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Calcolatore per la Somma delle Serie

Indice

Come si calcola la somma di una serie?Come si calcola la somma di una serie geometrica?Come si calcola la somma di una serie geometrica infinita?FAQ

Utilizzando il calcolatore per la somma delle serie, puoi calcolare la somma di una serie infinita che ha una convergenza geometrica e la somma parziale di una serie aritmetica o geometrica. Questo risolutore di somme può anche aiutarti a calcolare la convergenza o la divergenza di una serie.

Come si calcola la somma di una serie?

Molte volte vorremmo calcolare la somma 🇺🇸 di una serie, e per farlo è utile sapere prima se la serie è aritmetica o geometrica. In una serie aritmetica, la differenza tra ogni coppia di termini successivi è costante, mentre in una serie geometrica, il rapporto tra ogni coppia di termini successivi è costante.

Ad esempio, consideriamo la seguente serie dei primi 10 numeri dispari:

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19\footnotesize 1\! +\! 3\! +\! 5\! +\! 7\! +\! 9\! +\! 11\! +\! 13\! +\! 15\! +\! 17\! +\! 19.

Si tratta di una serie aritmetica poiché la differenza tra due coppie di numeri successivi è 2. Possiamo trovare la somma utilizzando la seguente formula:

Sn=n2 [2a+(n1)d]S_n = \frac{n}{2}\ [2a + (n - 1) d],

dove:

  • nn — Numero di termini;
  • aa — Primo termine; e
  • dd — Differenza comune.

Possiamo utilizzare la formula precedente anche per calcolare la somma parziale di una serie aritmetica infinita. Quindi, nell'esempio precedente, la somma a 10 termini sarà:

S10=102 [2×1+(101)×2]S_{10} = \frac{10}{2}\ [2\times1 + (10 - 1)\times2]

S10=100S_{10} = 100.

Se abbiamo una serie geometrica, useremo una formula diversa per trovare la somma, che vedremo di seguito.

💡 Puoi dare un'occhiata al nostro calcolatore per la progressione aritmetica e al nostro calcolatore per la progressione geometrica se vuoi approfondire le tue conoscenze sulle serie aritmetiche e sulle serie geometriche, rispettivamente. Potresti trovare interessante anche il nostro calcolatore per la somma di progressione dei numeri lineari 🇺🇸.

Come si calcola la somma di una serie geometrica?

Per sapere come trovare la somma di una serie in progressione geometrica, possiamo utilizzare la formula della somma finita o il calcolo della somma infinita. Una serie geometrica può convergere o divergere a seconda del valore della ragione comune rr.

Per decidere la convergenza vs la divergenza di una serie geometrica, seguiamo la seguente linea guida basata sulla ragione rr:

  • Se r>1|r| > 1, allora la serie geometrica diverge e la sua somma a termini infiniti non può essere determinata;

  • Se r<1|r| < 1, allora la serie geometrica converge in una somma infinita e possiamo calcolare la somma delle serie infinite; e

  • Se r=1|r| = 1, allora la serie geometrica è periodica e la sua somma a termini infiniti non può essere determinata.

D'altra parte, per calcolare la somma parziale di una serie geometrica a un numero specifico di termini, utilizzeremo la formula:

Sn=a1×(1rn)1rS_n = \large\frac{a_1\times (1-r^n)}{1-r},

dove:

  • a1a_1Primo termine;
  • rrRagione comune; e
  • nnNumero di termini.

Come si calcola la somma di una serie geometrica infinita?

Per calcolare la somma di una serie con convergenza geometrica a un numero infinito di termini, utilizzeremo la formula:

S=a1rS = \frac{a}{1 - r},

dove:

  • aa — Primo termine; e
  • rr — Ragione comune.

Ad esempio, consideriamo la seguente serie geometrica:

1+12+14+18+...1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ...

Qui, a=1a = 1 e r=12r = \frac{1}{2}.

Quindi, la somma di un numero infinito di termini è:

S=1112S = \large\frac{1}{1 - \frac{1}{2}},

il che ci dà:

S=2S = 2.

In questo modo, possiamo calcolare la somma di una serie geometrica con un numero infinito di termini se la ragione rr è compresa tra 1-1 e 11.

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FAQ

Come si calcola la convergenza o la divergenza di una serie?

Per decidere la convergenza vs la divergenza di una serie geometrica infinita, segui questi passi:

  1. Determina la ragione comune r.

  2. Se |r| > 1, allora la serie diverge;

  3. Se |r| < 1, allora la serie converge; e

  4. Se |r| = 1, allora la serie è periodica, ma la sua somma diverge.

Qual è la formula della somma di n termini di una progressione aritmetica?

Sn = (n/2)×[2a + (n-1)×d] è la formula per trovare la somma di n termini di una progressione aritmetica, dove:

  • nNumero di termini;
  • aPrimo termine; e
  • dDifferenza comune, ovvero la differenza tra termini successivi.

Qual è la formula della somma di serie per una progressione aritmetica?

Sn = (n/2)×(a + l), il che significa che possiamo trovare la somma di una serie aritmetica moltiplicando il numero di termini per la media del primo e dell'ultimo termine. Nell'equazione:

  • n — Numero di termini;
  • a — Primo termine; e
  • l — Ultimo termine.

Qual è la somma di 1 a N?

1 + 2 + 3 + ... + N = N(N + 1) / 2

Possiamo utilizzare questa formula per trovare la somma dei primi N numeri naturali. Questa formula è il risultato della formula di progressione aritmetica sommata, con il primo termine pari a 1 e la differenza comune pari a 1.

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