Calculateur de score Z

Le score Z, également connu sous le nom de score standard ou Z-score, est une mesure de la distance d'un point de données par rapport à la moyenne, exprimée en écarts types. Le « Z » peut être minuscule ou majuscule. Pour des raisons de lisibilité, nous avons fait le choix de l'écrire en majuscule. Vous pouvez utiliser notre calculateur de score Z pour déterminer cette valeur. Poursuivez votre lecture pour savoir comment calculer le score Z et comment utiliser le tableau de scores Z.

Le score Z est une valeur utilisée pour décrire la loi normale. Il est défini comme la distance entre la moyenne et le point de données, exprimée en termes d'écart type. Dans l'analyse statistique des données, il est également appelé score standard, valeur Z, ou score normal.

Pour trouver le score Z, vous devez d'abord calculer la moyenne et l'écart type d'un ensemble de données. La moyenne, désignée par le symbole μ, est la somme de toutes les valeurs de l'ensemble de données divisée par le nombre de points de données. Elle peut s'écrire μ = ∑x / n. L'écart type est calculé à l'aide de la formule :

σ = √[∑(x - μ)² / n]

où :
x – la valeur brute
n – le nombre de points de données

Pour étudier la formule plus en détail, nous vous recommandons de consulter le calculateur d'écart type.

Pour trouver le score Z, il vous suffit d'appliquer la formule suivante :

Z = (x - μ) / σ

Prenons l'exemple suivant : lors d'un test, quatre étudiants ont obtenu 50, 53, 62 et 70 points. Quel est le score Z pour le résultat 62 ?

1. Trouvez la moyenne des résultats en calculant μ = (50 + 53 + 62 + 70) / 4 = 58,75. Vous pouvez également utiliser notre calculateur de moyenne pour le faire.
2. Calculez les valeurs individuelles de (x - μ)² pour chaque résultat :

• (50 - 58,75)² = 76,562 5
• (53 - 58,75)² = 33,062 5
• (62 - 58,75)² = 10,562 5
• (70 - 58,75)² = 126,562 5

3. Calculez l'écart type : √[(76,562 5 + 33,062 5 + 10,562 5 + 126,562 5) / 4] =√(246,75 / 4) = 7,854
4. Entrez ces résultats dans l'équation du score Z pour x = 62 : Z = (62 - 58,75) / 7,854 = 0,41
5. Vous venez de trouver le score Z de 62 ! Vous pouvez aussi utiliser le calculateur du score Z pour trouver la moyenne ou l'écart type si vous connaissez le score Z.

Une table de scores Z permet de déterminer si un score Z donné est dans la partie supérieure ou inférieure d'une loi normale. Graphiquement parlant, on regarde où le score Z se situe par rapport à l'aire sous la courbe d'une loi normale. La première colonne du tableau est une liste de valeurs Z (précises à la première décimale). Dans la première ligne, vous pouvez trouver le chiffre qui se trouve à la deuxième décimale de votre score Z.

Dans notre exemple, le score Z de 62 est égal à 0,41. Tout d'abord, vous devez trouver Z = 0,4 dans la première colonne ; cette valeur vous indique la ligne que vous devez trouver. Ensuite, cherchez la valeur de 0,01 dans la première ligne. Elle déterminera dans quelle ligne vous devez regarder. L'aire sous la courbe de la loi normale centrée réduite (à gauche de notre score Z) est égale à 0,659 1. Rappelez-vous que l'aire totale sous cette courbe est égale à 1. Par conséquent, nous pouvons dire que la probabilité qu'un étudiant obtienne une note inférieure ou égale à 62 au test est de 0,659 1, soit 65,91 %.

En connaissant l'aire, vous pouvez également trouver la valeur p, c'est-à-dire la probabilité que le score soit supérieur à 62. Elle est simplement égale à 1 - 0,659 1 = 0,340 9 ou 34,09 %. Pour en savoir plus sur cette quantité, consultez le calculateur de valeur p d'Omni.

99,7 % des observations d'un processus qui suit la loi normale peuvent être trouvées dans les trois écarts types à gauche et à droite de la moyenne. Par conséquent, seulement 0,3 % des observations de ce processus se trouveront en dehors de l'intervalle de trois sigma.

Si vous essayez d'élargir cet intervalle et d'aller jusqu'à six sigmas à gauche et à droite, vous découvrirez que 99,999 999 802 7 % de vos points de données suivent ce principe. Si ce principe est appliqué avec succès, vous pouvez vous attendre à avoir 3,4 erreurs pour chaque million d'observations d'un processus.

De tels événements peuvent être considérés comme très improbables, comme les accidents, les mésaventures, ou les coups de chance. Supposons que vous exécutiez une tâche répétitive qui peut être décrite par la loi normale (comme la production d'un bien standardisé) à long terme. Dans ce cas, vous pouvez vous attendre à ce que les erreurs graves se produisent si rarement qu'elles deviennent négligeables.

C'est la raison d'être du système de contrôle de la qualité basé sur la loi normale centrée réduite, appelé Six Sigma. Mis au point chez Motorola dans les années 1980, ce système utilise l'analyse statistique pour mesurer et éliminer les erreurs.

Ce processus comporte cinq éléments principaux : a) définir, b) mesurer, c) analyser, d) améliorer et e) contrôler. La notion de base est qu'un processus nécessite une correction sérieuse lorsqu'il s'écarte de plus de trois sigmas de sa moyenne. En d'autres termes, l'objectif principal de votre gestion et de vos contrôles de la qualité doit être de faire en sorte que le résultat de votre processus de production soit aussi proche que possible de la loi normale.

Grâce à la méthode Six Sigma, au cours des trois dernières décennies, la loi normale a été utilisée pour améliorer divers processus, de la fabrication aux transactions, tant dans les usines que dans les bureaux.