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Calcolatore per la Distribuzione Binomiale

Created by Jakub Janus, PhD and Jasmine J Mah
Reviewed by Bogna Szyk and Jack Bowater
Translated by Sara Naouar and Rangsimatiti Binda Saichompoo
Last updated: Jan 18, 2024


Questo calcolatore per la distribuzione binomiale è qui per aiutarti a risolvere i problemi di probabilità nella seguente forma — Qual è la probabilità di un certo numero di successi in una sequenza di eventi? Continua a leggere per scoprire cos'è esattamente la distribuzione di probabilità binomiale, quando applicarla, come usarla e impara la formula della probabilità binomiale. Scopri cos'è la distribuzione binomiale e come vengono utilizzati gli esperimenti binomiali in vari contesti.

Che cos'è la probabilità binomiale?

Immagina di giocare una partita a dadi. Per vincere, è necessario che tre dadi su cinque mostrino un risultato uguale o inferiore a 4. I due dadi rimanenti devono mostrare un numero superiore. Qual è la probabilità che tu vinca?

Questo è un problema esemplificativo che può essere risolto con il nostro calcolatore per la distribuzione binomiale. Conosci il numero di eventi (è pari al numero totale di dadi, quindi cinque); conosci il numero di successi di cui hai bisogno (precisamente 3); puoi anche calcolare la probabilità che si verifichi un solo successo (4 su 6, quindi 0,667). Questi sono tutti i dati necessari per trovare la probabilità binomiale che tu vinca la partita a dadi.

Nota che per utilizzare efficacemente il calcolatore per la distribuzione binomiale, gli eventi che analizzi devono essere indipendenti. Ciò significa che tutti i processi del tuo esempio devono essere mutuamente esclusivi.

Il successo della prima prova non influisce sulla probabilità di successo o di fallimento degli eventi successivi, che rimangono esattamente gli stessi. Nel caso di un gioco di dadi, queste condizioni sono soddisfatte — ogni volta che si lancia un dado costituisce un evento indipendente.

A volte potrebbe interessarti il numero di prove necessarie per ottenere un determinato risultato. Ad esempio, potresti chiederti quanti lanci di dado sono necessari prima di lanciare un sei per tre volte. Queste domande possono essere affrontate utilizzando uno strumento statistico correlato chiamato distribuzione binomiale negativa. Scopri come funziona con il calcolatore per la distribuzione binomiale negativa di Omni 🇺🇸.

Inoltre, puoi consultare il nostro calcolatore per l'approssimazione normale alla distribuzione binomiale 🇺🇸 e il relativo calcolatore per la correzione della continuità 🇺🇸.

Formula di probabilità binomiale

Per trovare questa probabilità, devi utilizzare la seguente equazione:

P(X=r) = nCr × pr × (1-p)n-r

dove:

  • n — Numero totale di eventi;
  • r — Numero di successi richiesti;
  • p — Probabilità di un successo;
  • nCr — Numero di combinazioni (le cosiddette "n scelte r"); e
  • P(X=r) — Probabilità che si verifichi un numero esatto di successi.

Si noti che il risultato è la probabilità di un numero esatto di successi. Ad esempio, nel nostro gioco dei dadi, avevamo bisogno di tre successi esatti, né più né meno. Cosa succederebbe se cambiassimo le regole in modo da richiedere almeno tre successi? Dovresti calcolare la probabilità di tre, quattro e cinque successi esatti e sommare tutti questi valori.

Come utilizzare il calcolatore della distribuzione binomiale — un esempio

Risolviamo insieme il problema del gioco dei dadi.

  1. Determina il numero di eventi. n è uguale a 5, dato che lanciamo cinque dadi.

  2. Determina il numero di successi richiesti. r è uguale a 3, poiché abbiamo bisogno di esattamente tre successi per vincere la partita.

  3. La probabilità di lanciare 1, 2, 3 o 4 su un dado a sei facce è di 4 su 6, ovvero 0,667. Pertanto p è uguale a 0,667 o 66,7%.

  4. Calcola il numero di combinazioni (5 scegli 3). Puoi utilizzare il calcolatore di combinazioni per farlo. Questo numero, nel nostro caso, è pari a 10.

  5. Sostituisci tutti questi valori nella formula della probabilità binomiale di cui sopra:

    P(X = 3) = 10 × 0,6673 × (1-0,667)(5-3)
    = 10 × 0,6673 × (1-0,667)(5-3)
    = 10 × 0,296 × 0,3332
    = 2,96 × 0,111 = 0,329

  6. Puoi anche risparmiare tempo e usare il calcolatore per la distribuzione binomiale :)

Come calcolare le probabilità cumulative

A volte, invece di un numero esatto di successi, vuoi conoscere la probabilità di ottenere r o più successi o r o meno successi. Per calcolare la probabilità di ottenere un qualsiasi intervallo di successi:

  1. Usa la formula della probabilità binomiale per calcolare la probabilità di successo (P) per tutti i possibili valori di r che ti interessano.
  2. Somma i valori di P per tutti i valori di r all'interno dell'intervallo di interesse.

