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Calculateur de score Z

Sommaire

Comment calculer le score Z ?Calcul du score Z : un exempleQu'est-ce qu'un tableau de scores Z ?Calculateur de score Z et la méthode Six SigmaFAQ

Le score Z, également connu sous le nom de score standard ou Z-score, est une mesure de la distance d'un point de données par rapport à la moyenne, exprimée en écarts types. Le « Z » peut être minuscule ou majuscule. Pour des raisons de lisibilité, nous avons fait le choix de l'écrire en majuscule. Vous pouvez utiliser notre calculateur de score Z pour déterminer cette valeur. Poursuivez votre lecture pour savoir comment calculer le score Z et comment utiliser le tableau de scores Z.

🙋 Dans le même ordre d'idées, consultez notre calculateur de test Z et devenez le maître des statistiques démographiques.

Comment calculer le score Z ?

Le score Z est une valeur utilisée pour décrire la loi normale. Il est défini comme la distance entre la moyenne et le point de données, exprimée en termes d'écart type. Dans l'analyse statistique des données, il est également appelé score standard, valeur Z, ou score normal.

Pour trouver le score Z, vous devez d'abord calculer la moyenne et l'écart type d'un ensemble de données. La moyenne, désignée par le symbole μ, est la somme de toutes les valeurs de l'ensemble de données divisée par le nombre de points de données. Elle peut s'écrire μ = ∑x / n. L'écart type est calculé à l'aide de la formule :

σ = √[∑(x - μ)² / n]

où :
x – la valeur brute
n – le nombre de points de données

Pour étudier la formule plus en détail, nous vous recommandons de consulter le calculateur d'écart type 🇺🇸.

Pour trouver le score Z, il vous suffit d'appliquer la formule suivante :

Z = (x - μ) / σ

Calcul du score Z : un exemple

Prenons l'exemple suivant : lors d'un test, quatre étudiants ont obtenu 50, 53, 62 et 70 points. Quel est le score Z pour le résultat 62 ?

  1. Trouvez la moyenne des résultats en calculant μ = (50 + 53 + 62 + 70) / 4 = 58,75. Vous pouvez également utiliser notre calculateur de moyenne pour le faire.
  2. Calculez les valeurs individuelles de (x - μ)² pour chaque résultat :
  • (50 - 58,75)² = 76,562 5
  • (53 - 58,75)² = 33,062 5
  • (62 - 58,75)² = 10,562 5
  • (70 - 58,75)² = 126,562 5
  1. Calculez l'écart type : √[(76,562 5 + 33,062 5 + 10,562 5 + 126,562 5) / 4] =√(246,75 / 4) = 7,854
  2. Entrez ces résultats dans l'équation du score Z pour x = 62 : Z = (62 - 58,75) / 7,854 = 0,41
  3. Vous venez de trouver le score Z de 62 ! Vous pouvez aussi utiliser le calculateur du score Z pour trouver la moyenne ou l'écart type si vous connaissez le score Z.

Qu'est-ce qu'un tableau de scores Z ?

Une table de scores Z permet de déterminer si un score Z donné est dans la partie supérieure ou inférieure d'une loi normale. Graphiquement parlant, on regarde où le score Z se situe par rapport à l'aire sous la courbe d'une loi normale. La première colonne du tableau est une liste de valeurs Z (précises à la première décimale). Dans la première ligne, vous pouvez trouver le chiffre qui se trouve à la deuxième décimale de votre score Z.

Dans notre exemple, le score Z de 62 est égal à 0,41. Tout d'abord, vous devez trouver Z = 0,4 dans la première colonne ; cette valeur vous indique la ligne que vous devez trouver. Ensuite, cherchez la valeur de 0,01 dans la première ligne. Elle déterminera dans quelle ligne vous devez regarder. L'aire sous la courbe de la loi normale centrée réduite (à gauche de notre score Z) est égale à 0,659 1. Rappelez-vous que l'aire totale sous cette courbe est égale à 1. Par conséquent, nous pouvons dire que la probabilité qu'un étudiant obtienne une note inférieure ou égale à 62 au test est de 0,659 1, soit 65,91 %.

En connaissant l'aire, vous pouvez également trouver la valeur p, c'est-à-dire la probabilité que le score soit supérieur à 62. Elle est simplement égale à 1 - 0,659 1 = 0,340 9 ou 34,09 %. Pour en savoir plus sur cette quantité, consultez le calculateur de valeur p d'Omni.

Calculateur de score Z et la méthode Six Sigma

99,7 % des observations d'un processus qui suit la loi normale peuvent être trouvées dans les trois écarts types à gauche et à droite de la moyenne. Par conséquent, seulement 0,3 % des observations de ce processus se trouveront en dehors de l'intervalle de trois sigma.

