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Dezimalzahl zu Bruchzahl Rechner

Created by Wojciech Sas, PhD
Reviewed by Bogna Szyk and Jack Bowater
Translated by Luise Schwenke and Julia Kopczyńska, PhD candidate
Last updated: Jan 18, 2024


Willkommen bei unserem Dezimalzahl-zu-Bruch-Rechner — einem cleveren Tool, das dir hilft, im Handumdrehen jede Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln. Hier erfährst du, wie du eine Dezimalzahl in einen Bruch umwandelst oder wie du sich wiederholende Dezimalzahlen in Brüche umwandeln kannst. Die Grundidee dieses Rechners ist es, jede Dezimalzahl in einen Bruch umzuschreiben — ein Verhältnis von zwei ganzen Zahlen.

Du siehst lieber zu als zu lesen? Mit diesem Video, das wir für dich erstellt haben, lernst du in 90 Sekunden alles, was du wissen musst:

Weißt du schon, was der Unterschied zwischen Verhältnissen und Brüchen ist? Schaue dir unseren Quotientenrechner 🇺🇸 an, um es herauszufinden!

Wieso ist es hilfreich, eine Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln?

Im täglichen Leben verwenden wir ständig Zahlen in Form von Dezimalzahlen und Brüchen. Auch wenn sich Dezimalzahlen beim Schreiben natürlicher anfühlen, könnten früher oder später ein paar Probleme auftreten.

Wenn wir zum Beispiel rationale Zahlen verwenden, sind wir manchmal gezwungen, die Werte zu runden, je nachdem, wie viele signifikante Stellen wir verwenden möchten. Wenn wir dieselbe Zahl in ihrer Bruchform schreiben, erhalten wir den genauen Wert.

Die Berechnung von Bruchexponenten ist mit Brüchen viel leichter als mit Dezimalzahlen. Was ist 42,54^{2,5}? Nun, auf den ersten Blick ist es nicht so offensichtlich. Aber was ist mit 45/24^{^{5}/_{2}}? Es ist einfacher, sich das als (4)5=25=32(\sqrt{4})^5=2^5=32 vorzustellen. Wenn du noch Zweifel hast, vergleiche die Ergebnisse mit dem Bruchexponenten Rechner 🇺🇸.

Noch problematischer wird es, wenn wir es mit sich wiederholenden Ziffern zu tun haben. Es lohnt sich also zu wissen, wie man eine sich wiederholende Dezimalzahl in einen Bruch umwandelt.

Es gibt auch praktischere Möglichkeiten, Brüche anstelle von Dezimalzahlen zu verwenden. Stell dir vor, du bist auf einer Party und möchtest einen Kuchen oder eine Pizza in gleich viele Teile teilen. Wenn es eine Gruppe von sechs Personen gibt, wie viel von der Gesamtmenge würde jeder bekommen? Entweder ungefähr 0,1660,166 oder genau 1/6^1/_6 — die Entscheidung liegt bei dir.

Du kannst auch andersherum rechnen, indem du jeden Bruch in eine Dezimalzahl oder sogar in einen Prozentwert umwandelst. Das kommt ganz auf den Kontext an. Im letzteren Fall kann dir Omni's Bruch in Prozent Rechner hilfreich sein!

Umwandlung einer Dezimalzahl in einen Bruch

Unser Ziel ist es, zwei ganze Zahlen zu finden, einen Zähler und einen Nenner, die, durch sich selbst geteilt, den Ausgangswert ergeben. Nehmen wir an, wir möchten den Wert von 0,1250,125 als Bruch darstellen:

  1. Setze für den Zähler die Ausgangszahl (0,1250,125) und für den Nenner gleich 11 ein.

  2. Verschiebe den Dezimalpunkt an das Ende des Zählers 0,1251,2512,51250,125 \rightarrow 1,25 \rightarrow 12,5 \rightarrow 125. Jeder Sprung entspricht der Multiplikation des Zählers mit 10.

  3. Da wir den Punkt um drei Stellen verschoben haben, bedeutet das, dass wir den Nenner mit 1000 multiplizieren müssen, was 10 hoch 3 entspricht.

  4. Berechne den größten gemeinsamen Teiler von 125125 und 10001000, der 125 ist. Du kannst unseren ggT Rechner – Größter gemeinsamer Teiler verwenden, wenn die Zahl nicht so einfach zu berechnen ist.

  5. Teile beide Werte durch 125. Das ergibt 11 für den Zähler und 88 für den Nenner.

  6. Das Ergebnis dieser Umrechnung ist also, dass 0,1250,125 als Bruch 1/8^1/_8 ist.

Umrechnung einer sich wiederholenden Dezimalzahl in einen Bruch

Die Umwandlung einer sich wiederholenden Dezimalzahl in einen Bruch ist etwas schwieriger. Schauen wir uns an, wie unser Rechner mit dieser Aufgabe umgeht. Nehmen wir 0,62525250,6252525\ldots, das ist 0,6250,625 mit zwei sich wiederholenden Ziffern. Wir können den Wert auch als 0,6250,6\overline{25}, oder 0,6(25)0,6(25) schreiben:

  1. Nehmen wir an, unsere Zahl sei: x=0,6252525x = 0,6252525\ldots.

  2. Multipliziere sie mit 100, was 10 hoch 2 ergibt (die Anzahl der sich wiederholenden Ziffern). 100x=62,5252525100x = 62,5252525\ldots.