Ad esempio, la probabilità di ottenere due o meno successi lanciando una moneta quattro volte (p = 0,5 e n = 4) sarà:

P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2);

P(X ≤ 2) = 37,5% + 25% + 6,25%; e

P(X ≤ 2) = 68,75%.

Questo calcolo è facilitato dalle opzioni disponibili nel calcolatore per la distribuzione binomiale. Puoi modificare le impostazioni per calcolare la probabilità di ottenere un risultato:

  • Esattamente r successi: P(X = r);
  • r o più successi: P(X ≥ r);
  • r o meno successi: P(X ≤ r); e
  • Tra r₀ e r₁ successi P(r₀ ≤ X ≤ r₁).

Esperimenti sulla distribuzione di probabilità binomiale

La distribuzione binomiale si rivela molto pratica nelle situazioni sperimentali. Tuttavia, l'esito di un esperimento casuale di questo tipo deve essere binario — passaggio o fallimento, presenza o assenza, conformità o rifiuto. È impossibile utilizzare questo sistema quando i risultati possibili sono tre.

Allo stesso tempo, a parte il lancio di dadi o di una moneta, può essere utilizzato in casi meno chiari. Ecco un paio di domande a cui puoi rispondere con la distribuzione di probabilità binomiale:

  • Un nuovo farmaco funzionerà su un paziente selezionato a caso? ;
  • Una lampadina appena acquistata funzionerà correttamente o si romperà? ;
  • Qual è la probabilità di rispondere correttamente a una domanda del test che hai appena sorteggiato? ;
  • Qual è la probabilità che un elettore casuale voti per un candidato alle elezioni? ; e
  • Qual è la probabilità che un gruppo di studenti venga accettato in un prestigioso college?

Gli esperimenti con due risultati possibili, come quelli di cui sopra, sono esempi tipici di distribuzione binomiale, spesso chiamati prove di Bernoulli.

In pratica, puoi trovare spesso esempi di probabilità binomiale in campi come il controllo qualità, dove questo metodo viene utilizzato per verificare l'efficienza dei processi produttivi. Il processo di ispezione basato sulla distribuzione binomiale è progettato per eseguire un sufficiente numero di controlli e ridurre al minimo le possibilità di produrre un prodotto difettoso.

Se non conosci la distribuzione di probabilità di un evento indipendente nel tuo esperimento (p), raccogli i dati passati in uno dei tuoi esempi di distribuzione binomiale e dividi il numero di successi (y) per il numero complessivo di eventi p = y/n.

Una volta determinato il tasso di successo (o di fallimento) in un singolo evento, devi decidere qual è il tuo numero accettabile di successi (o di fallimenti) nel lungo periodo. Ad esempio, un prodotto difettoso in un lotto di cinquanta non è una tragedia, ma non vorresti che un prodotto su due fosse difettoso, vero?

I processi di Bernoulli sono perfetti anche per risolvere i sistemi di rete. È interessante notare che possono essere utilizzati per individuare i percorsi tra due nodi di un diagramma. È il caso della rete a ponte di Wheatstone, una rappresentazione di un circuito costruito per misurare la resistenza elettrica.

Come la tavola di distribuzione binomiale, il nostro calcolatore produce risultati che ti aiutano a valutare le probabilità di raggiungere il tuo obiettivo. Tuttavia, se vuoi, puoi dare un'occhiata a questa tabella di distribuzione binomiale. Ti dice qual è il valore della distribuzione binomiale per una data probabilità e un dato numero di successi.

Media e varianza della distribuzione binomiale

Una delle caratteristiche più emozionanti delle distribuzioni binomiali è che rappresentano la somma di un numero n di eventi indipendenti. Ognuno di essi (Z) può supporre i valori 0 o 1 in un determinato periodo.

Diciamo che la probabilità che ogni Z si verifichi è p. Poiché gli eventi non sono correlati, possiamo utilizzare le proprietà di addizione delle variabili aleatorie per calcolare la media (valore atteso) della distribuzione binomiale μ = np.

La varianza di una distribuzione binomiale è data da: σ² = np(1-p). Più grande è la varianza, maggiore è la fluttuazione di una variabile aleatoria rispetto alla sua media. Una varianza piccola indica che i risultati ottenuti sono distribuiti su un intervallo di valori più ristretto.

La deviazione standard della distribuzione binomiale, un'altra misura della dispersione di una distribuzione di probabilità, è semplicemente la radice quadrata della varianza, σ. Tieni presente che la deviazione standard calcolata sul tuo campione (le osservazioni effettivamente raccolte) può differire dalla deviazione standard dell'intera popolazione. Se questa distinzione ti confonde, ecco qui un'ottima spiegazione di questa distinzione.

