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Calculateur de flèche de poutre

Created by Kenneth Alambra and Nicholas Swanson
Reviewed by Bogna Szyk and Steven Wooding
Translated by Claudia Herambourg and Agata Flak
Last updated: Apr 17, 2024


Ce calculateur de flèche de poutre permet de déterminer la flèche maximale d'une poutre, bi-appuyée ou en porte-à-faux, soumise à une charge simple.

Le calculateur propose différents types de charges qui peuvent avoir un impact sur la poutre, peu importe sa longueur. L'amplitude et la position de ces charges affectent l'ampleur de la flexion de la poutre.

Le calculateur présente également les différentes formules de flèche utilisées pour calculer les flèches des poutres bi-appuyées et des poutres en porte-à-faux. Il explique aussi comment le module d'élasticité de la poutre et le moment d'inertie de sa section transversale affectent la flèche maximale calculée.

La flèche d'une poutre est une partie importante de l'analyse des poutres, mais l'analyse des contraintes est tout aussi importante. Le module d'inertie (ou module de section) est un outil puissant pour étudier les contraintes de flexion des poutres. Il peut être calculé à l'aide de notre calculateur de module d'inertie 🇺🇸.

Qu'est-ce que la flèche et la flexion d'une poutre ?

Image de la charpente d'une maison en cours de construction.

Pour la construction de bâtiments, nous utilisons généralement une ossature (charpente) qui est maintenue en place, dans le sol, par les fondations. Cette structure est comme le squelette des bâtiments, des maisons et même des ponts. Dans une charpente, nous appelons les éléments verticaux colonnes et les éléments horizontaux poutres. Les colonnes verticales supportent le poids de la structure, tandis que les poutres horizontales supportent les charges des dalles, des sols en bétons, des systèmes de solives pour plancher 🇺🇸 en bois et du toit.

Lorsque les poutres supportent des charges trop lourdes, elles se fléchissent. La flèche de la poutre (ou déflexion) est le déplacement vertical d'un point le long du centroïde de la poutre. On peut également considérer la surface de la poutre comme point de référence, tant que la hauteur et la profondeur de la poutre ne changent pas pendant la flexion.

Comment calculer la flèche maximale d'une poutre ?

Notre calculateur de flèche de poutre utilise les formules que les ingénieurs et les étudiants en ingénierie utilisent pour calculer rapidement la flèche maximale d'une poutre. Ces formules sont applicables aux charges simples et à une combinaison de charges simples. Nous avons compilé ces formules dans deux tableaux, ci-dessous :

Formules de flèche des poutres bi-supportées

Tableau de la flèche maximale pour une poutre bi-appuyée soumise à des charges simples.

Formules de flèche des poutres en porte-à-faux

Tableau de la flèche maximale pour une poutre en porte-à-faux soumise à des charges simples.

Méthode de superposition

Pour calculer la flèche maximale d'une poutre soumise à une combinaison de charges, on peut utiliser la méthode de superposition. Cette méthode consiste à additionner les flèches causées par chacune des charges prises séparément. Cependant, cette méthode ne donne qu'une valeur approchée de la flèche réelle. Pour calculer des charges complexes, il faut utiliser la méthode de double intégration.

Rigidité de la poutre

Pour calculer la flèche d'une poutre, il faut connaître sa rigidité et la charge ou la force qui influencerait la flexion de la poutre. Elle peut être calculée en multipliant le module d'élasticité de la poutre, noté E, par son moment d'inertie, noté I.

Le module d'élasticité est une propriété intrinsèque du matériau de la poutre. Plus il est élevé, plus la poutre est rigide. Le béton a un module d'élasticité compris entre 15 et 50 GPa (gigapascal), tandis que l'acier a un module d'élasticité compris entre 200 et 210 GPa. Cette différence de module d'élasticité explique pourquoi le béton est moins rigide que l'acier et se fissure plus facilement sous une charge importante.

