) = 1/1024 ≈ 0,001; e
5. La risposta è 0,044 + 0,0098 + 0,001 ≈ 0,0548.

Se lanci una moneta 3 volte, la probabilità che escano almeno 2 teste è del 50%, mentre quella di esattamente 2 teste è del 37,5%. Ecco lo spazio campionario di 3 lanci: {TTT, TCC, TCT, TTC, TCC, CTC, CTT, CCC}. Ci sono 8 possibili risultati. Tre contengono esattamente due teste, quindi P(esattamente due teste) = 3/8=37,5%. Un risultato contiene tre teste, quindi P(almeno due teste) = (3+1)/8 = 50%.

La probabilità di avere almeno 1 testa in 4 lanci è del 93,75%. Per capire perché, nota che abbiamo P(almeno 1 testa) = 1 - P(nessuna testa) = 1 - P(tutte le code) e P(tutte le code) = (1/2)⁴ = 0,0625. Pertanto, P(almeno 1 testa) = 1 - 0,0625 = 0,9375 = 93,75%, come indicato.