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Calcolatore del Logatritmo in Base 2

Indice

Che cos'è un logaritmo?Logaritmo binarioFAQ

Eccoci nel calcolatore del logaritmo in base 2 di Omni. Il tuo strumento preferito per calcolare il valore di log₂(x) per x arbitrari (positivi). L'operazione è un caso speciale del logaritmo, cioè quando la base del logaritmo è uguale a 2. Per questo motivo, a volte la chiamiamo il logaritmo binario. Se vuoi scoprire il caso più generale, dai un'occhiata al nostro calcolatore del logartimo.

Che cos'è, ad esempio, il logaritmo in base 2 di 8? O log₂16? O log₂32? Beh, andiamo subito a scoprirlo nell'articolo!

Che cos'è un logaritmo?

Non appena l'umanità ha imparato a sommare i numeri, ha trovato un modo per semplificare la notazione per aggiungere lo stesso numero più volte — la moltiplicazione.

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 8 × 5

A questo punto è sorta un'ovvia domanda — come potremmo scrivere moltiplicando lo stesso numero più volte? E ancora, alcuni matematici intelligenti introdussero gli esponenti.

5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5⁸

Tuttavia, c'è sempre quella persona curiosa che fa le domande più assurde. In questo caso, si chiedeva se ci fosse un modo per invertire tutte queste operazioni. Fortunatamente per noi, per la matematica e per tutto il mondo della scienza, altre persone curiose hanno trovato la risposta.

Per l'addizione è stato facile — l'operazione inversa è la sottrazione. Per la moltiplicazione, è ancora piuttosto semplice — è la divisione. Per gli esponenti, invece, la storia si fa più complicata. Dopo tutto, sappiamo che 5 + 8 = 8 + 5 e 5 × 8 = 8 × 5, ma 5⁸ è molto diverso da 8⁵. Quindi cosa dovrebbe dare l'operazione inversa? Se abbiamo 5⁸, dovrebbe restituire 5 o 8?

Il logaritmo (di base 5) sarebbe l'operazione se scegliessimo l'opzione 8. In altre parole, si tratta di una funzione che indica l'esponente necessario per ottenere il valore. In maniera simbolica, possiamo scrivere la definizione in questo modo:

💡 logₐ(b) ti dà la potenza a cui devi elevare a per ottenere b. Nota però che, in generale, questo può essere un esponente frazionario!

Per fare un confronto, l'operazione inversa che restituirebbe il 5 di 5⁸ sarebbe semplicemente l'(ottava) radice. Se volessimo essere un po' più tecnici, potremmo dire che, in generale, se abbiamo un'espressione , la radice è l'operazione inversa per x, mentre il logaritmo è quella per y. E se volessimo essere ancora più tecnici, potremmo dire che la prima inverte una funzione polinomiale, mentre la seconda inverte una funzione esponenziale.

Prima di andare avanti, facciamo un elenco puntato con alcune informazioni fondamentali sul nostro nuovo amico, la funzione logaritmo.

  • Esistono due casi molto speciali del logaritmo che hanno una notazione unica — il logaritmo naturale 🇺🇸 e il logaritmo in base 10. Li chiamiamo ln(x) e log(x) (il secondo semplicemente senza il piccolo 10) e le loro basi sono, rispettivamente, il numero di Eulero e (sorpresa, sorpresa!) e il numero 10.

    Mentre quest'ultimo è ovvio, il primo può creare qualche problema — se non sei sicuro di cosa sia il numero e, dai un'occhiata al nostro calcolatore di e.

  • La funzione del logaritmo è definita solo per i numeri positivi. In altre parole, quando scriviamo logₐ(b), richiediamo che b sia positivo.

  • Qualunque sia la base, il logaritmo di 1 è uguale a 0. Infatti, qualsiasi cosa eleviamo a potenza 0, otteniamo 1.

  • I logaritmi sono estremamente importanti e intendiamo dire ESTREMAMENTE importanti. Al di fuori della matematica, sono utilizzati in statistica (ad esempio, la distribuzione log-normale), economia (ad esempio, l'indice del PIL), medicina (ad esempio, l'indice QUICKI) e chimica (ad esempio, il decadimento dell'emivita). Inoltre, molte unità fisiche si basano sui logaritmi, come ad esempio la scala Richter, la scala del pH e la scala dei dB.

Oggi ci concentreremo su un caso molto particolare di logaritmo, cioè quello in base 2, che a volte chiamiamo il logaritmo binario. In sostanza, ci concentreremo sul prendere le potenze di 2 e... Beh, ripensandoci, perché non dedicare un'intera sezione a questo?