Vous pouvez en savoir plus sur le module d'élasticité en consultant notre calculateur de contrainte 🇺🇸. D'autre part, pour déterminer le moment d'inertie d'une poutre particulière, vous pouvez consulter notre calculateur de moment d'inertie 🇺🇸. Le moment d'inertie représente la résistance d'un matériau à un mouvement de rotation. Il mesure la résistance d'un matériau à la rotation et dépend des dimensions de la section transversale du matériau.

Le moment d'inertie d'un matériau varie en fonction de l'axe de rotation. Pour illustrer ce concept, considérons une poutre rectangulaire de 20 cm de large et 30 cm de haut. En utilisant les formules du calculateur de moment d'inertie, nous pouvons calculer le moment d'inertie de la poutre selon deux axes différents :

lₓ = largeur × hauteur³ / 12
Iₓ = 20 × (30³) / 12
Iₓ = 45 000 cm⁴

Iᵧ = hauteur × largeur³ / 12
Iᵧ = 30 × (20³) / 12
Iᵧ = 20 000 cm⁴

Notez qu'il existe deux valeurs pour le moment d'inertie, car nous pouvons considérer la poutre comme se pliant verticalement (c'est-à-dire subissant un moment de flexion autour de l'axe des abscisses) ou latéralement (se pliant autour de l'axe des ordonnées). Puisque nous considérons la flèche de la poutre lorsque celle-ci se plie verticalement ou autour de l'axe des abscisses, nous devons utiliser Iₓ pour nos calculs.

Le moment d'inertie de la poutre est plus élevé autour de l'axe vertical que de l'axe horizontal. Cela signifie que la poutre est plus résistante à la flexion verticale qu'à la flexion horizontale. Cette différence de résistance est la raison pour laquelle les poutres ont généralement une hauteur supérieure à leur largeur.

Comprendre les formules de flèche des poutres

Le module d'élasticité et le moment d'inertie sont des propriétés physiques d'un matériau qui influencent sa résistance à la flexion. Plus ces propriétés sont élevées, plus la poutre est rigide et moins elle se plie, donc plus sa flèche est faible. La longueur de la poutre est également un facteur important à prendre en compte. Plus la poutre est longue, plus elle est susceptible de se plier, et plus la flèche est importante.

Les charges, quant à elles, affectent la flèche de la poutre de deux manières : sa direction et son amplitude. Les charges descendantes ont tendance à déformer la poutre vers le bas. Les charges peuvent être ponctuelles, linéaires ou de moment. Les formules de ce calculateur se concentrent uniquement sur les directions descendantes ou ascendantes pour les charges ponctuelles et les charges réparties. Les charges réparties sont similaires à la pression, mais ne prennent en compte que la longueur de la poutre et non sa largeur.

Les formules de ce calculateur prennent en compte le moment ou le couple de charge, dans le sens des aiguilles d'une montre ou dans le sens inverse. Pour savoir si une direction a une valeur positive, il suffit de regarder la direction de la flèche sur les images des tableaux vus un peu plus haut.

Exemple : calculer la flèche d'une poutre

Un simple banc en bois pour représenter un problème de flexion de poutre.

Calculons la flèche d'une poutre à partir d'un exemple. Prenons un banc en bois dont les pieds sont espacés de 1,5 m. Supposons que l'assise du banc soit une planche de pin maritime de 4 cm d'épaisseur et de 30 cm de large. Cette planche fléchira lorsque quelqu'un s'assiéra sur le banc. Nous pouvons calculer son moment d'inertie à partir de ses dimensions, comme dans l'exemple précédent. Le moment d'inertie de la planche par rapport à l'axe des abscisses est le suivant :

