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Calculateur de loi binomiale

Created by Jakub Janus, PhD and Jasmine J Mah
Reviewed by Bogna Szyk and Jack Bowater
Translated by Agata Flak and Claudia Herambourg
Last updated: Jan 18, 2024


Ce calculateur de loi binomiale est là pour vous aider à résoudre les problèmes liés à la probabilité. Ici, nous verrons quelle est la probabilité d'un certain nombre de succès dans une série d'essais indépendants. Poursuivez votre lecture pour découvrir ce qu'est exactement la loi binomiale. Nous vous montrerons quand et comment l'appliquer, et nous vous donnerons la formule de loi binomiale. Enfin et surtout, nous vous présenterons comment la loi binomiale est utilisée dans divers contextes.

Qu'est-ce la loi binomiale ?

Imaginez que vous jouez à un jeu de dés. Pour gagner, vous devez obtenir un résultat égal ou inférieur à 4 sur trois des cinq dés. Les deux dés restants doivent afficher un résultat supérieur. Quelle est la probabilité que vous gagniez ?

Il s'agit d'un exemple de problème qui peut être résolu à l'aide de notre calculateur de loi binomiale. Vous connaissez le nombre d'événements, qui est égal au nombre total de dés, donc cinq, et vous connaissez le nombre de succès dont vous avez besoin : 3. Vous pouvez également calculer la probabilité d'obtenir un seul succès, c'est-à-dire obtenir un résultat inférieur ou égal à 4 sur un seul dé (4 sur 6, donc 0,667). Ce sont toutes les données nécessaires pour trouver la probabilité que vous gagniez le jeu de dés.

Notez que pour utiliser efficacement le calculateur de loi binomiale, les évènements que vous analysez doivent être indépendants. Cela signifie que toutes les épreuves doivent être mutuellement exclusives.

Par conséquent, le succès de la première épreuve n'affecte pas la probabilité de succès ou la probabilité d'échec des événements suivants. Les probabilités de succès ou d'échec restent inchangées d'un essai à l'autre. Dans le cas d'un jeu de dés, ces conditions sont remplies : chaque fois que vous lancez un dé, vous effectuez une épreuve indépendante.

Il peut arriver que l'on doive calculer le nombre d'épreuves nécessaires pour obtenir un résultat particulier. Par exemple, combien de fois faut-il lancer un dé pour obtenir un 6 trois fois ? Jetez un coup d'œil à notre calculateur de loi binomiale négative 🇺🇸, qui vous aidera à résoudre ce problème.

Vous pouvez également consulter notre calculateur d'approximation de la loi binomiale 🇺🇸 et le calculateur de correction de continuité 🇺🇸, qui sont très étroitement liés.

Formule de probabilité de la loi binomiale

Pour calculer la probabilité avec la loi binomiale, vous devez utiliser l'équation suivante :

P(X=r) = nCr × pr × (1 - p)n-r

où :

  • n – le nombre total d'événements
  • r – le nombre de succès requis
  • p – la probabilité d'un succès
  • nCr – le nombre de combinaisons (r parmi n)
  • P(X=r) – la probabilité qu'un nombre exact de succès se produise

Notez que le résultat est la probabilité d'un nombre exact de succès. Par exemple, dans notre jeu de dés, nous avions besoin d'exactement trois succès, ni plus ni moins. Que se passerait-il si nous changions les règles ? Disons que nous devions obtenir au moins trois succès. Cette fois, nous calculerons la probabilité d'obtenir exactement trois succès, puis celle d'obtenir exactement quatre succès, et enfin, celle d'exactement cinq succès ; seulement après avoir effectué ces calculs, nous additionnerons toutes les valeurs.

Exemple : comment utiliser le calculateur de loi binomiale ?

Résolvons ensemble le problème du jeu de dés.

  1. Déterminez le nombre d'événements : n est égal à 5, car vous lancerez cinq dés.

  2. Déterminez le nombre de succès requis : r est égal à 3, car il nous faut exactement trois succès pour gagner la partie.

  3. La probabilité d'obtenir 1, 2, 3 ou 4 sur l'un des dés à six faces est de 4 sur 6, soit 0,667. Par conséquent, p est égal à 0,667, ou 66,7 %.

  4. Calculez le nombre de combinaisons (3 parmi 5). Pour ce faire, vous pouvez utiliser le calculateur de combinaison. Dans notre cas, le nombre de combinaisons est égal à 10.

  5. Entrez toutes ces valeurs dans la formule de probabilité ci-dessus :

    P(X = 3) = 10 × 0,6673 × (1 - 0,667)(5-3)
    = 10 × 0,6673 × (1 - 0,667)(5-3)
    = 10 × 0,296 × 0,3332
    = 2,96 × 0,111 = 0,329

  6. Vous pouvez également gagner du temps et utiliser le calculateur de loi binomiale ! :)

Comment calculer les probabilités cumulées ?

