Calculateur d'octogone

Bienvenue sur le calculateur d'octogone, l'outil ultime pour tout ce qui concerne les octogones. Nous espérons que vous trouverez ici un excellent outil pour calculer les diagonales, le périmètre, les rayons des cercles circonscrit et inscrit et l'aire d'un octogone régulier. Ce calculateur d'aire d'octogone répondra à toutes vos questions : qu'est-ce qu'un octogone ? combien de côtés a un octogone ? comment trouver l'aire d'un octogone régulier ? comment tracer un octogone ?

Nous allons explorer la définition de l’octogone, aborder ses angles et discuter de la manière dont ces angles déterminent la forme si caractéristique de l'octogone. Enfin, nous vous proposerons des exemples d'octogones que l'on peut rencontrer dans la vie quotidienne : le carrelage octogonal, le panneau « STOP », The Octagon House, etc.

En général, un octogone est défini comme un polygone fermé à 8 côtés. Ceux qui connaissent les bases du grec, même sans rien savoir des mathématiques, n'auront pas de problème à répondre à la question « combien de côtés a un octogone ? ».

En effet, octo en grec signifie « huit ». On peut donc supposer sans risque qu'un octogone a huit côtés et qu'octobre est le huitiè... pardon, revenons à notre octogone.

Nous reviendrons plus en détail sur l'origine grecque de la forme octogonale lorsque nous parlerons des angles de l'octogone, mais pour l'instant, restons-en à ses côtés. Si quelqu'un demande « Combien de côtés a un octogone ? », la réponse est toujours la même. Toutefois, en ce qui concerne la longueur des côtés d'un octogone, il y a une infinité de réponses. Un octogone reste un octogone même si tous ses côtés sont différents. Cependant, on peut parler d'un octogone régulier si ses côtés et ses angles internes sont identiques. Un octogone régulier possède quelques propriétés particulières, que nous explorerons dans les sections suivantes.

Le mot « octogone » vient du grec, et à l'origine, signifie « huit angles ». Il en résulte un polygone composé de huit sommets reliés par huit lignes droites. Les côtés sont au nombre de huit tout simplement parce que la figure a huit angles. En fait, la définition standard de l'octogone définit l'octogone comme ayant huit côtés plutôt que huit angles, mais vous savez déjà que les deux définitions sont pratiquement identiques. Ainsi, si vous vous demandez « Qu'est-ce un octogone ? », la réponse peut être aussi bien « un polygone à huit côtés » que « un polygone à huit angles ».

La longueur des côtés d'un octogone peut varier, mais la somme de ses angles est constante. En effet, il est impossible de relier les huit côtés ensemble sans que la somme des angles soit de 1080°. Cette somme est donc une propriété géométrique de l'octogone.

Cela signifie qu'un octogone régulier aura des angles internes égaux à exactement 1080°/8 = 135°. (Si vous préférez d'autres unités, n'hésitez pas à utiliser notre convertisseur d'angles 🇺🇸.) À notre avis, un octogone régulier est beaucoup plus joli que les autres octogones. Plus loin dans le texte, nous verrons comment trouver l'aire d'un octogone et les astuces associées à un octogone régulier.

Si vous voulez savoir comment trouver l'aire d'un octogone régulier à la main, la manière la plus simple est d'appliquer la formule de base pour l'aire d'un polygone régulier :

Aire d'un polygone régulier = périmètre × apothème / 2

L'apothème est la distance entre le centre du polygone et le milieu d'un côté.

Pour se souvenir de cette formule, il faut comprendre d'où elle vient. Si vous regardez l'apothème, vous verrez qu'il s'agit de la hauteur d'un triangle tracé entre deux sommets adjacents et le centre d'un polygone (dans notre cas, un octogone). Le triangle qui en résulte est un triangle isocèle. Comme nous l'avons expliqué dans le calculateur d'aire d'un triangle, l'aire de ce triangle est la suivante :

aire du triangle = base × hauteur / 2

Notez que la base du triangle est la longueur d'un côté de l'octogone. Puisque le polygone possède autant de triangles que de côtés, vous devez multiplier l'aire de ce triangle par le nombre de côtés. Notre octogone a huit côtés, donc son aire sera égale à :

Aire de l'octogone = 8 × base × hauteur / 2 = périmètre × apothème / 2

Que ce soit un hexagone, un ennéagone, ou n'importe quel polygone, cette astuce fonctionnera toujours à condition que le polygone en question soit régulier. Outre la méthode des triangles, il existe d'autres astuces que vous pouvez utiliser pour calculer l'aire d'un octogone si vous ne vous souvenez pas de la formule. Toutefois, elles ne fonctionneront pas pour les autres polygones. Par exemple, si vous imaginez un octogone à l'intérieur d'un carré, vous pouvez voir que la seule différence entre les aires des deux polygones sont quatre triangles rectangles. Comment trouve-t-on l'aire d'un octogone régulier à partir de ces informations ? C'est très facile :

1. Calculez l'aire du carré. Le côté est égal à 2 × apothème.
2. Calculez les côtés des triangles rectangles en utilisant le calculateur de triangles rectangles spéciaux.
3. Soustrayez quatre fois l'aire d'un triangle rectangle de l'aire du carré.
4. Vous avez calculé l'aire de votre octogone !