C'è un'intuizione chiara dietro queste formule. Supponiamo che questa volta io lanci una moneta 20 volte:

  • La mia p è pari a 0,5 (a meno che, ovviamente, la moneta non sia truccata);
  • Ogni Z ha una probabilità equivalente a 0 o 1; e
  • Il numero di tentativi, n, è 20.

Questa sequenza di eventi soddisfa i prerequisiti di una distribuzione binomiale.

Il valore medio di questo semplice esperimento è: np = 20 × 0,5 = 10. Possiamo dire che in media se ripetiamo l'esperimento molte volte, dovremmo aspettarci che le teste appaiano dieci volte.

La varianza di questa distribuzione binomiale è pari a np(1 - p) = 20 × 0,5 × (1 - 0,5) = 5. Prendendo la radice quadrata della varianza, si ottiene la deviazione standard della distribuzione binomiale, 2,24. Di conseguenza, i risultati tipici di un esperimento di questo tipo si discosteranno dal valore medio di circa 2 punti. Quindi, nella maggior parte delle prove, ci aspettiamo di ottenere da 8 a 12 successi.

Usa il nostro calcolatore per la distribuzione binomiale per ottenere la media, la varianza e la deviazione standard della distribuzione binomiale in base al numero di eventi che hai fornito e alla probabilità di un successo.

Altre considerazioni

Sviluppata dal matematico svizzero Jacob Bernoulli, la distribuzione binomiale è una formulazione più generale della distribuzione di Poisson. In quest'ultima, supponiamo semplicemente che il numero di eventi (prove) sia enorme, ma che la probabilità di un singolo successo sia piccola.

La distribuzione binomiale è strettamente legata al teorema binomiale, che si rivela utile per calcolare permutazioni e combinazioni. Assicurati di dare un'occhiata anche al nostro calcolatore per le permutazioni 🇺🇸!

Ricorda che la formula della distribuzione binomiale descrive una distribuzione discreta. I possibili risultati di tutte le prove devono essere distinti e non sovrapposti. Inoltre, i due risultati di un evento devono essere complementari: per un dato p, c'è sempre un evento q = 1 - p.

Se c'è la possibilità di ottenere un risultato intermedio tra i due, come ad esempio 0,5; la formula della distribuzione binomiale non deve essere utilizzata. Lo stesso vale per i risultati non binari, ad esempio un effetto nel tuo esperimento può essere classificato come basso, moderato o alto.

Tuttavia, per un numero sufficientemente elevato di prove, la formula della distribuzione binomiale può essere approssimata dalla specifica distribuzione gaussiana (normale), con una media e una varianza date. Questo ci permette di eseguire la cosiddetta correzione di continuità e di tenere conto degli argomenti non interi nella funzione di probabilità.

Forse hai ancora bisogno di fare un po' di pratica con gli esempi di distribuzione di probabilità binomiale?

Prova a risolvere di nuovo il problema del gioco dei dadi, ma questa volta ti servono tre o più successi per vincere. Che ne dici delle probabilità di ottenere esattamente 4?

FAQ

La distribuzione binomiale è discreta o continua?

La distribuzione binomiale è discreta — assume solo un numero finito di valori.

Come si trova la media di una distribuzione binomiale?

Per calcolare la media (valore previsto) di una distribuzione binomiale B(n,p) è necessario moltiplicare il numero di prove n per la distribuzione di probabilità di successo p, ovvero: media = n × p.

Come si trova la deviazione standard di una distribuzione binomiale?

Per trovare la deviazione standard di una distribuzione binomiale B(n,p):

  1. Calcola la varianza come n × p × (1 - p), dove n è il numero di prove e p è la probabilità di successo;
  2. Prendi la radice quadrata del numero ottenuto al punto 1; ed
  3. Ecco fatto! Congratulazioni :)

Qual è la probabilità di 3 successi in 5 prove se la probabilità di successo è 0,5?

Per trovare questa probabilità:

  1. Ricorda la formula della distribuzione binomiale P(X = r) = nCr × pʳ × (1-p)ⁿ⁻ʳ. La utilizzeremo con i seguenti dati:

    • Numero di prove: n = 5;

    • Numero di successi: r = 3; e

    • Probabilità di successo: p = 0,5.

  2. Calcola 5 scegli 3: nCr = 10;

  3. Inserisci questi valori nella formula:

    P(X = 3) = 10 × 0,5² × 0,5³ = 0,3125; e

  4. La probabilità che stai cercando è 31,25%.

Jakub Janus, PhD and Jasmine J Mah
If there are...
Number of events (n)
Probability of success per event (p)
%
What is the probability of getting...
exactly r successes
Number of successes (r)
Probability of r successes
%
Mean number of successes
Variance
Standard deviation
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