Iₓ = largeur × hauteur³ / 12
Iₓ = 30 × (4³) / 12
Iₓ = 160,0 cm⁴ ou 1,6 × 10⁻⁶ m⁴

Le pin maritime a un module d'élasticité de 8 800 MPa (8,8×10⁹ Pa), qui est la valeur que nous avons obtenue dans le Guide des essences de bois. Vous pouvez également obtenir facilement la valeur du module d'élasticité pour d'autres matériaux, tels que l'acier ou le béton, sur Internet ou dans votre bibliothèque locale. Maintenant que nous connaissons ces valeurs, examinons la charge que supporte ce banc. Supposons qu'un enfant d'une quarantaine de kilos s'assoit avec une force de 400 N au milieu du banc. Nous pouvons maintenant calculer la déformation que subit l'assise du banc sous l'effet d'une charge ponctuelle en son centre :

δmax = P × L³ / (48 × E × I)

δmax = (400 N) × (1,5 m)³ / (48 × 8,8×10⁹ Pa × 1,6×10⁻⁶ m⁴)

δmax = 0,002 m = 2,00 mm

Cela signifie que le banc s'affaisse d'environ 2 millimètres par rapport à sa position initiale lorsque l'enfant s'assoit en son milieu.

Si ce sujet vous a intéressé et que vous souhaitez en savoir plus sur la résistance des matériaux, vous aimerez peut-être notre calculateur de coefficient de sécurité 🇺🇸.

FAQ

Qu'est-ce que la flèche en ingénierie ?

En ingénierie, la flèche d'une poutre désigne le mouvement de la poutre par rapport à sa position d'origine. Ce mouvement peut être causé par des forces internes ou externes à la poutre, telles que le poids des murs ou du toit. La flèche est une mesure de longueur, car elle peut être exprimée par un angle ou une distance.

Quelles sont les formules générales de la flèche d'une poutre ?

Les formules générales pour la flèche d'une poutre sont PL³ / (3EI) pour les poutres en porte-à-faux et 5wL⁴ / (384EI) pour les poutres bi-appuyées.

Où :
P – la charge ponctuelle
L – la longueur de la poutre
E – le module d'élasticité
I – le moment d'inertie

En plus de ces formules de flèche présentées, il existe de nombreuses autres formules qui peuvent être utilisées pour calculer la flèche des poutres de différents types et sous différentes conditions.

Comment calculer la flèche d'une poutre ?

Pour calculer la flèche d'une poutre, procédez comme suit :

  1. Déterminez s'il s'agit d'une poutre en porte-à-faux ou d'une poutre bi-appuyée.
  2. Mesurez la flèche de la poutre à partir de la déformation de la structure.
  3. Choisissez la formule de flèche de la poutre appropriée pour votre type de poutre.
  4. Saisissez vos données, notamment la longueur de la poutre, le moment d'inertie, le module d'élasticité et la force agissante.

Qu'est-ce qui provoque le déplacement des poutres ?

Les principales causes de déplacement sont le poids placé sur la structure, le moment d'inertie, qui est la taille de la section transversale, la longueur de la structure non soutenue, et le matériau de la structure.

Quelle est la flèche centrale d'une poutre bi-supportée d'une longueur de 4 m ?

3,47 mm, si la longueur (L) est de 4 m = 4 × 10³ mm, la charge ponctuelle (P) est de 45 × 10³ N, le module d'élasticité (E) est de 2,4 × 10⁵ N/mm², et le moment d'inertie (I) est de 72 × 10⁶ mm⁴. Pour la calculer  

  1. Choisissez la formule : PL³ / (48EI).
  2. Entrez les valeurs :
    45 × 10³ × (4 × 10³)³ / (48 × 2,4 × 10⁵ × 72 × 10⁶) = 3,47 mm
Kenneth Alambra and Nicholas Swanson
Beam type
Simply-supported beam
Load type
Midspan load
Illustration of a simply-supported beam subjected to a point load at the middle of the beam
Input Values
Span length (L)
ft
Point load (P)
kip
Modulus of elasticity (E)
psi
Moment of Inertia (Ix)
in⁴
Stiffness of the beam, EIx
MN·m²
Output value
Maximum deflection (δmax)
in
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