Par ailleurs, les triangles rectangles peuvent être organisés de manière qu'ils forment un carré. Dans ce cas, l'hypoténuse est égale au côté de l'octogone. Vous pouvez ainsi calculer l'aire du parallélogramme que vous venez de construire à partir des quatre triangles rectangles, et ensuite, la soustraire de l'aire du grand carré.

En outre, vous pouvez faire preuve d'encore plus de créativité. Imaginez par exemple que l'octogone soit composé d'un rectangle et de deux trapèzes égaux, l'un au-dessus et l'autre au-dessous du rectangle. Dans ce cas, il sera beaucoup plus facile de calculer l'aire puisque vous n'aurez qu'à additionner l'aire du rectangle et les aires des deux trapèzes.

Un octogone a 20 diagonales au total. Les plus longues d'entre elles se trouvent sur les axes de symétrie du polygone, et se rejoignent au point central, O, qui est aussi l'origine de la symétrie de la figure. Regardez l'image dans la section « Aire d'un octogone » pour référence.

Il existe trois types de diagonales :

• diagonales courtes, par exemple AG, FH ou CE ;
• diagonales moyennes, par exemple AF ou BE (également appelées hauteurs de l'octogone) ; et
• diagonales longues, par exemple AE ou BF.

Les formules des diagonales d'un octogone régulier peuvent être déduites facilement en utilisant les principes de base de la géométrie. Les voici  :

• Diagonale courte – s = a × √(2 + √2)
• Diagonale moyenne – m = a × (1 + √2)
• Diagonale longue – l = a × √(4 + 2√2)

Si vous voulez économiser du temps, utilisez le calculateur d'octogone.

On ne peut pas parler d'un octogone sans mentionner les rayons des cercles circonscrit et inscrit. Notre calculateur d'aire d'un octogone est capable de les trouver.

Vous pouvez remarquer que le rayon du cercle circonscrit est simplement la moitié de la longueur de la diagonale la plus longue :

• R = l/2 = a / 2 × √(4 + 2√2)

De même, le rayon du cercle inscrit est de même longueur que l'apothème, c'est-à-dire égal à la moitié de la hauteur de l'octogone :

• r = m/2 = a/2 × (1 + √2)

À première vue, il peut sembler facile de tracer un octogone, et en principe, c'est le cas. Il suffit de tracer n'importe quelle forme à huit côtés, et le tour est joué. Mais en général, on veut savoir comment dessiner un octogone régulier, et non pas n'importe quel octogone, car c'est la forme d'octogone qui vient plus facilement à l'esprit. Voyons donc comment tracer un octogone aussi régulièrement et facilement que possible.

La façon la plus précise serait d'utiliser des outils de dessin technique appropriés et de tracer un côté à la fois en séparant chaque côté par des angles de 135°. Mais en général, on n'a pas de règles, compas ou portemines sous la main ; cette méthode est donc peu pratique. Une manière plus simple de tracer un octogone régulier est de commencer par sa circonférence. On peut le faire à la main ou à l'aide d'un verre, d'une tasse ou même d'une pièce de monnaie.

Une fois la circonférence tracée, commencez à diviser votre cercle en deux. Vous obtiendrez d'abord deux demi-cercles. Ensuite, divisez-les à nouveau en deux pour obtenir quatre quarts de cercle. Divisez-les une dernière fois : vous obtiendrez huit sections égales. Nous pouvons maintenant rejoindre les points obtenus sur notre circonférence. Le résultat est un octogone parfaitement régulier. Mais méfiez-vous : la figure tracée peut manquer de précision, car elle a été dessinée sans compas et sans règles.

Une autre manière de tracer un octogone est liée à la formule de l'aire d'un octogone à l'aide d'un carré dont on a parlé plus haut. Commencez par dessiner un grand carré, puis coupez ses coins. Si vous vous y prenez bien, vous obtiendrez un octogone régulier. Cette méthode n'est pas aussi précise que la précédente, mais elle est plus facile à réaliser sans aucun outil.