Parfois, au lieu d'un nombre exact de succès, vous souhaitez connaître la probabilité d'obtenir r ou plus de succès ou r ou moins de succès. Pour calculer la probabilité d'obtenir un nombre quelconque de succès :

  1. Utilisez la formule de probabilité de la loi binomiale pour calculer la probabilité de succès (P) pour toutes les valeurs possibles de r qui vous intéressent.
  2. Additionnez les valeurs de P pour toutes les valeurs de r comprises dans l'intervalle qui vous intéresse.

Par exemple, la probabilité d'obtenir deux succès ou moins en lançant une pièce quatre fois (p = 0,5 et n = 4) serait la suivante :

P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

P(X ≤ 2) = 37,5 % + 25 % + 6,25 %

P(X ≤ 2) = 68,75 %

Ce calcul est plus facile à effectuer grâce aux différentes options disponibles dans le calculateur de loi binomiale. Modifiez les paramètres pour calculer l'une des options suivantes :

  • Exactement r succès : P(X = r)
  • r succès ou plus : P(X ≥ r)
  • r succès ou moins : P(X ≤ r)
  • Entre r₀ et r₁ succès : P(r₀ ≤ X ≤ r₁)

Expériences de probabilité selon la loi binomiale

La loi binomiale s'avère très pratique dans les contextes expérimentaux. Cependant, lors d'une expérience, il faut exactement deux résultats possibles : réussite ou échec, présence ou absence, conformité ou refus. Il est impossible d'utiliser ce modèle lorsqu'il y a trois résultats possibles.

En même temps, à part lancer des dés ou jouer à pile ou face, la loi binomiale peut être également employée dans des cas moins évidents. Voici quelques questions auxquelles vous pouvez répondre en utilisant la loi binomiale.

  • Un nouveau médicament sera-t-il efficace si administré à un patient choisi au hasard ?
  • L'ampoule que vous venez d'acheter fonctionnera-t-elle correctement ou sera-t-elle cassée ?
  • Quelle est la probabilité de répondre correctement à une question de test que vous venez de piocher ?
  • Quelle est la probabilité qu'un électeur choisi au hasard vote pour un candidat donné lors d'une élection ?
  • Quelle est la probabilité qu'un groupe d'étudiants soit accepté dans une université prestigieuse ?

Les expériences comportant précisément deux résultats possibles, comme celles mentionnées ci-dessus, sont des exemples typiques suivant la loi binomiale, souvent appelés épreuves de Bernoulli.

Dans la pratique, vous trouverez souvent des exemples de probabilité suivant la loi binomiale dans des domaines tels que le contrôle de la qualité, où cette méthode est utilisée pour tester l'utilité des processus de production. Le processus de contrôle basé sur la loi binomiale est conçu pour effectuer un nombre suffisant de vérifications et minimiser la probabilité de fabriquer un produit défectueux.

Si vous ne connaissez pas la probabilité d'un évènement indépendant dans votre expérience, p, recueilliez les données obtenues lors d'une expérience passée. Ensuite, divisez le nombre de succès, y, par le nombre total d'évènements  :p = y/n.

Une fois que vous avez déterminé votre taux de réussite (ou d'échec) pour un événement unique, vous devez décider quel est votre nombre acceptable de réussites (ou d'échecs) à long terme. Par exemple, un produit défectueux sur un lot de cinquante n'est pas une tragédie, mais vous n'aimeriez pas qu'un produit sur deux soit défectueux, n'est-ce pas ?

Les épreuves de Bernoulli sont également parfaites pour résoudre des problèmes liés aux systèmes de réseaux. Il est intéressant de noter qu'elles peuvent être utilisées pour déterminer les chemins entre deux nœuds dans un diagramme. C'est le cas du réseau du pont de Wheatstone, une représentation d'un circuit construit pour mesurer la résistance électrique.

Notre calculateur produit des résultats qui vous permettent d'évaluer la probabilité d'atteindre votre objectif en vous montrant une table de distribution binomiale. Toutefois, si vous le souhaitez, vous pouvez jeter un coup d'œil à cette table de distribution binomiale. Elle vous indique quelle est la valeur de la loi binomiale pour une probabilité et un nombre de succès donnés.

Moyenne et variance de la loi binomiale

L'une des caractéristiques les plus intéressantes de la distribution selon la loi binomiale est qu'elle représente la somme d'un nombre n d'évènements indépendants. Chacun d'entre eux (Z) peut prendre les valeurs de 0 ou de 1 sur une période donnée.

Disons que la probabilité que chaque Z se produise est p. Comme les événements ne sont pas corrélés, nous pouvons utiliser les propriétés d'addition des variables aléatoires pour calculer la moyenne (la valeur attendue) de la distribution binomiale : μ = np.

La variance d'une distribution selon la loi binomiale est donnée par : σ² = np(1 - p). Plus la variance est grande, plus la fluctuation d'une variable aléatoire par rapport à sa moyenne est importante. Une faible variance indique que les résultats obtenus sont propagés sur une plage de valeurs plus étroite.