Logaritmo binario

Come accennato alla fine della sezione precedente, il logaritmo binario è un caso speciale della funzione logaritmica con base 2. Ciò significa che avremo espressioni della forma log₂(x) e ci chiederemo a quale potenza dobbiamo elevare 2 per ottenere x. Ad esempio, possiamo facilmente osservare che log₂4 = 2.

All’apparenza, 2 è un numero come un altro. Tuttavia, ha alcune proprietà interessanti. Ad esempio, è il numero primo più piccolo e l'unico pari. Inoltre, è la base per qualsiasi operazione informatica tramite la rappresentazione binaria.

Dato che è così importante, ricordiamo alcune potenze di base di 2. Ricorda che l'esponente può anche essere 0 o addirittura negativo.

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

2x

¼

½

1

2

4

8

16

32

64

128

256

Ora possiamo vedere altri esempi oltre al log₂4 = 2 di cui sopra. Ad esempio, possiamo dire che il logaritmo in base 2 di 8 è 3. Allo stesso modo, log₂16 = 4 o log₂32 = 5.

Ma cos'è, ad esempio, il log₂5? Sicuramente, 5 non è una potenza di 2.

Per essere precisi, non è una potenza intera di 2. Dobbiamo ricordare che esistono anche gli esponenti frazionari e in effetti, in questo caso, abbiamo bisogno di uno di questi. Purtroppo, non sono così semplici da indovinare. In alcuni casi, possiamo provare a usare trucchi come la regola del cambio di base ma, in generale, è meglio usare uno strumento esterno, come il nostro calcolatore del logaritmo in base 2 o il calcolatore per il cambio di base 🇺🇸.

In essa puoi vedere due finestre di variabilix e log₂(x). Si spera che la notazione sia autoesplicativa. Ad esempio, se vuoi trovare log₂16, devi inserire 16 sotto x e il calcolatore ti darà la risposta nell'altra finestra. Se invece vuoi trovare log₂32, devi inserire 32. Inoltre, nota come il calcolatore del logaritmo in base 2 di Omni funziona in entrambi i modi — puoi inserire il valore di x e ottenere log₂(x) oppure il contrario.

Questo sarebbe sufficiente per la lezione di oggi. Vai, mio giovane padawan, e assicurati di giocare con il calcolatore o con qualsiasi altro strumento legato all'algebra che abbiamo a disposizione.

FAQ

Come si calcola il logaritmo in base 2?

Per calcolare il logaritmo in base 2, probabilmente avrai bisogno di un calcolatore. Tuttavia, se conosci il risultato del logaritmo naturale o del logaritmo in base 10 dello stesso argomento, puoi seguire questi semplici passaggi per trovare il risultato. Per un numero x:

  1. Trova il risultato di log₁₀(x) o ln(x);

  2. Dividi il risultato del passo precedente per il valore corrispondente tra:

    • log₁₀(2) = 0,30103; oppure

    • ln(2) = 0,693147; e

  3. Il risultato della divisione è log₂(x).

Quanto è il logaritmo in base 2 di 256?

Il logaritmo in base 2 di 256 è 8. Per trovare questo risultato, considera la seguente formula:

2x = 256.

Il logaritmo corrisponde alla seguente equazione:

log2 (256) = x.

In questo caso, possiamo controllare le potenze di 2 per vedere se riusciamo a trovare il valore di x: 20 = 1, 21 = 2, 22 = 4, ..., 27 = 128 e 28 = 256.

Poiché abbiamo trovato l'argomento del nostro logaritmo, possiamo scrivere che:

log2 (256) = 8.

Perché il logaritmo in base 2 è importante?

Nel mondo dei computer, il codice binario è di importanza fondamentale — le parole, i numeri, le immagini e tutto il resto può essere ridotto a una stringa di 0 e 1. Poiché il codice binario utilizza solo due cifre, il numero 2 compare costantemente nell'informatica.

L'ampia diffusione del log2 in informatica non ha una forte ragione matematica (poiché i logaritmi possono cambiare base con la moltiplicazione) ma può essere utile. Ad esempio, l'utilizzo del log2 per calcolare l'entropia ci permette di ottenere il risultato espresso in bit, che sono l'unità naturale.

Qual è la differenza tra ln e log2?

La differenza tra ln e log2 è la base. Il logaritmo è l'operazione inversa dell'esponenziazione, cioè la potenza di un numero, e risponde alla domanda — "qual è l'esponente che produce un determinato risultato?".

La base del logaritmo è il numero a cui si applica l'esponente — nel caso di ln, il numero è e, il numero di Neper. Per il log2, devi considerare il numero 2. Riassumendo:

  • Se b = ln(x), allora eb = x; e
  • Se c = log2(x), allora 2c = x.
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