Si vous essayez d'élargir cet intervalle et d'aller jusqu'à six sigmas à gauche et à droite, vous découvrirez que 99,999 999 802 7 % de vos points de données suivent ce principe. Si ce principe est appliqué avec succès, vous pouvez vous attendre à avoir 3,4 erreurs pour chaque million d'observations d'un processus.

De tels événements peuvent être considérés comme très improbables, comme les accidents, les mésaventures, ou les coups de chance. Supposons que vous exécutiez une tâche répétitive qui peut être décrite par la loi normale (comme la production d'un bien standardisé) à long terme. Dans ce cas, vous pouvez vous attendre à ce que les erreurs graves se produisent si rarement qu'elles deviennent négligeables.

C'est la raison d'être du système de contrôle de la qualité basé sur la loi normale centrée réduite, appelé Six Sigma. Mis au point chez Motorola dans les années 1980, ce système utilise l'analyse statistique pour mesurer et éliminer les erreurs.

Ce processus comporte cinq éléments principaux : a) définir, b) mesurer, c) analyser, d) améliorer et e) contrôler. La notion de base est qu'un processus nécessite une correction sérieuse lorsqu'il s'écarte de plus de trois sigmas de sa moyenne. En d'autres termes, l'objectif principal de votre gestion et de vos contrôles de la qualité doit être de faire en sorte que le résultat de votre processus de production soit aussi proche que possible de la loi normale.

Grâce à la méthode Six Sigma, au cours des trois dernières décennies, la loi normale a été utilisée pour améliorer divers processus, de la fabrication aux transactions, tant dans les usines que dans les bureaux.

FAQ

Comment interprétez-vous le score Z ?

Le score Z vous indique de combien d'écarts types un point de données se situe au-dessus ou au-dessous de la moyenne. Un score Z positif signifie que le point de données est supérieur à la moyenne, tandis qu'un score Z négatif signifie qu'il est inférieur à la moyenne. Un score Z de 1 signifie que le point de données se situe exactement à 1 écart type au-dessus de la moyenne.

Comment trouver le score Z avec une calculatrice ?

Pour trouver le score Z à l'aide d'une calculatrice ordinaire, procédez comme suit :

  1. Calculez la moyenne : (∑x) / n.
  2. Calculez l'écart type facilement à l'aide de la formule : (∑(x²) - (∑x)²/n) / n. Le diviseur est modifié en n - 1 pour les données de l'échantillon.
  3. Calculez le score Z à l'aide de la formule : Z = (x - moyenne) / écart type.

Le score Z peut-il être négatif ?

Oui, un score Z négatif indique que votre point de données est inférieur à la moyenne !

Comment lire un tableau de scores Z ?

Un tableau de scores Z vous aide à trouver la valeur p, ou le percentile, à laquelle correspond votre point de données en fonction de son score Z. Procédez comme suit :

  1. Déterminez si votre score Z est négatif ou positif.
  2. Si le score Z est négatif (c'est-à-dire que le point de données est inférieur à la moyenne), utilisez un tableau de scores Z négatifs. Si le score Z est positif (c'est-à-dire que le point de données est supérieur à la moyenne), utilisez un tableau de scores Z positifs.
  3. Cherchez dans la colonne la plus à gauche le score Z qui correspond au vôtre jusqu'à la première décimale (1ᵉʳ rang après la virgule). Par exemple, pour un score Z de 2,15, vous trouvez 2,1.
  4. Cherchez dans la ligne supérieure le score Z qui correspond à la deuxième décimale (2ᵉ rang après la virgule). Par exemple, pour un score Z de 2,15, vous trouvez 0,05.
  5. Trouvez la valeur p à l'intersection de la ligne et de la colonne correspondantes. Pour un score Z de 2,15, le tableau de scores Z vous donne une valeur p de 0,984 22.
  6. Pour trouver le percentile, multipliez la valeur p par 100 %. Un score Z de 2,15 se situe dans le 98ᵉ percentile.

Quel est le score Z du 90ᵉ percentile ?

Un score Z de 1,645 indique que votre point de données se situe dans le 90ᵉ percentile.

Comment trouver le score Z avec la moyenne et l'écart type ?

Si vous connaissez la moyenne et l'écart type, vous pouvez trouver le score Z à l'aide de la formule Z = (x - μ) / σx est votre point de données, μ est la moyenne et σ est l'écart type.

Comment trouver la valeur p à partir du score Z ?

La façon la plus simple de trouver la valeur p à partir du score Z est d'utiliser un tableau de scores Z. Le calcul à proprement dit consiste à intégrer l'aire sous la courbe d'une loi normale centrée réduite.

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