Calcolatore del Logatritmo in Base 2

Eccoci nel calcolatore del logaritmo in base 2 di Omni. Il tuo strumento preferito per calcolare il valore di log₂(x) per x arbitrari (positivi). L'operazione è un caso speciale del logaritmo, cioè quando la base del logaritmo è uguale a 2. Per questo motivo, a volte la chiamiamo il logaritmo binario. Se vuoi scoprire il caso più generale, dai un'occhiata al nostro calcolatore del logartimo.

Che cos'è, ad esempio, il logaritmo in base 2 di 8? O log₂16? O log₂32? Beh, andiamo subito a scoprirlo nell'articolo!

Non appena l'umanità ha imparato a sommare i numeri, ha trovato un modo per semplificare la notazione per aggiungere lo stesso numero più volte — la moltiplicazione.

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 8 × 5

A questo punto è sorta un'ovvia domanda — come potremmo scrivere moltiplicando lo stesso numero più volte? E ancora, alcuni matematici intelligenti introdussero gli esponenti.

5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5⁸

Tuttavia, c'è sempre quella persona curiosa che fa le domande più assurde. In questo caso, si chiedeva se ci fosse un modo per invertire tutte queste operazioni. Fortunatamente per noi, per la matematica e per tutto il mondo della scienza, altre persone curiose hanno trovato la risposta.

Per l'addizione è stato facile — l'operazione inversa è la sottrazione. Per la moltiplicazione, è ancora piuttosto semplice — è la divisione. Per gli esponenti, invece, la storia si fa più complicata. Dopo tutto, sappiamo che 5 + 8 = 8 + 5 e 5 × 8 = 8 × 5, ma 5⁸ è molto diverso da 8⁵. Quindi cosa dovrebbe dare l'operazione inversa? Se abbiamo 5⁸, dovrebbe restituire 5 o 8?

Il logaritmo (di base 5) sarebbe l'operazione se scegliessimo l'opzione 8. In altre parole, si tratta di una funzione che indica l'esponente necessario per ottenere il valore. In maniera simbolica, possiamo scrivere la definizione in questo modo:

Per fare un confronto, l'operazione inversa che restituirebbe il 5 di 5⁸ sarebbe semplicemente l'(ottava) radice. Se volessimo essere un po' più tecnici, potremmo dire che, in generale, se abbiamo un'espressione xʸ, la radice è l'operazione inversa per x, mentre il logaritmo è quella per y. E se volessimo essere ancora più tecnici, potremmo dire che la prima inverte una funzione polinomiale, mentre la seconda inverte una funzione esponenziale.

Prima di andare avanti, facciamo un elenco puntato con alcune informazioni fondamentali sul nostro nuovo amico, la funzione logaritmo.

• Esistono due casi molto speciali del logaritmo che hanno una notazione unica — il logaritmo naturale 🇺🇸 e il logaritmo in base 10. Li chiamiamo ln(x) e log(x) (il secondo semplicemente senza il piccolo 10) e le loro basi sono, rispettivamente, il numero di Eulero e (sorpresa, sorpresa!) e il numero 10.

  Mentre quest'ultimo è ovvio, il primo può creare qualche problema — se non sei sicuro di cosa sia il numero e, dai un'occhiata al nostro calcolatore di e.

• La funzione del logaritmo è definita solo per i numeri positivi. In altre parole, quando scriviamo logₐ(b), richiediamo che b sia positivo.

• Qualunque sia la base, il logaritmo di 1 è uguale a 0. Infatti, qualsiasi cosa eleviamo a potenza 0, otteniamo 1.

• I logaritmi sono estremamente importanti e intendiamo dire ESTREMAMENTE importanti. Al di fuori della matematica, sono utilizzati in statistica (ad esempio, la distribuzione log-normale), economia (ad esempio, l'indice del PIL), medicina (ad esempio, l'indice QUICKI) e chimica (ad esempio, il decadimento dell'emivita). Inoltre, molte unità fisiche si basano sui logaritmi, come ad esempio la scala Richter, la scala del pH e la scala dei dB.

Oggi ci concentreremo su un caso molto particolare di logaritmo, cioè quello in base 2, che a volte chiamiamo il logaritmo binario. In sostanza, ci concentreremo sul prendere le potenze di 2 e... Beh, ripensandoci, perché non dedicare un'intera sezione a questo?

Come accennato alla fine della sezione precedente, il logaritmo binario è un caso speciale della funzione logaritmica con base 2. Ciò significa che avremo espressioni della forma log₂(x) e ci chiederemo a quale potenza dobbiamo elevare 2 per ottenere x. Ad esempio, possiamo facilmente osservare che log₂4 = 2.

All’apparenza, 2 è un numero come un altro. Tuttavia, ha alcune proprietà interessanti. Ad esempio, è il numero primo più piccolo e l'unico pari. Inoltre, è la base per qualsiasi operazione informatica tramite la rappresentazione binaria.

Dato che è così importante, ricordiamo alcune potenze di base di 2. Ricorda che l'esponente può anche essere 0 o addirittura negativo.

Ora possiamo vedere altri esempi oltre al log₂4 = 2 di cui sopra. Ad esempio, possiamo dire che il logaritmo in base 2 di 8 è 3. Allo stesso modo, log₂16 = 4 o log₂32 = 5.

Ma cos'è, ad esempio, il log₂5? Sicuramente, 5 non è una potenza di 2.

Per essere precisi, non è una potenza intera di 2. Dobbiamo ricordare che esistono anche gli esponenti frazionari e in effetti, in questo caso, abbiamo bisogno di uno di questi. Purtroppo, non sono così semplici da indovinare. In alcuni casi, possiamo provare a usare trucchi come la regola del cambio di base ma, in generale, è meglio usare uno strumento esterno, come il nostro calcolatore del logaritmo in base 2 o il calcolatore per il cambio di base 🇺🇸.

In essa puoi vedere due finestre di variabili — x e log₂(x). Si spera che la notazione sia autoesplicativa. Ad esempio, se vuoi trovare log₂16, devi inserire 16 sotto x e il calcolatore ti darà la risposta nell'altra finestra. Se invece vuoi trovare log₂32, devi inserire 32. Inoltre, nota come il calcolatore del logaritmo in base 2 di Omni funziona in entrambi i modi — puoi inserire il valore di x e ottenere log₂(x) oppure il contrario.

Questo sarebbe sufficiente per la lezione di oggi. Vai, mio giovane padawan, e assicurati di giocare con il calcolatore o con qualsiasi altro strumento legato all'algebra che abbiamo a disposizione.