Calculateur de pile ou face

Bienvenue sur le calculateur de pile ou face, où vous aurez l'occasion d'apprendre à calculer la probabilité d'obtenir un certain nombre de fois face (ou pile) à partir d'un certain nombre de lancers. Ce problème est un classique des probabilités et a des applications importantes dans de nombreux domaines des mathématiques.

Par exemple, peut-être aimez-vous Batman et connaissez-vous l'un de ses nombreux méchants, Double-Face (angl.Two-Face) ? On pourrait penser que son nom vient du fait que la moitié de son visage est brûlée, mais non ! (Bon, peut-être un peu.) Mais surtout, il a une pièce porte-bonheur qu'il lance toujours avant de prendre n'importe quelle décision. Comme cette pièce a deux faces, la probabilité qu'il obtienne face est forcément de 1. Mieux vaut ne pas être trop proche de lui quand il fait sa mauvaise tête (ou face) !

La probabilité d'un événement est une représentation mathématique (numérique) de sa probabilité de se produire, où une probabilité de 1 signifie que l'événement se produira toujours, tandis qu'une probabilité de 0 signifie qu'il ne se produira jamais. Les problèmes de probabilité classique nécessitent souvent de trouver la fréquence à laquelle un résultat se produit par rapport à un autre et comment un événement affecte la probabilité de futurs événements. Lorsque vous regardez toutes les choses qui peuvent se produire, la formule (tout comme notre formule de probabilité de lancer de pièce) se traduit par :

probabilité = (nombre de succès) / (nombre de résultats possibles)

Prenons l'exemple d'un lancer de dé. Si vous disposez d'un dé standard à 6 faces, il y a six résultats possibles, à savoir les chiffres de 1 à 6. Si le dé est juste, la probabilité de chacun de ces résultats est la même, c'est-à-dire 1 sur 6 ou 1 / 6. Par conséquent, la probabilité d'obtenir 6 lorsque vous lancez le dé est de 1 / 6. La probabilité est la même pour 3, 2, 4, etc. Vous avez compris. Si vous ne me croyez pas, prenez un dé et lancez-le plusieurs fois, puis notez les résultats. Rappelez-vous que plus vous répétez une expérience, plus les résultats sont fiables. Alors, lancez le dé, disons, un millier de fois. Nous attendrons ici que vous reveniez nous dire que nous avions raison depuis le début. Consultez le calculateur de probabilité des dés si vous voulez éviter de perdre votre temps.

Mais que se passe-t-il si vous répétez une expérience une centaine de fois et que vous voulez connaître les chances d'obtenir le même résultat au moins 20 fois ?

Prenons un autre exemple. Supposons que vous soyez un adolescent tout juste sorti du collège et que vous décidiez de rencontrer l'amour de votre vie cette année. Plus précisément, vous voulez inviter dix filles à sortir, mais avoir un rendez-vous avec seulement quatre d'entre elles. L'une d'entre elles est forcément la bonne, n'est-ce pas ? La première chose à faire dans cette situation est de vous regarder dans un miroir et d'évaluer la probabilité qu'une fille accepte de sortir avec vous lorsque vous commencez à lui parler. Si vous avez du mal à évaluer votre apparence, aller voir votre grand-mère et laissez-la vous dire quel beau jeune homme vous êtes. Donc un solide 9/10.

Étant donné que vous ne souhaitez avoir que quatre rendez-vous, vous voulez donc que quatre de vos tentatives de romance réussissent. La probabilité de cela est de 9/10. Vous souhaitez également que les six autres filles vous rejettent, ce qui, compte tenu de votre physique, a une probabilité de 1/10 de se produire. (La somme de toutes les probabilités d'événements possibles est toujours égale à 1, nous obtenons donc ce nombre en soustrayant 9/10 de 1). Si vous multipliez la probabilité de chaque événement par le nombre de fois que vous souhaitez qu'il se produise, vous obtenez la probabilité que votre scénario se réalise. Dans ce cas, vos chances sont de 210 × (9/10)⁴ × (1/10)⁶ = 0,000 137 781, où 210 est le nombre de combinaisons possibles de quatre filles parmi les dix qui seraient d'accord. Ce n'est pas très probable, n'est-ce pas ? Peut-être devriez-vous essayer d'être moins beau.

