Calculateur de complément à 2

Voici le calculateur de complément à 2 (ou complément à deux), un outil fantastique qui vous aidera à trouver l'opposé d'un nombre binaire quelconque et à transformer ce complément à 2 en valeur décimale. Vous avez l'occasion d'apprendre ce qu'est la représentation du complément à deux et comment travailler avec des nombres négatifs dans les systèmes binaires. Cet article vous permettra également de découvrir comment fonctionne ce convertisseur de complément à deux ou comment transformer n'importe quel nombre binaire signé en valeur décimale à la main.

Dans le système binaire, tous les nombres sont une combinaison de deux chiffres, $0$ ou $1$. Chaque chiffre correspond à une puissance de 2, en commençant par la droite.

Par exemple, $12$ en binaire est $1100$, vu que $12 = 8 + 4 = 1\times2^3 + 1\times2^2 + 0\times2^1 + 0\times2^0$ (en notation scientifique). Le système hexadécimal est une version étendue du système binaire (qui utilise la base 16 au lieu de la base 2). Ce dernier est fréquemment utilisé dans de nombreux logiciels et systèmes informatiques. Pour en savoir plus, consultez notre convertisseur d'hexadécimal en décimal 🇺🇸.

L'apprentissage du langage binaire conduit à de nombreuses questions : Qu'en est-il des nombres négatifs dans le système binaire ? Comment soustraire les nombres binaires 🇺🇸 ? Vu que l'on utilise seulement $1$ et $0$ pour montrer respectivement la présence ou l'absence de quelque chose, ils existent deux approches principales.

1. Représentation en complément à 2. En d'autres termes, c'est le binaire signé, où le premier bit est indicateur du signe. La convention veut que quand un nombre binaire commence par $1$, il est négatif, tandis qu'un nombre commençant par $0$ est positif. Dans une représentation sur 8 bits, on peut noter n'importe quel nombre entre -128 et 127. Le nom de ce type de représentation vient du fait qu'un nombre négatif est le complément à deux d'un nombre positif.

2. Binaire non signé. Seules les valeurs positives peuvent être représentés. Son avantage par rapport à la notation signée est que, dans le même système de 8 bits, nous pouvons travailler avec n'importe quel nombre de 0 à 255.

La notation non signée est suffisante pour additionner ou multiplier des nombres positifs. Mais, en général, la solution la plus pratique est de travailler également avec des nombres négatifs. L'avantage de la représentation en complément à 2 est que la soustraction est équivalente à l'addition d'un nombre négatif, ce qui est facile à gérer.

Si vous souhaitez convertir un nombre décimal en binaire en utilisant la représentation en complément à deux, suivez ces étapes :

1. Choisissez le nombre de bits dans votre notation. Plus ce nombre est élevé, plus la quantité de nombres que vous pouvez saisir augmente.

2. Écrivez n'importe quel nombre décimal entier compris dans la plage qui apparaît sous la section « Décimal à binaire ».

3. ... Et c'est tout ! Le calculateur de complément à 2 fera le reste du travail : il affichera le nombre binaire équivalent et son complément à deux.

Voulez-vous calculer cela à la main ? Voici les démarches prises par le calculateur de complément à 2 :

1. Choisissez le nombre de bits dans la représentation binaire. Supposons que nous voulions que nos valeurs soient représentées sur 8 bits.

2. Notez votre nombre. Disons que nous avons choisi 16, dont l'équivalent binaire est $1\ 0000$.

3. Ajoutez quelques zéros en tête pour que le nombre ait huit chiffres, $0001\ 0000$. C'est 16 en complément à 2.

Et qu'en est-il de son équivalent, $-16$ ?

4. Remplacez tous les chiffres par leur opposé ($0\rightarrow1$ and $1\rightarrow0$). Dans notre cas, $0001\ 0000 \rightarrow 1110\ 1111$.

5. Ajoutez 1 à cette valeur : $1110\ 1111 + 1 = 1111\ 0000$.

6. $1111\ 0000$ en complément à deux est $-16$ en notation décimale. C'est aussi le complément à 2 de $0001\ 0000$.

En fait, si vous savez prendre l’opposé d’un chiffre et ajouter 1 à un nombre binaire, la représentation des nombres négatifs en binaire deviendra un jeu d'enfant !

Notre calculateur de complément à 2 peut également fonctionner dans l'autre sens : il est capable de convertir un complément à deux en son équivalent dans le système décimal. Essayons de convertir $1011\ 1011$, un binaire signé, en décimal. Ils existent deux méthodes :

Méthode nº 1

Convertissez ce binaire signé en décimal, comme d'habitude, mais multipliez le premier chiffre par $-1$ au lieu de $1$. En commençant par la droite :

Méthode nº 2

Comme vous pouvez voir, le premier chiffre est $1$, donc le nombre est négatif. Trouvez d'abord son complément à deux, puis convertissez la valeur en décimale et revenez à la valeur originale :

1. Inversez les chiffres : $1011\ 1011 \rightarrow 0100\ 0100$.
2. Rajoutez une unité : $0100\ 0100 + 1 = 0100\ 0101$.
3. Convertissez en décimal (en commençant par la droite),

4. $\rm{décimal} = 1 + 4 + 64 = 69$.
5. Comme $69$ est la valeur absolue de notre binaire initial (négatif), ajoutez un signe moins (−) devant.
6. $1011\ 1011$ est $-69$ en notation binaire en complément à deux.

Si vous souhaitez trouver un nombre entier dans sa représentation sur 8 bits en complément à deux, ce tableau peut vous être utile. Vous pouvez voir la valeur et son complément à deux sur la même ligne.

Si vous souhaitez travailler avec les valeurs d'un nombre différent de bits, il vous suffit d'utiliser notre calculateur de complément à deux pour économiser temps et efforts !

Le complément à deux est une façon de représenter les nombres négatifs en binaire, vu que l'on ne peut pas utiliser le signe moins (−). Il est remplacé dans la représentation du complément à deux par un chiffre, généralement situé au tout début.

• Si le premier chiffre est 0, le nombre est positif.
• Si le premier chiffre est 1, le nombre est négatif.

Pour calculer le complément à deux d'un nombre :

1. Si le nombre est négatif, élevez 2 au nombre de bits de votre représentation et, ensuite, soustrayez votre nombre de ce résultat.
2. Convertissez le nombre en binaire.
3. Si le nombre est négatif, ajoutez 1 à l'endroit approprié et complétez avec des 0.
4. Si le nombre est positif, ajoutez des 0 à la gauche du résultat jusqu'à la longueur désirée.

Le complément à 2 nous empêche toujours de représenter le dernier nombre positif ; par exemple, la représentation sur 8 bits nous permet de représenter des nombres compris entre -2⁷ = -128 et 2⁷-1 = 127. Si nous avions renoncé aux nombres négatifs (binaire non signé), 8 bits nous auraient permis de représenter des nombres allant de 0 à 2⁸-1 = 255.

La représentation de -37 en complément à deux sur 8 bits est 11011011₂. Pour trouver ce résultat :

1. Soustrayez 37 de 2⁷ :
   128 - 37 = 91
2. Trouvez la représentation binaire de 91 :
   91 = 64 + 16 + 8 + 2 + 1
   = 1·2⁶ + 0·2⁵ + 1·2⁴ + 1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 1·2⁰
   =1011011
3. Placez 1 au bon endroit pour indiquer que nous sommes partis d'un nombre négatif :
   −37₁₀ = 11011011₂