L'écart type de la distribution binomiale, autre mesure de la distribution de probabilité, est simplement la racine carrée de la variance, σ. Gardez à l'esprit que l'écart type calculé à partir de votre échantillon (les observations que vous recueillez réellement) peut différer de l'écart type de la population entière. Si cette distinction vous semble déroutante, cliquez ici pour lire une excellente explication.

Ces formules reposent sur une intuition claire. Supposons cette fois que je lance une pièce 20 fois.

  • Mon p est égal à 0,5 (à moins, bien sûr, que la pièce ne soit truquée).
  • Chaque Z peut avoir une valeur de 0 ou de 1, succès ou échec.
  • Le nombre d'épreuves, n, est de 20.

Cette séquence d'événements remplit les conditions préalables d'une distribution suivant la loi binomiale.

La valeur moyenne de cette expérience simple est la suivante : np = 20 × 0,5 = 10. Nous pouvons dire qu'en moyenne, si nous répétons l'expérience plusieurs fois, nous devons nous attendre à obtenir face dix fois.

La variance de cette distribution binomiale est égale à np(1 - p) = 20 × 0,5 × (1 - 0,5) = 5. Prenez la racine carrée de la variance pour calculer l'écart type : 2,24. Par conséquent, les résultats typiques d'une telle expérience s'écarteront de 2, en moyenne. Donc, dans la plupart des épreuves, nous nous attendons à obtenir entre 8 et 12 succès.

Utilisez notre calculateur de probabilité binomiale pour obtenir la moyenne, la variance et l'écart type de la distribution binomiale en fonction du nombre d'événements que vous avez fourni et de la probabilité d'un succès.

Autres considérations

Développée par un mathématicien suisse Jacob Bernoulli, la loi binomiale est une formulation plus générale de la loi de Poisson. Dans cette dernière, nous supposons simplement que le nombre d'événements (épreuves) est énorme, mais que la probabilité d'un seul succès est faible.

La loi binomiale est étroitement liée à la formule du binôme de Newton, qui s'avère utile pour calculer les permutations et les combinaisons. Assurez-vous également de consulter notre calculateur de permutation 🇺🇸 !

Gardez à l'esprit que la formule de la loi binomiale décrit une distribution discrète. Les résultats possibles de toutes les épreuves doivent être distincts et ne pas se chevaucher. De plus, les deux résultats d'un évènement doivent être complémentaires : pour un évènement p donné, il y a toujours un évènement q, tel que q = 1 - p.

S'il y a une probabilité d'obtenir un résultat entre les deux, par exemple 0,5, la formule de la loi binomiale ne doit pas être utilisée. Il en va de même pour les résultats qui ne sont pas binaires, par exemple, quand il y a trois résultats possibles.

Toutefois, pour un nombre suffisamment important d'épreuves, la formule de la loi binomiale peut être approximée par la loi normale (la loi gaussienne), avec une moyenne et une variance données. Cela nous permet d'effectuer ce que l'on appelle la correction de continuité et de tenir compte des arguments non entiers dans la fonction de probabilité.

Peut-être avez-vous encore besoin d'un peu de pratique avec les exemples de probabilité binomiale ?

Essayez de résoudre à nouveau le problème du jeu de dés, mais cette fois-ci, supposez que vous devez obtenir trois succès ou plus pour gagner. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement quatre succès ?

FAQ

La distribution binomiale est-elle discrète ou continue ?

La loi binomiale est discrète : elle ne prend qu'un nombre fini de valeurs.

Comment trouver la moyenne d'une distribution binomiale ?

Pour calculer la moyenne (valeur attendue) d'une distribution suivant la loi binomiale B(n,p), vous devez multiplier le nombre d'épreuves, n, par la probabilité de succès, p, c'est-à-dire : moyenne = n × p.

Comment trouver l'écart type d'une distribution binomiale ?

Pour trouver l'écart type d'une distribution suivant la loi binomiale B(n,p) :

  1. Calculez la variance comme suit :

    n × p × (1 - p)

    où :

    n – le nombre d'épreuves
    p – la probabilité de succès

  2. Prenez la racine carrée du résultat obtenu à l'étape 1.

  3. Le tour est joué ! Félicitations :)

Quelle est la probabilité de 3 succès en 5 épreuves si la probabilité de succès est de 0,5 ?

Pour trouver cette probabilité :

  1. Rappelez-vous la formule de la loi binomiale P(X = r) = nCr × pʳ × (1-p)ⁿ⁻ʳ. Nous allons l'utiliser avec les données suivantes :

    • Nombre d'épreuves : n = 5

    • Nombre de succès : r = 3

    • Probabilité de réussite : p = 0,5

  2. Calculez 3 parmi 5 : nCr = 10.

  3. Introduisez ces valeurs dans la formule de la loi binomiale :

    P(X = 3) = 10 × 0,5² × 0,5³ = 0,312 5.

  4. La probabilité que vous recherchez est 31,25 %.

Jakub Janus, PhD and Jasmine J Mah
If there are...
Number of events (n)
Probability of success per event (p)
%
What is the probability of getting...
exactly r successes
Number of successes (r)
Probability of r successes
%
Mean number of successes
Variance
Standard deviation
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