Je vous vois déjà venir : « Non mais oh, les filles et les pièces de monnaie, ce ne sont quand même pas la même chose ! ». Alors oui, mais d'un point de vue mathématique (et seulement mathématique), ces deux problèmes sont fondamentalement les mêmes. Que vous vouliez tirer à pile ou face ou inviter une fille à sortir, il n'y a que deux possibilités. Par exemple, si vous lancez une pièce, vous pouvez obtenir pile ou face. Si vous invitez une fille à sortir, elle peut accepter ou refuser. Si vous attribuez le succès à un seul résultat, par exemple obtenir pile ou que la fille accepte votre proposition, la probabilité de pile ou face déterminera la probabilité que votre expérience soit un succès. En d'autres termes, si vous avez une pièce de monnaie équilibrée, la probabilité d'obtenir pile ou qu'une fille accepte votre proposition est la même. Mathématiquement, on parle de la loi binomiale 🇺🇸.

Examinons un exemple étape par étape pour voir comment calculer la probabilité d'un événement à l'aide du calculateur de probabilité de pile ou face :

1. Déterminez votre expérience. Quelles sont les deux possibilités qui peuvent se produire ? Attribuez face à l'une et pile à l'autre.

2. Combien de fois allez-vous répéter l'expérience ? Inscrivez ce nombre comme « Nombre de lancers » dans le calculateur.

3. Que voulez-vous obtenir ? Un nombre exact de tentatives réussies ? Au moins un certain nombre de tentatives réussies ? Ou pas plus d'un certain nombre de lancers réussis ? Choisissez la bonne option dans la liste.

4. Combien de lancers réussis (exacts, au moins ou au plus) voulez-vous faire ? Placez ce nombre devant face.

5. (Facultatif) Si vos faces et piles n'ont pas la même probabilité de se produire, passez en Mode avancé (Advanced mode) et indiquez le bon nombre dans le nouveau champ. Rappelez-vous qu'en probabilité classique, la probabilité ne peut pas être inférieure à 0 ou supérieure à 1.

6. Le calculateur de pile ou face calculera automatiquement la probabilité que votre événement se produise.

On dit souvent que l'argent ne fait pas le bonheur. Eh bien, il est vrai que parfois, une pièce de monnaie ne suffit pas si vous voulez calculer la probabilité que quelque chose se produise. Si votre problème relève toujours des probabilités classiques, c'est-à-dire que vous pouvez déterminer le nombre de succès et le nombre de possibilités en général, alors la formule de probabilité de pile ou face de la première section fonctionnera parfaitement.

Si vous souhaitez connaître vos chances de gagner à la loterie ou de survivre sur une île déserte, les choses se compliquent. (Vous pouvez, en fait, trouver la réponse au premier cas grâce au calculateur de loterie 🇺🇸 d'Omni)

Si vous jouez n fois à pile ou face, la probabilité d'obtenir exactement k face est P(X=k) = (k parmi n)/2ⁿ, où :

• (k parmi n) = n! / (k! × (n-k)!)
• ! est la factorielle, c'est-à-dire que n! représente la multiplication 1 × 2 × 3 × ... (n-1) × n.

Calculer la probabilité d'obtenir 8 faces sur 10 lancers :

1. Rappelez-vous la formule de la probabilité d'obtenir exactement k bons résultats lors de n lancers est P(X=k) = (k parmi n)/2ⁿ.
2. Ainsi, la probabilité d'obtenir exactement 8 faces en 10 lancers est P(X=8) = (8 parmi 10)/2¹⁰ = 45/1024 ≈ 0,043 9.
3. Si vous vous voulez la probabilité d'obtenir au moins 8 faces, additionnez ces trois probabilités : P(X=8) + P(X=9) + P(X=10).
4. Nous avons P(X=9) = 10/1024 ≈ 0,009 8 et P(X=10) = 1/1024 ≈ 0,001.
5. La réponse est donc : 0,043 9 + 0,009 8 + 0,001 ≈ 0,054 7.

Si vous lancez une pièce de monnaie 3 fois, la probabilité d'obtenir au moins 2 faces est de 50 %, tandis que celle d'obtenir exactement 2 faces est de 37,5 %. Voici l'espace d'échantillonnage de 3 lancers : {FFF, PFF, FPF, FFP, FPP, PFP, PPF, PPP}. Il y a 8 résultats possibles. Trois d'entre eux contiennent exactement deux faces, donc P(exactement deux faces) = 3/8 = 37,5 %. Un seul résultat contient trois faces, donc P(au moins deux faces) = (3+1)/8 = 50 %.

La probabilité d'avoir au moins 1 face sur 4 lancers est de 93,75 %. Pour comprendre pourquoi, observez que P(au moins 1 face) = 1 - P(aucune face) = 1 - P(tout pile) et P(tout pile) = (1/2)⁴ = 0,062 5. Par conséquent, P(au moins 1 face) = 1 - 0,062 5 = 0,937 5 = 93,75 %, comme indiqué.