Le fonctionnement du calculateur d'octogone n'est pas très compliqué, mais au cas où quelqu'un aurait des doutes et par souci d'exhaustivité, passons en revue les caractéristiques et les utilisations de ce calculateur d'aire d'un octogone. Tout d'abord, examinons les différents champs et leur signification.

• Longueur des côtés : longueur des côtés de l'octogone régulier.
• Périmètre : somme des longueurs de tous les côtés de l'octogone.
• Aire : espace délimité par l'octogone.
• Diagonale la plus longue : longueur de la droite reliant les deux sommets les plus éloignés.
• Diagonale moyenne : longueur de la droite joignant deux sommets séparés par deux autres sommets.
• Diagonale la plus courte : longueur de la droite joignant deux sommets séparés par un sommet.
• Rayon du cercle circonscrit : rayon du cercle englobant tous les huit sommets de l'octogone régulier.
• Rayon du cercle inscrit : rayon du cercle tangent aux huit côtés.

Maintenant que vous connaissez la signification de chaque paramètre, il est temps de voir comment utiliser le calculateur d'octogones pour obtenir facilement les valeurs que vous recherchez. La meilleure caractéristique de ce calculateur est qu'il ne nécessite qu'une seule entrée pour calculer le reste des valeurs. Cette innovation fait du calculateur d'octogones le moyen le plus rapide de calculer les propriétés d'un octogone.

Jusqu'à présent, nous avons parlé de la définition de l'octogone et de la manière de le tracer. Nous avons également vu des images d'octogones et nous avons éclairci tout doute sur le nombre de côtés d'un octogone. Il est maintenant temps de voir comment les octogones sont utilisés dans la vie de tous les jours. Les objets octogonaux sont plus faciles à fabriquer et à utiliser que ceux qui sont ronds en raison des lignes droites et des angles de cette figure. Ainsi, on trouve des carrelages octogonaux dans nos cuisines et nos salles de bains, et même certains bâtiments ont une forme octogonale.

Prenons comme exemple de The Octagon House (La Maison octogonale), ci-dessus, qui est une maison construite en forme octogonale à Washington D.C., aux États-Unis. Le projet a été conçu pour le colonel John Tayloe III : c'est pourquoi le bâtiment est également connu sous le nom de Colonel John Tayloe III House (Maison du colonel John Tayloe III). La maison s'inscrit dans la tradition américaine qui consiste à nommer les bâtiments d'après leur forme, comme c'est le cas pour le Pentagone, siège du ministère de la Défense des États-Unis en forme de pentagone régulier.

The Octagon House présente de nombreuses caractéristiques architecturales intéressantes, telles qu'un escalier de service triangulaire, ainsi qu'un escalier ovale, qui est plus grand que l'autre escalier, et la forme octogonale évidente du bâtiment. En plus de ces caractéristiques uniques, il existe plusieurs histoires de fantômes qui hanteraient la maison, en partie parce que son propriétaire était une figure importante du début de l'histoire américaine.

Comme tout polygone régulier, l'octogone se révèle utile très souvent. Nous avons déjà parlé de la construction de maisons octogonales, mais les octogones sont aussi appréciés dans tous les domaines de la construction. En effet, on voit souvent des carrelages, ou d'autres types de revêtement de sol de forme octogonale. On peut n'utiliser que des octogones, ou les combiner avec des carrés, quelle que soit la superficie.

La forme octogonale permet de créer différents motifs de diverses couleurs et en combinant plusieurs figures géométriques pour votre cuisine ou votre salle de bain.

Les octogones ont aussi un rôle passionnant dans l'univers photographique. En effet, l'obturateur, qui protège le capteur de la lumière lorsque l'appareil n'est pas utilisé, a toujours la forme d'un polygone régulier, y compris celle d'un octogone. Pour en savoir plus sur l'ouverture et son impact sur la qualité des photos, consultez notre calculateur d'ouverture d'un objectif 🇺🇸.

Avant que vous n'alliez consulter ce calculateur, nous voudrions vous donner encore une petite astuce. Vous aurez peut-être remarqué que les sources de lumière intense prises en photo ressemblent à des étoiles dont le nombre de branches varie en fonction de la caméra que l'on utilise. Cette observation est la clé pour déterminer si votre appareil photo a une ouverture octogonale ou non. En effet, le nombre de branches est égal au nombre de côtés du polygone qui constitue l'ouverture. Et combien de côtés a un octogone ? Exactement ! Il vous suffit donc de chercher des « étoiles » à huit branches pour savoir si une photo a été prise avec une ouverture octogonale. Cela fonctionne à tous les coups : il s'agit de physique et, plus précisément, de diffraction.