  3. Subtrahiere diese beiden Werte: 100xx=99x=62,52525250,6252525=61,9100x - x = 99x = 62,5252525\ldots - 0,6252525\ldots = 61,9. Wie du sehen kannst, heben sich mit diesem Trick die Nachkommastellen einfach auf!

  4. Verschiebe den Dezimalpunkt, bis der Wert eine ganze Zahl ergibt: 61,961961,9 \rightarrow 619. Das entspricht dem Multiplizieren der Zahl mit 10, also 990x=619990x = 619.

  5. Dividiere beide Seiten durch 990, sodass wir x=619/990x=\,^{619}/_{990} erhalten.

  6. Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 619 und 990, um herauszufinden, ob wir den Bruch vereinfachen können. Der ggT ist tatsächlich 1. Das bedeutet, dass 619 und 990 teilerfremde Zahlen sind. Unser Bruch steht also bereits in seiner einfachsten Form.

  7. 0,6250,6\overline{25} als Bruch ist also 619/990^{619}/_{990}.

Verwendung des Dezimalzahl-zu-Bruch-Rechners

Jetzt, wo wir wissen, wie eine Dezimalzahl in einen Bruch umgewandelt wird, wollen wir uns ein Problem ansehen. Gibt es einen Unterschied zwischen a=1,83a=1,8\overline{3} und b=1,833b=1,8\overline{33}? Mit anderen Worten: Ist die Anzahl der sich wiederholenden Ziffern für die Umwandlung von Brüchen relevant, und wenn ja, in welcher Weise? Beginne mit aa:

  • Eine einzige sich wiederholende Ziffer bedeutet, dass wir 9a9a finden müssen, was 16,516,5 entspricht.
  • Multiplizierst du den Wert mit 10, erhältst du 90a=16590a = 165, also a=165/90a=\,^{165}/_{90}.
  • Der ggT von 165 und 90 ist 15, also können wir den Bruch in seiner einfachsten Form folgendermaßen schreiben, a=11/6a=\,^{11}/_{6}.

Und wie sähe die Umwandlung für b=1,833b=1,8\overline{33} aus?

  • Zwei sich wiederholende Ziffern bedeuten, dass wir 99b99b finden müssen, was 181,5181,5 entspricht.
  • Die Multiplikation mit 10 ergibt 990b=1815990b = 1815, also b=1815/990b=\,^{1815}/_{990}.
  • Der ggT von 1815 und 990 ist 165, also können wir den Bruch in seiner einfachsten Form folgendermaßen schreiben, b=11/6b=\,^{11}/_{6}.

Toll! aa und bb sind genau dasselbe. Du kannst das mit diesem Dezimalzahl-zu-Bruch-Rechner überprüfen, wenn du noch nicht vollständig überzeugt bist! Du kannst deine Dezimalzahl auf verschiedene Arten schreiben. Das Ergebnis der Umwandlung in einen Bruch ändert sich dadurch nicht.

Außerdem kannst du die Ergebnisse von einem unechten Bruch in eine gemischte Zahl umwandeln. Es gibt zwei Möglichkeiten, dies zu tun:

  • Dividiere den Zähler und den Nenner und nimm den ganzzahligen Teil des Ergebnisses. Für den gebrochenen Teil verwendest du den Modulo-Operator über dem Zähler mit dem Nenner als Teiler.

  • ... oder schreibe den ganzzahligen Teil am Anfang um und wandle den dezimalen Teil einfach in einen Bruch um. Am Ende schreibst du beide Teile zusammen auf.

FAQ

Wie kann ich eine Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln?

Um eine Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln:

  1. Zähle die Dezimalstellen in deiner Zahl. Nenne diese Zahl n.
  2. Berechne 10 hoch n. Das heißt, du schreibst 1, gefolgt von n Nullen. Das ist dein Nenner.
  3. Entferne den Dezimalpunkt und alle führenden Nullen aus deiner Dezimalzahl. Das ist dein Zähler.
  4. Wenn möglich, vereinfache den Bruch, indem du Nenner und Zähler durch den größten gemeinsamen Teiler dividierst.

Was ist 1,8 als Bruch?

1,8 als Bruch ist 9/5. Um zu dieser Antwort zu kommen, schreibe zuerst 1,8 = 18/10 und vereinfache dann, indem du sowohl den Zähler als auch den Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler, also durch 2, teilst.

Was ist 0,9999... als Bruch?

0,9999... ist 1. Um dieses verblüffende Ergebnis zu erhalten, nehmen wir an, dass x = 0,9999..., dann multiplizieren wir beide Seiten mit 10. Wir haben nun 10x = 9,9999.... Nun subtrahieren wir von der zweiten Gleichung die Erste: 10x - x = 9,999... - 0,999... und somit 9x = 9. Daher ist x=1.

Kann man jede Dezimalzahl als Bruch schreiben?

Ja, jede Dezimalzahl kann als Bruch geschrieben werden. Eine Dezimalzahl ist eigentlich ein Bruch, dessen Nenner eine Potenz von 10 ist, also 10 oder 100 oder 1000. Wenn wir diesen Bruch vereinfachen (indem wir den Zähler und den Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler dividieren), kann es passieren, dass wir einen Bruch erhalten, dessen Nenner keine Potenz mehr von 10 ist. Zum Beispiel ist 0,5 als Bruch (nach der Vereinfachung) ½.

Wojciech Sas, PhD
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