Calcolatore per la Somma delle Serie

Utilizzando il calcolatore per la somma delle serie, puoi calcolare la somma di una serie infinita che ha una convergenza geometrica e la somma parziale di una serie aritmetica o geometrica. Questo risolutore di somme può anche aiutarti a calcolare la convergenza o la divergenza di una serie.

Molte volte vorremmo calcolare la somma 🇺🇸 di una serie, e per farlo è utile sapere prima se la serie, o progressione, è aritmetica o geometrica. In una serie aritmetica, la ragione (differenza) tra ogni coppia di termini successivi è costante, mentre in una serie geometrica, il rapporto tra ogni coppia di termini successivi è costante.

Ad esempio, consideriamo la seguente serie dei primi 10 numeri dispari:

$\footnotesize 1\! +\! 3\! +\! 5\! +\! 7\! +\! 9\! +\! 11\! +\! 13\! +\! 15\! +\! 17\! +\! 19$.

Si tratta di una serie aritmetica poiché la ragione (differenza) tra due coppie di numeri successivi è 2. Possiamo trovare la somma utilizzando la seguente formula:

$S_n = \frac{n}{2}\ [2a + (n - 1) d]$,

dove:

• $n$ — Numero di termini;
• $a$ — Primo termine; e
• $d$ — Ragione.

Possiamo utilizzare la formula precedente anche per calcolare la somma parziale di una progressione aritmetica infinita. Quindi, nell'esempio precedente, la somma a 10 termini sarà:

$S_{10} = \frac{10}{2}\ [2\times1 + (10 - 1)\times2]$

$S_{10} = 100$.

Se abbiamo una serie geometrica, useremo una formula diversa per trovare la somma, che vedremo di seguito.

Per sapere come trovare la somma di una serie in progressione geometrica, possiamo utilizzare la formula della somma finita o il calcolo della somma infinita. Una serie geometrica può essere convergente o divergente a seconda del valore della ragione comune $r$.

Per decidere la convergenza vs la divergenza di una serie geometrica, seguiamo la seguente linea guida basata sulla ragione $r$:

• Se $|r| > 1$, allora la serie geometrica è divergente e la sua somma a termini infiniti non può essere determinata;

• Se $|r| < 1$, allora la serie geometrica è convergente in una somma infinita e possiamo calcolare la somma delle serie infinite; e

• Se $|r| = 1$, allora la serie geometrica è periodica e la sua somma a termini infiniti non può essere determinata.

D'altra parte, per calcolare la somma parziale di una serie geometrica a un numero specifico di termini, utilizzeremo la formula:

$S_n = \large\frac{a_1\times (1-r^n)}{1-r}$,

dove:

• $a_1$ — Primo termine;
• $r$ — Ragione comune; e
• $n$ — Numero di termini.

Per calcolare la somma di una serie con convergenza geometrica a un numero infinito di termini, utilizzeremo la formula:

$S = \frac{a}{1 - r}$,

dove:

• $a$ — Primo termine; e
• $r$ — Ragione comune.

Ad esempio, consideriamo la seguente progressione geometrica:

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ...$

Qui, $a = 1$ e $r = \frac{1}{2}$.

Quindi, la somma di un numero infinito di termini è:

$S = \large\frac{1}{1 - \frac{1}{2}}$,

il che ci dà:

$S = 2$.

In questo modo, possiamo calcolare la somma di una serie geometrica con un numero infinito di termini se la ragione $r$ è compresa tra $-1$ e $1$.