Calculateur de suites arithmétiques

Ce calculateur de suites arithmétiques (également appelé calculateur de séries arithmétiques) est un outil pratique pour analyser une suite de nombres créée en ajoutant une valeur constante à chaque fois. Vous pouvez l'utiliser pour trouver n'importe quelle propriété de la suite : le premier terme, la différence commune, le n-ième terme ou la somme des n premiers termes. Vous pouvez commencer à l'utiliser directement ou lire la suite pour découvrir son fonctionnement.

Dans cet article, nous expliquons la définition de la suite arithmétique, clarifions l'équation de la suite utilisée par le calculateur et vous donnons la formule pour trouver les séries arithmétiques (somme d'une progression arithmétique). Nous vous donnons par ailleurs un aperçu des différences entre les suites arithmétiques et les suites géométriques, ainsi qu'un exemple facile à comprendre de l'utilisation de notre outil.

Pour répondre à cette question, vous devez d'abord savoir ce que signifie le terme suite. Par définition, une suite en mathématiques est une collection d'objets, tels que des nombres ou des lettres, qui se présentent dans un ordre spécifique. Ces objets sont appelés éléments ou termes de la suite. Il est fréquent qu'un même objet apparaisse plusieurs fois dans une suite.

Une suite arithmétique est également un ensemble d'objets : plus précisément, de nombres. Chaque nombre consécutif est créé en ajoutant un nombre constant (appelé différence commune) au nombre précédent. Une telle suite peut être finie lorsqu'elle a un nombre déterminé de termes (par exemple, 20), ou infinie si nous ne spécifions pas le nombre de termes.

Chaque suite arithmétique est définie de manière unique par deux coefficients : la différence commune et le premier terme. Si vous connaissez ces deux valeurs, vous êtes en mesure d'écrire toute la suite.

Lorsque vous commencez à vous intéresser à la question de savoir ce qu'est une suite arithmétique, il est probable qu'une confusion s'installe. Cela est dû aux différentes conventions d'appellation utilisées.

Deux des termes les plus courants que vous pouvez rencontrer sont suite arithmétique et séries. Le premier est également souvent appelé progression arithmétique, tandis que le second est également appelé somme partielle.

La principale différence entre une suite et une série est que, par définition, une suite arithmétique est simplement l'ensemble des nombres créés en ajoutant à chaque fois la différence commune. Les séries arithmétiques, quant à elles, sont la somme de n termes d'une suite. Par exemple, vous pouvez représenter la somme des 12 premiers termes par : S₁₂ = a₁ + a₂ + ... + a₁₂.

Voici quelques exemples de suites arithmétiques :

• 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, …
• 6, 3, 0, -3, -6, -9, -12, -15, …
• 50, 50,1, 50,2, 50,3, 50,4, 50,5, …

Pouvez-vous trouver la différence commune de chacune de ces séquences ? Conseil : essayez de soustraire un terme du terme suivant.

Sur la base de ces exemples de suites arithmétiques, vous pouvez observer que la différence commune ne doit pas forcément être un nombre naturel ; il peut s'agir d'une fraction. En fait, il n'est même pas nécessaire qu'elle soit positive !

Si la différence commune d'une suite arithmétique est positive, nous l'appelons suite croissante. Naturellement, si la différence est négative, la suite sera décroissante. Que se passe-t-il dans le cas d'une différence nulle ? Eh bien, vous obtiendrez une suite monotone, où chaque terme est égal au précédent.

Jetons un coup d'œil à cette suite :

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

Pouvez-vous en déduire la différence commune dans ce cas ?

En fait, vous ne devriez pas pouvoir le faire. Il ne s'agit pas d'un exemple de suite arithmétique, mais d'un cas particulier appelé suite de Fibonacci. Chaque terme est obtenu en additionnant les deux termes qui le précèdent. Intéressant, n'est-ce pas ? Si vous voulez en savoir plus, consultez le calculateur de la suite de Fibonacci 🇺🇸. Cela vaut la peine d'y consacrer du temps.

Une excellente application de la suite de Fibonacci est la construction d'une spirale. Si vous dessinez des carrés dont les côtés ont une longueur égale aux termes consécutifs de cette suite, vous obtiendrez une spirale parfaite.

Les mathématiciens ont toujours aimé la suite de Fibonacci ! Si vous souhaitez découvrir une suite qui les effraie depuis près d'un siècle, consultez notre calculateur de conjecture de Syracuse 🇺🇸.

Supposons que vous souhaitiez trouver le 30-ième terme de l'une des suites mentionnées ci-dessus (à l'exception de la suite de Fibonacci, bien sûr). Il serait fastidieux et long d'écrire les 30 premiers termes. Cependant, vous avez probablement remarqué qu'il n'est pas nécessaire de les écrire tous ! Il suffit d'ajouter 29 différences communes au premier terme.

Généralisons cet énoncé pour formuler l'équation de la suite arithmétique. Il s'agit de la formule pour tout n-ième terme de la suite.

a_n = a₁ + (n-1)d

où :

• a_n  – le n-ième terme de la suite
• d  – la différence commune
• a₁  – le premier terme de la suite

Cette formule de suite arithmétique s'applique dans le cas de toutes les différences communes, qu'elles soient positives, négatives ou égales à zéro. Naturellement, dans le cas d'une différence nulle, tous les termes sont égaux entre eux, ce qui rend tout calcul inutile.

Notre calculateur de suites arithmétiques peut également trouver la somme de la suite (appelée série arithmétique) pour vous. Croyez-nous, vous pouvez le faire vous-même. Ce n'est pas si difficile !

Regardez le premier exemple de suite arithmétique : 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21. Nous pourrions additionner tous les termes à la main, mais ce n'est pas nécessaire. Essayons d'additionner les termes d'une manière plus organisée. Nous allons additionner le premier et le dernier terme, puis le deuxième et l'avant-dernier, le troisième et l'avant-dernier, etc. Vous remarquerez rapidement que :

• 3 + 21 = 24
• 5 + 19 = 24
• 7 + 17 = 24

La somme de chaque paire est constante et égale à 24. Cela signifie qu'il n'est pas nécessaire d'additionner tous les nombres. Il suffit d'additionner le premier et le dernier terme de la séquence et de multiplier cette somme par le nombre de paires (c'est-à-dire par n/2).

Mathématiquement, cela s'écrit comme suit :

S = n/2 × (a₁ + a)

En substituant l'équation de la suite arithmétique pour le n-ième terme :

S = n/2 × [a₁ + a₁ + (n-1)d]

Après simplification :

S = n/2 × [2a₁ + (n-1)d]

Cette formule vous permettra de trouver la somme d'une suite arithmétique.

Lorsque vous cherchez la somme d'une suite arithmétique, vous avez probablement remarqué que vous devez choisir la valeur de n pour calculer la somme partielle. Et si vous vouliez sommer tous les termes de la suite ?

Intuitivement, la somme d'un nombre infini de termes sera égale à l'infini, que la différence commune soit positive, négative ou même égale à zéro. Ce n'est cependant pas le cas pour tous les types de séquences. Si vous en choisissez une autre, par exemple une suite géométrique, la somme à l'infini pourrait s'avérer être un terme fini.

Il est évident que notre calculateur de suites arithmétiques n'est pas en mesure d'analyser tout autre type de séquence. Par exemple, la séquence 2, 4, 8, 16, 32, ..., n'a pas de différence commune. C'est parce qu'il s'agit d'un autre type de séquence : une suite géométrique.

Quelle est la principale différence entre une suite arithmétique et une suite géométrique ? Alors qu'une suite arithmétique utilise une différence commune pour construire chaque terme consécutif, une suite géométrique utilise un rapport commun, appelé raison. Cela signifie que nous multiplions chaque terme par un certain nombre à chaque fois que nous voulons créer un nouveau terme.

Un exemple intéressant de suite géométrique est ce que l'on appelle l'univers numérique. Vous avez probablement entendu dire que la quantité d'informations numériques double tous les deux ans. Cela signifie que vous pouvez écrire les nombres représentant la quantité de données dans une suite géométrique, avec une raison commune égale à deux.

Vous pouvez également analyser un type de suite particulier, appelé suite arithmético-géométrique. Elle est créée en multipliant les termes de deux suites : une arithmétique et une géométrique.

Par exemple, considérez les deux progressions suivantes :

• Suite arithmétique : 1, 2, 3, 4, 5, ...
• Suite géométrique : 1, 2, 4, 8, 16, ...

Pour obtenir un n-ième terme de la série arithmético-géométrique, il faut multiplier le n-ième terme de la suite arithmétique par le n-ième terme de la suite géométrique. Dans ce cas, le résultat sera le suivant :

• Premier terme : 1 × 1 = 1
• Deuxième terme : 2 × 2 = 4
• Troisième terme : 3 × 4 = 12
• Quatrième terme : 4 × 8 = 32
• Cinquième terme : 5 × 16 = 80

Une telle suite est définie par quatre paramètres : la valeur initiale de la suite arithmétique a, la différence commune d, la valeur initiale de la suite géométrique b et la raison commune r.

Analysons un exemple simple qui peut être résolu en utilisant la formule de la suite arithmétique. Nous allons jeter un coup d'œil sur l'exemple de la chute libre.

Une pierre tombe librement dans un puits profond. Au cours de la première seconde, elle parcourt quatre mètres. Chaque seconde suivante, la distance qu'elle parcourt s'allonge de 9,8 mètres. Quelle est la distance parcourue par la pierre entre la cinquième et la neuvième seconde ?

La distance parcourue suit une progression arithmétique avec une valeur initiale a = 4 m et une différence commune, d = 9,8 m.

Tout d'abord, nous allons trouver la distance totale parcourue au cours des neuf premières secondes de la chute libre en calculant la somme partielle S₉ (n = 9) :

S₉ = n/2 × [2a₁ + (n-1)d] = 9/2 × [2 × 4 + (9-1) × 9,8] = 388,8 m

Au cours des neuf premières secondes, la pierre parcourt un total de 388,8 m. Cependant, nous ne nous intéressons qu'à la distance parcourue entre la cinquième et la neuvième seconde. Comment calculer cette valeur ? C'est facile : il suffit de soustraire la distance parcourue au cours des quatre premières secondes, S₄, de la somme partielle S₉.

S₄ = n/2 × [2a₁ + (n-1)d] = 4/2 × [2 × 4 + (4-1) × 9,8] = 74,8 m

S₄ est égal à 74,8 m. Nous pouvons maintenant trouver le résultat par une simple soustraction :

distance = S₉ - S₄ = 388,8 - 74,8 = 314 m

Il existe une autre méthode pour résoudre cet exemple. Vous pouvez utiliser la formule de la suite arithmétique pour calculer la distance parcourue en cinquième, sixième, septième, huitième et neuvième seconde et additionner ces valeurs. Essayez de le faire vous-même : vous vous rendrez vite compte que le résultat est exactement le même !